专题13 函数的零点与方程的根九类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“定义-定理-应用”为逻辑主线，通过9类题型的“特征-方法”双维度提炼，构建函数零点问题的系统性解题体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法+2原则|围绕零点定义、存在性定理等4大核心，贯穿方程根等价转化与图像辅助分析原则|从概念本质到通法提炼，奠定思维基础| |题型归纳|9题型（1典例+3变式）|求零点用解方程，参数范围用存在性定理/分离参数，嵌套函数用换元分层等|覆盖基础到综合，形成“定义-性质-综合应用”递进链条| |压轴挑战|18题（选择/填空/解答）|综合函数性质与零点，结合图像变换与分类讨论|对接高考命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题13 函数的零点与方程的根 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求函数的零点 题型六、嵌套函数的零点问题 题型二、由零点所在区间求参数范围 题型七、求函数零点或方程的根的个数 题型三、由零点的个数求参数范围 题型八、零点的比较大小 题型四、二次函数的零点分布问题 题型九、函数的性质与零点的综合 题型五、指对幂函数的零点分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数零点问题是高中函数板块核心重难点 所有题型均围绕零点定义、零点存在性定理、零点个数、零点分布、嵌套复合四大核心展开 解题贯穿两条底线原则：一是函数零点等价对应方程的实数根，二是零点问题优先画出函数图像辅助分析 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求函数的零点 典例1 （25-26高二下·四川成都·期中）若函数的零点为，则 （ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而计算确定t值即可. 【详解】由题知，由得，整理得， 若，可得， 若，可得， 综上，，即， 记，则，因为，所以， 令，因为在上单调递增，且函数值为正， 所以在上单调递增， 因为，即，所以. 题型模版 1.特征：给出确定不含参函数解析式 要求求解函数全部零点 零点即对应的实数解 2.方法：令，解方程求得实数根 注意定义域限制，舍去不在定义域内的解 因式分解、换元是常用解方程手段 变式1-1（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 变式1-2（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据函数零点得到，再构造函数，利用函数单调性构建关于的方程求解即可. 【详解】由是函数的零点可知， 整理得，即， 设，易知在上单调递增， 因为， 所以， 所以，故， 故选：A． 变式1-3（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，，的零点分别为，，则______． 【答案】2 【分析】根据零点定义，结合同底的指数函数和对数函数的对称性、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 当时， 直线与指数函数的图象的交点的横坐标为，， ， 当时， 直线与对数函数的图象的交点的横坐标为，， 指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称， 且直线与直线互相垂直，如下图所示：    又，即， 所以. 故答案为： 题型二、由零点所在区间求参数范围 典例2 （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：已知函数零点落在某指定区间内 函数解析式带有参数，求解参数取值范围 2.方法：零点存在定理：连续函数满足则区间内存在零点 如果函数单调，等价区间内有唯一零点 非单调函数还要结合图像额外验证 变式2-1（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 变式2-2（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 变式2-3（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 题型三、由零点的个数求参数范围 典例3 （26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】(1)任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 (2) 【分析】（1）由单调性的定义，通过作差法即可求证； （2）通过函数单调性和奇偶性，将问题转换成有两个不同的实根，再换元，通过研究函数的图象和最值即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 题型模版 1.特征：已知函数零点总个数，反求参数取值范围 高频考法：有几个根转化与图像交点个数 2.方法：分离参数，转化两个函数图像交点问题 画出不含参函数图像，平移水平直线观察交点数量 注意图像间断点、端点处取值取舍 变式3-1（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过换元并构造二次函数，再将原方程有实根的问题转化为与有交点问题，结合函数图象可得. 【详解】令，由指数函数性质得， 原方程变形为关于的二次方程：，即. 令，则， 所以二次函数是开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，且. 所以函数在上的值域为，因此原方程要有实根，则， 由对数函数的性质，解得，即的取值范围是. 变式3-2（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 变式3-3（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 题型四、二次函数的零点分布问题 典例4 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】，令 ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 题型模版 1.特征：二次函数，已知零点分布在指定区间内部、两侧 求二次式中参数的取值范围 2.方法：结合开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号列不等式组 不能只依靠端点函数值符号，必须综合多条件 变式4-1（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 【答案】 【分析】利用韦达定理可得，整理可得，结合图象可得，，，构造，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 变式4-2（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 变式4-3（25-26高一上·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【答案】 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令， 因为关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大， 即有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型五、指对幂函数的零点分布问题 典例5 （25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数图象得出的取值范围，再根据函数图象与性质可得，，结合图象，并利用的范围即可求解. 【详解】函数有4个不同的零点等价于函数与有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，作出的图象如下： 由图象得：，， 且关于函数的对称轴对称， 所以， 故，所以， 所以， 令， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增； 所以， 又， 所以， 故答案为：； 题型模版 1.