1．3 集合的基本运算（思维导图+2大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．3 集合的基本运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：集合的运算 4 知识点二：集合基本运算的一些结论 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：并集的概念与常用的运算性质 7 题型二：交集的概念与常用的运算性质 7 题型三：补集运算 8 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 9 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 9 题型六：容斥原理 10 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 11 题型八：新定义题 13 题型九：图的应用 13 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点二：集合基本运算的一些结论 1、交集的常用性质 性质 说明 交换律 满足交换律 自等律 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 零律 任何集合与空集的交集等于空集 结合律 满足结合律 包含关系 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 子集关系 若，则， 若，则 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集 分配律 , 满足分配律 2、并集的常用性质 性质 数学符号表示 交换律 自等律 零律 结合律 包含关系 , 子集关系 若,则, 若,则, 题型一：并集的概念与常用的运算性质 【例题1】（2025·高一·甘肃平凉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：交集的概念与常用的运算性质 【例题3】（2025·高一·全国·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式4】（2025·高一·广西·开学考试）已知集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式5】（2025·高一·广东江门·期中）设，，则（      ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：补集运算 【例题5】已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式7】（2025·高一·黑龙江佳木斯·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2025·高二·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式9】（2025·高二·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【例题7】（2025·高一·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 【例题8】（2025·高一·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式10】已知全集，集合，，求，. 【变式11】已知全集，集合或，，求、； 【变式12】已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例题9】设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【例题10】已知或，，若，则m的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式13】设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【变式14】设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【变式15】已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 题型六：容斥原理 【例题11】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【例题12】某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式16】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式17】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【变式18】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 【例题13】已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【例题14】（2025·高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式19】（2025·高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式20】已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【变式21】（2025·高一·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型八：新定义题 【例题15】定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例题16】设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【变式22】（2025·高一·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【变式23】已知全集为有理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（    ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【变式24】已知非空集合，是集合的子集，若同时满足条件“若，则”和条件“若，则”，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（   ） A．3 B．9 C．12 D．20 题型九：图的应用 【例题17】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【例题18】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式25】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式26】（2025·高一·云南昆明·期中）若A、B是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（    ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式27】若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．3 集合的基本运算 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：集合的运算 5 知识点二：集合基本运算的一些结论 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：并集的概念与常用的运算性质 8 题型二：交集的概念与常用的运算性质 9 题型三：补集运算 10 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 12 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 14 题型六：容斥原理 16 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 19 题型八：新定义题 21 题型九：图的应用 24 知识点一：集合的运算 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： 知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 2、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 3、补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 知识点二：集合基本运算的一些结论 1、交集的常用性质 性质 说明 交换律 满足交换律 自等律 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 零律 任何集合与空集的交集等于空集 结合律 满足结合律 包含关系 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 子集关系 若，则， 若，则 任何集合同它子集的交集等于这个集合的子集 分配律 , 满足分配律 2、并集的常用性质 性质 数学符号表示 交换律 自等律 零律 结合律 包含关系 , 子集关系 若,则, 若,则, 题型一：并集的概念与常用的运算性质 【例题1】（2025·高一·甘肃平凉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以. 故选：B. 【例题2】（2025·高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，， 则. 故选：C. 【方法技巧与总结】 求集合并集的两个方法 （1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集． （2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以， 故选：D． 【变式2】（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，而，在数轴上表示出集合， 如图，所以． 故选：C. 【变式3】（2025·高一·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以. 故选：B. 题型二：交集的概念与常用的运算性质 【例题3】（2025·高一·全国·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，所以， 又，所以， 故选：D 【例题4】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D． 【方法技巧与总结】 求集合A∩B的步骤与注意点 （1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）． （2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【变式4】（2025·高一·广西·开学考试）已知集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意可得，则有2个元素. 故选：B 【变式5】（2025·高一·广东江门·期中）设，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 则. 故选：B. 【变式6】（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由交集定义知. 故选：C 题型三：补集运算 【例题5】已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，若集合，则. 故选：C. 【例题6】（2025·高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 【方法技巧与总结】 补集的求解步骤及方法 （1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集． （2）方法：①借助Venn图或数轴求解； ②借助补集性质求解． 【变式7】（2025·高一·黑龙江佳木斯·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】全集， 则 故选：A. 【变式8】（2025·高二·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，得，而， 所以. 故选：B 【变式9】（2025·高二·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则. 故选：A 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【例题7】（2025·高一·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意有， 所以， ； （2）所以， 或， 所以， 【例题8】（2025·高一·广东江门·期中）已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【解析】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． 【变式10】已知全集，集合，，求，. 【解析】因为集，集合，， 所以 或 或 【变式11】已知全集，集合或，，求、； 【解析】因为全集，集合或，， 所以 或 所以 或. 【变式12】已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 【解析】（方法一）由题意得， 由得，且， 由得，且， 由得，且． 下面讨论11和13． 情形一：，但，与矛盾． 情形二：，但，与矛盾． 情形三：，且，与矛盾． 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． （方法二）结合韦恩图（如图）， 将条件，所涉及的元素填入，得． 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例题9】设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【解析】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【例题10】已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式13】设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式14】设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 【变式15】已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 当时，，满足题意. 当时，时，解得 综上所述，. 故答案为： 题型六：容斥原理 【例题11】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【答案】B 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 【例题12】某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 【方法技巧与总结】 韦恩图在集合运算中扮演着重要角色，它通过图形化方式直观展示集合之间的交集、并集和补集等关系。具体来说，韦恩图使用圆形或椭圆形表示集合，重叠部分表示集合的交集，而两个集合的全部区域（包括重叠和非重叠部分）则表示并集。此外，韦恩图还能清晰地展示一个集合在全集中的补集。这种可视化方法不仅简化了集合运算的理解过程，还有助于解决复杂的逻辑问题，广泛应用于数学、逻辑学、统计学等多个领域。 【变式16】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 【变式17】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 【变式18】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 【例题13】已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 【例题14】（2025·高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点 （1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B， A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B． （2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解． 【变式19】（2025·高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 【变式20】已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 【变式21】（2025·高一·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 题型八：新定义题 【例题15】定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由，又由集合的定义有， 可得集合的真子集的个数为． 故选:B． 【例题16】设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，且， 用图表示集合的关系如下图： 阴影部分表示， 所以． 故选：D． 【变式22】（2025·高一·上海·期中）已知全集为无理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，若中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割.对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（   ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与， 且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合， 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合， 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素，所以C不正确. 故选：C. 【变式23】已知全集为有理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（    ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素， 所以C不正确. 故选：C. 【变式24】已知非空集合，是集合的子集，若同时满足条件“若，则”和条件“若，则”，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（   ） A．3 B．9 C．12 D．20 【答案】C 【解析】根据“互斥子集组”的定义，列举如下： 所以不同“互斥子集组”的个数是. 故选：C 题型九：图的应用 【例题17】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 【例题18】（2025·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 【变式25】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 【变式26】（2025·高一·云南昆明·期中）若A、B是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（    ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】A、B是全集的真子集，且，画出韦恩图如下： 对于①，，等价于，①正确； 对于②，，等价于，②错误； 对于③，，等价于，故不一定能得到，③错误； 对于④，，则，与A、B是全集的真子集矛盾，舍去. 故选：B 【变式27】若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 由韦恩图可知，，，，， 故选：C. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$