特征：函数包含指数、对数、幂函数混合结构 研究零点所在区间、零点个数，求解参数范围 2.方法：优先判断函数单调性，利用零点存在定理 指对函数注意定义域约束，对数真数大于0 必要时做图像变换，数形结合分析交点 变式5-1（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 变式5-2（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)当时，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用特值，求出实数a的值，按照偶函数的定义检验一般情况成立； （2）先化简的函数形式，将问题转化为关于的方程有解，构造函数，研究其单调性解决问题. 【详解】（1）因为是上的偶函数，所以， 即，解得， 当时，， 所以， 所以函数在上满足，故函数是偶函数， 所以. （2）由（1）可知， 所以， 因为时，存在零点，所以关于的方程有解， 令，因为，则， 设，取， ， 其中，得，，， 所以，即成立， 则由函数单调性定义：在单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 变式5-3（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 题型六、嵌套函数的零点问题 典例6 （2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 题型模版 1.特征：复合嵌套函数求零点个数或者参数范围 多层函数嵌套，内外两层函数 2.方法：换元令，先解得到的取值 再将每一个代入，求解对应解的总个数 分层处理，由外向内逐层拆解 变式6-1（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 变式6-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 变式6-3（多选）若和都是上的函数，且方程有实数解，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由方程有实数解，则存在使，故，令，则有，等价于方程至少有一个解是，再逐项判断即可. 【详解】设方程有实数解，则， 因为和都是上的函数，所以有， 令，则有，从而可知方程至少有一个解是， 对于A，令，此方程有解，故A符合题意； 对于B，令，此方程无解，故B不符合题意； 对于C，令，此方程有解，故C符合题意； 对于D，令，此方程有解，故D符合题意． 故选：ACD. 题型七、求函数零点或方程的根的个数 典例7 （25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 题型模版 1.特征：给定函数或者方程，只要求统计实数根、零点总数量 不含参数或者参数为已知定值 2.方法：等价转化为两个熟悉函数图像交点个数 画出图像，数交点数量 注意定义域挖去的点，不能计入零点 变式7-1（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 变式7-2（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据函数零点定义，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由，或， 函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数有7个零点.    故选：B 变式7-3（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令解得或，结合分段函数分别求解，即可得到零点个数. 【详解】令，解得或， 当时， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时， 当时，，解得或， 当时，，解得. 所以，函数的零点个数为. 故选：C. 题型八、零点的比较大小 典例8 （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 题型模版 1.特征：给出几个不同函数，各自拥有零点 不直接求出零点，比较多个零点数值大小 2.方法：设零点，代入方程得到等式 利用函数单调性估算零点所处区间 依靠区间位置判断零点大小关系 变式8-1（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 变式8-2（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数的单调性，再利用零点存在性定理确定对应零点所在区间即可. 【详解】函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 因此函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 由，得； 由，得； 由，得， 所以. 故选：B 变式8-3（25-26高一上·广东肇庆·期末）设方程的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，利用零点存在定理分析的范围，并通过解一元二次方程求得，从而得到其大小关系. 【详解】因为函数均为连续函数，且是增函数， 所以均为连续函数，且是增函数. 因为，所以； 因为，所以； 令，则，所以. 所以. 故选：A. 题型九、函数的性质与零点的综合 典例9 （北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①② 【分析】利用即可计算；利用，且当时，可计算函数在上的解析式，作出函数图象与直线判断方程根的个数；利用当时，可解得一个零点，再利用得零点为即可. 【详解】因为，所以，即，故①正确； 由，且当时，得 . 函数在的大致图象如图所示，由图可得，当时，函数与直线有三个交点，即方程在区间上有三个不同的实根，故②正确； 当时，由得. 由得若，则，，所以函数的所有零点为. 所以函数有无穷多个零点，但不存在整数零点.故③错误. 题型模版 1.特征：融合奇偶性、单调性、周期性等函数性质 结合零点条件，求零点、参数或者代数式的值 2.方法：先用函数性质推导函数图像对称、周期规律 借助性质推导出更多零点，再结合条件求解 变式9-1（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 变式9-2（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 变式9-3（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案. 【详解】因为定义域为， 令 ， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 2．（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 3．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 4．（24-25高一上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】D 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围. 【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根. 当时，，为单调递增函数，值域为. 若有解，则，此时该区间有且仅有1个解； 若或，则该区间无解. 当时，，令，两边同乘整理得. 当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为， 故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解； 当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解. 综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是. 二、多选题 7．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数 ，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 【答案】BD 【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案. 【详解】对于A，代入可得，故A错误； 对于B，若，由，解得或，满足; 若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确； 对于C，由，得，而二次函数的对称轴为, 当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误； 对于D，当时，的零点即为的零点， 当时，由，解得，满足; 当时，由，解得,满足， 所以的零点之和为，故D正确. 故选：BD. 8．（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 【答案】BCD 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错. 【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以 ，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 10．（25-26高一上·河南郑州·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【分析】对于A，利用奇偶函数的性质以及题干中的函数解析式，可得其正误；对于B，由函数的奇偶性可得函数的周期性，即可得其正误；对于C，根据函数解析式可得单调性，结合函数的对称性，可得其正误；对于D，根据方程与函数的关系，结合图象，可得其正误. 【详解】对于A，为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； 对于B，因为为奇函数，则，得， 又为偶函数，则，得， 所以，则， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期．故， 所以， 从而为奇函数，故B正确； 对于C，在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象关于点对称， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，又周期为8， 故在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确． 故选：ABD． 11．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案． 【详解】根据题意得：由知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设， 则函数在上至少有三个不同的零点， 等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点， 若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示， 结合图象可知，有， 即，解得，所以D正确． 三、填空题 12．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知函数，则关于的方程的解集为__________． 【答案】 【分析】先分析函数性质，化简方程两边，换元利用单调性求解即可； 【详解】函数的定义域为，且， 函数是偶函数； 因为，结合可化为 ，整理得，令，方程变为， 设，易知在上单调递增，且， 所以仅有唯一解，即，解得， 验证：都在定义域内，满足原方程，所以方程的解为. 13．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______________ 【答案】 【分析】注意到 ，则方程共有3个根，然后由题设及数形结合可得答案. 【详解】因为， 所以. 则有三个根等价于方程共有3个根. ，； ，要使有2个根且2个根中不能包含， 即与直线有两个交点，又， 将图像与画在同一坐标系下， 由图可知，， 又将代入可得，不满足.即实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为_____________．（从小到大的顺序） 【答案】 【分析】由零点的定义求得零点，根据指数与对数的取值，利用中间值法，可得答案. 【详解】根据题意，得，即，故； ，即，且，则，所以； ，即，故； 故答案为：. 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 【答案】 【分析】（1）在定义域内单调增，结合零点存在性定理可知； （2）利用代数变形得，再结合在定义域上单调增，可得，即. 【详解】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 16．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 17．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过画出的图象，和二次方程有4个不相等的实根可建立关于参数满足的不等关系，从而可得参数的取值范围． 【详解】根据可得的图象如图所示， 且；要使恰好有4个不相等的实根， 则需满足； 故关于的二次方程需满足 ，可解得；故m的取值范围是 四、解答题 18．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； (2)求函数的值域； (3)若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取且， ， 因为，所以 ，，故， 因此，即 在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递减，上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）利用定义，设变量，作差，变形，定号，证明即可； （2）根据单调性可求最值，从而可得值域； （3）换元，转化为二次型方程根的分布问题，分情况讨论可求答案. 【详解】（1）同理可得在上单调递减，因为，所以为奇函数， 所以在在上单调递减，上单调递增. （2）由（1）知，当时，；当时，； 所以函数的值域为. （3）令，因为 ，所以， 当时，仅有唯一解； 当时，有两个不相等的正实数根， 又 ， 代入方程得：， 题中要求原方程有且仅有两个不相等的实数根， 则关于的方程有且仅有一个根在区间上， 设， 当时，，不合题意； 当时，为二次方程，则必有； 当时，，得或； 时，，符合题意；时，，不合题意； 当时，得或， 若，此时开口向上，且，只有一个大于2的根， 只需，，可得. 若，此时开口向下，且，， 方程没有大于2的根，不合题意. 若，此时开口向上，，对称轴， ，方程没有大于2的根，不合题意. 综上可得，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数的零点与方程的根 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求函数的零点 题型六、嵌套函数的零点问题 题型二、由零点所在区间求参数范围 题型七、求函数零点或方程的根的个数 题型三、由零点的个数求参数范围 题型八、零点的比较大小 题型四、二次函数的零点分布问题 题型九、函数的性质与零点的综合 题型五、指对幂函数的零点分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数零点问题是高中函数板块核心重难点 所有题型均围绕零点定义、零点存在性定理、零点个数、零点分布、嵌套复合四大核心展开 解题贯穿两条底线原则：一是函数零点等价对应方程的实数根，二是零点问题优先画出函数图像辅助分析 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求函数的零点 典例1 （25-26高二下·四川成都·期中）若函数的零点为，则 （ ） A．2 B． C．1 D． 题型模版 1.特征：给出确定不含参函数解析式 要求求解函数全部零点 零点即对应的实数解 2.方法：令，解方程求得实数根 注意定义域限制，舍去不在定义域内的解 因式分解、换元是常用解方程手段 变式1-1（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 变式1-2（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式1-3（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，，，的零点分别为，，则______． 题型二、由零点所在区间求参数范围 典例2 （25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知函数零点落在某指定区间内 函数解析式带有参数，求解参数取值范围 2.方法：零点存在定理：连续函数满足则区间内存在零点 如果函数单调，等价区间内有唯一零点 非单调函数还要结合图像额外验证 变式2-1（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 变式2-2（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-3（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、由零点的个数求参数范围 典例3 （26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 题型模版 1.特征：已知函数零点总个数，反求参数取值范围 高频考法：有几个根转化与图像交点个数 2.方法：分离参数，转化两个函数图像交点问题 画出不含参函数图像，平移水平直线观察交点数量 注意图像间断点、端点处取值取舍 变式3-1（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 变式3-3（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 题型四、二次函数的零点分布问题 典例4 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 题型模版 1.特征：二次函数，已知零点分布在指定区间内部、两侧 求二次式中参数的取值范围 2.方法：结合开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号列不等式组 不能只依靠端点函数值符号，必须综合多条件 变式4-1（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 变式4-2（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3（25-26高一上·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 题型五、指对幂函数的零点分布问题 典例5 （25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则 的取值范围是___________． 题型模版 1.特征：函数包含指数、对数、幂函数混合结构 研究零点所在区间、零点个数，求解参数范围 2.方法：优先判断函数单调性，利用零点存在定理 指对函数注意定义域约束，对数真数大于0 必要时做图像变换，数形结合分析交点 变式5-1（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）． (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 变式5-2（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)当时，函数有零点，求实数的取值范围. 变式5-3（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 题型六、嵌套函数的零点问题 典例6 （2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：复合嵌套函数求零点个数或者参数范围 多层函数嵌套，内外两层函数 2.方法：换元令，先解得到的取值 再将每一个代入，求解对应解的总个数 分层处理，由外向内逐层拆解 变式6-1（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 变式6-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 变式6-3（多选）若和都是上的函数，且方程有实数解，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型七、求函数零点或方程的根的个数 典例7 （25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型模版 1.特征：给定函数或者方程，只要求统计实数根、零点总数量 不含参数或者参数为已知定值 2.方法：等价转化为两个熟悉函数图像交点个数 画出图像，数交点数量 注意定义域挖去的点，不能计入零点 变式7-1（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 变式7-2（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 变式7-3（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 题型八、零点的比较大小 典例8 （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出几个不同函数，各自拥有零点 不直接求出零点，比较多个零点数值大小 2.方法：设零点，代入方程得到等式 利用函数单调性估算零点所处区间 依靠区间位置判断零点大小关系 变式8-1（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 变式8-2（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 变式8-3（25-26高一上·广东肇庆·期末）设方程的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型九、函数的性质与零点的综合 典例9 （北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 题型模版 1.特征：融合奇偶性、单调性、周期性等函数性质 结合零点条件，求零点、参数或者代数式的值 2.方法：先用函数性质推导函数图像对称、周期规律 借助性质推导出更多零点，再结合条件求解 变式9-1（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式9-2（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式9-3（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数 ，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 8．（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 10．（25-26高一上·河南郑州·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 11．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知函数，则关于的方程的解集为__________． 13．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______________ 14．（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为_____________．（从小到大的顺序） 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 16．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 17．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 四、解答题 18．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； (2)求函数的值域； (3)若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $