4.5.1 函数的零点与方程的解 专项分层训练 - 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.5.1 函数的零点与方程的解 求函数的零点题型01 · 知识回顾 1. 函数零点定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。 2. 等价关系：函数有零点 方程有实数根 函数图像与轴有交点。 3. 零点是实数，不是点的坐标。 · 方法与技巧 1. 核心思路：解方程。 ① 整式函数：因式分解、求根公式直接求解。 ② 指对复合型：转化为指数、对数方程求解。 ③ 分段函数：分段令，每一段分别解方程，解必须落在本段定义域内。 2. 注意：求出的根要检验是否属于函数定义域，舍去不在定义域内的解。 1．函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 2．已知函数，则其的零点为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，设，得到，构造函数，由单调性可得，即，结合单调性解方程即可求解. 【详解】由题意可得，， 设，即，构造函数，单调递增， 若，则，所以，即 又单调递减，且，所以． 即的零点为， 故选：C． 3．函数的零点为_____________. 【答案】和6 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 4．函数若，则 ． 【答案】0 【详解】试题分析：根据分段函数解析式可知，若，不合题意；所以，则，若，只能当且仅当时等号成立． 5．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据单调，结合已知条件求出的解析式，然后再进一步研究函数的零点． 【详解】解：因为是定义域为的单调函数，且对任意的，都有， 故可设存在唯一的实数，使得， 则设，所以， 所以，则， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又，所以， 故 再令，，得：，解得（负值舍去）． 则函数的零点为. 故选：A． 6．已知在定义域上为单调函数，对，恒有，则函数的零点是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调，结合已知条件求出的解析式，然后再进一步研究函数的零点． 【详解】解：因为是定义域为的单调函数，且对任意的， 都有， 故可设存在唯一的实数，使得， 则设，所以， 所以，则， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又，所以， 故，再令，， 解得：，故函数的零点是. 故选：C． 零点所在区间的判断题型02 · 知识回顾 1. 零点存在定理：若函数在闭区间上连续，且，则在开区间内至少存在一个零点。 2. 定理仅能判断存在零点，不能确定零点个数；不能判定区间无零点。 3. 若函数在区间上单调，则时区间内有且仅有一个零点。 · 方法与技巧 1. 步骤： ① 判断函数在区间上是否连续。 ② 计算区间端点函数值。 ③ 判断端点函数值乘积符号，，则存在零点。 2. 快速技巧：选择题代入选项区间端点验算函数值正负。 3. 易错提醒：零点存在定理条件是开区间内存在零点；连续是必要条件；不连续函数不能直接套用。 1．函数的零点所在的区间 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在 单调递减，又可得，函数的零点在，故选A. 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断出、、的符号可得答案. 【详解】， ， 因为指数函数在上单调递减，所以，即， ， 因为幂函数在上单调递增，所以，即， 所以由零点存在定理可得函数的零点所在区间为， 故选：B 3．若是函数的零点，则属于区间（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意是函数的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可. 【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得， 所以，即． 又为上的减函数， 由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点． 故选：C． 4．设是方程的解，且，，则___________. 【答案】2 【分析】是方程的解,等价于是函数的零点，又在上单调递增，所以我们只要找到这样的，使得即可判断出的值. 【详解】是方程的解 是函数的零点，又在上连续单调递增的函数，又，即，所以在区间上必有唯一的零点，即转化为方程在有唯一的解，所以 则. 所以填写:2 5．（多选）若函数有两个零点，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由函数有两个零点，转化为二次方程有两个不等实根，利用判别式能求出的取值范围． 【详解】函数有两个零点，所以二次方程有两个不等实根， ， 解得． 选项都符合． 故选：AB． 6．函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究在区间上的单调性，结合零点存在定理列出不等式组，解不等式可得答案. 【详解】因为函数，，所以在上恒成立，则在上单调递增， 要使函数在区间内有一个零点，根据零点存在定理可得：，即， 解得：，即实数的取值范围是； 故选：D 根据零点所在区间求参数题型03 · 知识回顾 1. 函数在内存在零点，若函数连续，则满足。 2. 若函数已知单调性，可直接利用零点存在定理列不等式；含参二次函数需要结合判别式、端点函数值综合分析。 · 方法与技巧 1. 步骤： ① 确认函数在给定区间连续。 ② 将区间端点代入函数，列不等式。 ③ 解不等式得到参数范围。 2. 拓展：二次函数零点落在指定区间，除端点符号，还要结合对称轴、判别式、区间端点取值综合列条件。 3. 检验：求出参数后，回代验证零点确实落在目标区间。 1．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 2．已知，函数的零点在区间中，则的值是______. 【答案】 【分析】先判断出函数在R上单调递增，又由，，可得出存在唯一的零点在区间中，由此可得答案. 【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，， 所以函数存在唯一的零点在区间中， 又函数的零点在区间中，所以， 故答案为：. 3．已知在区间（，）内存在唯一一个零点，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】首先根据函数的单调性知：在区间上单调递增，再根据在区间上存在唯一的零点，解不等式组即可. 【详解】根据函数的单调性知：在区间上单调递增. 因为在区间上存在唯一的零点， 所以，解得：. 故答案为： 4．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】判断函数的单调性，结合零点所在的区间，根据零点存在性定理，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意，函数是定义域上的单调递增函数， 又由函数在区间上存在零点， 则满足，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 5．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】判断函数的单调性，利用零点的性质，列出不等式，即可求出实数b的取值范围． 【详解】∵单调递增，单调递增， ∴单调递增， 又∵在区间上有零点， ∴，，即，， 得． 故实数的取值范围是． 故答案为： 判断函数零点的个数题型04 · 知识回顾 1. 零点个数等价：方程实根个数 = 与轴交点个数。 2. 复合函数零点可转化：，先解，再解。 3. 单调函数在区间内至多 1 个零点。 · 方法与技巧 1. 方法一：解方程法，直接求解，统计实根个数（注意定义域）。 2. 方法二：图像交点法，变形，画与图像，数交点个数。 3. 方法三：单调性 + 零点存在定理，划分单调区间，每个单调区间判断是否存在零点，累加零点总数。 4. 复合函数零点：换元令，先求的根，再对每一个看解的个数，全部求和。 1．函数的零点的个数为___________. 【答案】 【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解. 【详解】由题意， 即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像 数形结合可知，两个函数有3个交点 故函数的零点的个数是3 故答案为：3 2．设函数则函数的零点个数为 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】在同一坐标系中画出函数函数与函数的图象，两函数图象交点的个数，即为函数的零点的个数． 【详解】令得， ∴函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数与函数的图象，如图所示， 由图象知函数与函数的图象在上有一个交点在上， ， ∵，， ∴在上函数与函数的图象有一个交点， ∵1是的一个零点， ∴函数有3个零点，故选B． 3．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】由题设易知是周期为2函数，结合函数解析式画出、的函数图象，判断它们在的交点个数即可. 【详解】因为， 所以是周期为2函数， 因为时，则、的图象如下： 时且递增，时且递减，时且递增， 又，，，      由图知：区间上函数交点共有12个． 故选：C． 4．已知函数，则方程的根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】令，先利用数形结合法研究方程的根，再将方程的根情况转化为方程根的情况求解. 【详解】当时，是增函数，， 当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 作出函数和直线的图象，如图， 当时，函数与的图象有两个交点， 即方程有两个实数解，分别设为，，且，， 当时，，函数与无交点， 令，即方程有两个解，分别为， 方程有两个解，方程有一个解， 故方程有3个根. 故选：C 根据零点个数求参数题型05 · 知识回顾 1. 零点个数问题，等价于方程实根个数，等价于两个函数图像交点个数。 2. 分段、指对、二次函数高频考察；二次函数要关注判别式、开口、对称轴。 · 方法与技巧 1. 图像法（首选）：把含参方程整理成两边熟悉函数 ，固定一个函数，参数控制另一个函数图像，平移、旋转，观察交点个数，得到参数范围。 2. 换元转化：复合函数先换元，转化内层外层零点约束，注意新元取值范围。 3. 二次函数模型：结合判别式、端点函数值、对称轴位置列不等式组。 4. 做完务必检验边界，区分 “>” 和 “≥”，参数取等时零点个数是否符合题意。 1．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】设函数，然后分析函数的单调性，然后根据函数的单调性确定出及的解析，得到分段函数的解析式及自变量的范围，画出函数的图象，然后根据的图象分析有两个解时，的取值范围. 【详解】设函数 ，则函数在上单调递增，又当时，， 所以当时，；当时，； 所以函数， 画出函数的图象，若恰有两个不同的零点，则有两解，如图所示，则. 故答案为：. 2．已知函数 ．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 3．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点与方程的根的关系，解方程和函数作图，利用数形结合运算求解即可． 【详解】由已知得， 所以或，作出函数的图象， 得的图象与直线恰有2个交点， 所以由题意知直线与的图象没有交点，所以或， 故选：B． 4. 已知函数，若方程有三个不同解，则实数的取值范围是___________． 【答案】. 【分析】画出函数f（x）的图象，求出与有三个不同的交点时的临界值，从而求出a的范围即可． 【详解】由题意知方程有三个不同解， 即与有三个不同的交点，作出f(x)的图象， 当f′（x）=-2x-2，当f′（x）=-2x-2=-2时，解得x=0， 即y=-2x+a与f(x)切于B，不满足题意； 如图：再将从右向左平移，当过B（0，1）时， 满足条件,此时（0，1）在y=2x-a上，解得a=-1； 将向左平移至与相切时，此时直线m与f(x)切于A，不满足条件， 又f′（x）=-2x-2=2，则x=-2，即A（-2，1）在y=2x-a上，解得a=-5， 所以时满足题意， 故答案为. 5. 已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，图象如下图示，    令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且， 若，则，则，此时，，显然此时不合题意， 故由图知：，即的两个零点分别在区间和内， 而开口向上，故. 故选：C 6. 若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】由题设易知是周期为2函数，结合函数解析式画出、的函数图象，判断它们在的交点个数即可. 【详解】因为， 所以是周期为2函数， 因为时，则、的图象如下： 时且递增，时且递减，时且递增， 又，，，      由图知：区间上函数交点共有12个． 故选：C． 求零点的和题型06 · 知识回顾 1. 若函数图像关于直线对称，则零点成对出现，每一对零点之和为。 2. 二次函数，韦达定理：。 3. 指数、对数复合型函数常具有对称性，利用对称性求零点和，不需要求出每个零点。 · 方法与技巧 1. 二次函数：直接韦达定理求两根之和。 2. 复杂函数：第一步找函数对称轴；若，对称轴，零点关于对称。 3. 数清楚零点总个数，分清奇数个零点（其中一个零点在对称轴上）、偶数个零点，分组求和。 4. 不强行解方程，优先挖掘对称性，是这类题型核心。 1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______，函数的所有零点之和为_______. 【答案】 1 【分析】结合奇函数的性质分段代入计算得解；按分段求出方程的解，进而求出所有根的和. 【详解】依题意，，因此； ，当时，，则，解得或； 当时，若，则，， 由，得，解得； 若，则，， 由，得，解得或， 所以函数的所有零点之和为. 故答案为：1； 2．定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________． 【答案】 【分析】画出函数与图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和. 【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标， 当时，，函数与在上图象如图所示： 设与图象交点的横坐标分别为， 由对称性可知，，. 由，结合奇偶性得出，即 解得，即. 故答案为： 3．（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在时的图象，如图所示， 设， 则关于的方程的方程等价于 解得：或， 如图， 当时，即对应一个交点为， 方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为8； （2），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为， 综上，4个实数根之和为或. 故选：BD. 4．设函数是奇函数，函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（    ） A． B． C．10110 D．5050 【答案】A 【分析】先利用题意判断出与均关于点对称；然后利用对称性求解即可. 【详解】由题可知，得，所以关于点对称；，显然关于点对称；因为函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点也关于点对称，所以每两个对称点纵坐标之和为，个交点有组对称点，所以这交点得纵坐标之和为；因为函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点也关于点对称，所以每两个对称点横坐标之和为，个交点有组对称点，所以这交点得纵坐标之和为；故这些交点得横纵坐标之和为 故选：A 比较零点的大小题型07 · 知识回顾 1. 零点即对应方程的根；零点大小比较等价比较方程根的大小。 2. 可借助函数单调性：单调函数，函数值越大，自变量大小可确定。 3. 零点可看成两个函数图像交点横坐标。 · 方法与技巧 1. 方法一：估算零点所在区间，每个零点锁定在不同区间，直接比较区间位置。 2. 方法二：构造函数，利用单调性比较；把零点代入原方程，变形后借助函数增减判断自变量大小。 3. 方法三：图像法，画出对应两个函数图像，直接观察交点横坐标的左右位置，判断零点大小。 4. 注意：零点为负数、0、正数时，先区分正负，再进一步精细比较。 1．，的零点为，，的零点为，，的零点为，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三个函数等于，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系． 【详解】解：在坐标系中画出：，，，的图象．如图：    ，的函数的零点在且靠近， 函数的零点在之间， ，函数的零点在之间且靠近， 、、的大小关系为． 故选B． 2．设为的两个零点，且，则 的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为函数的图象抛物线开口向下，且 所以在区间 ，恒成立，所以函数的两个零点在区间的两侧，即有，故选B. 考点：方程的根与函数的零点. 3．已知函数，，的零点分别为，则 的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是函数与交点的横坐标，是函数与图象交点的横坐标，是函数与图象交点的横坐标，然后在同一坐标系画出 ，的图象，利用图象求解 【详解】因为函数，，的零点分别为， 所以是函数与交点的横坐标，是函数与图象交点的横坐标，是函数与图象交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数 ， 的图象如下图所示： 曲线与的交点的横坐标依次为，由图可知， , 故选：A． 4．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 5．函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以. 故选：. 6．（多选）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用零点的意义，结合函数的图象可得，再利用指对数运算及指数函数、对数函数性质，结合零点存在性定理逐项分析判断即可. 【详解】函数，由，得， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象得函数的图象有两个交点，函数有两个零点，且， 则，，即，， 对于A，，因此，A正确； 对于B，，， 而，则由零点存在性定理得，B正确； 对于C，函数在上都单调递减，则函数 在上单调递减，，， 而，因此，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 求零点的范围题型08 · 知识回顾 1. 零点范围，即求出零点所在的开区间。 2. 零点存在定理用于锁定零点大致区间；函数单调性可以缩小零点范围。 3. 不能直接求解的超越方程（指对数混合），只能求零点所在区间，不能求出精确零点。 · 方法与技巧 1. 步骤： ① 判断函数连续性与单调性。 ② 试值，代入整数、简单分数，找两个自变量使得函数值一正一负。 ③ 由零点存在定理确定零点落在这两个数构成的开区间内。 2. 缩小零点范围：不断代入区间中点，二分法思想，压缩区间。 3. 复合函数：先对外层换元锁定范围，再反解的范围。 4. 易错：零点是取值，不要误写函数值范围。 1．已知函数，若且，则b的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出函数的图象，再通过对a分类讨论数形结合分析得解. 【详解】函数f(x)的图象如图所示， . 因为，所以， 当时，成立，此时； 当时，不成立； 当时，不成立. 故. 故选：C 2．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，则，代入对应的解析式，化简计算，可得，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】由题意得， 不妨设，则， ∴，即， ∴，即， 又， ∵，∴等号不成立，即. 故选：D. 3．已知函数，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，求出的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示： 设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 由，解得， 因为，因此，. 故选：B. 4．设函数，若互不相等的实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数型函数图像性质，以及均值不等式，即可求解. 【详解】根据题意，易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为互不相等的实数，满足， 所以设，则，故， 即，解得，因为实数，不相等，所以等号不成立，故. 故选：A. 5．已知函数若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象,由图象判断出,根据,将转化为,令,再根据对勾函数的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象如图所示:    因为,且,由图可知, 因为函数的图象关于对称, 所以, 又因为, 所以, 则①, 令,则, 因为,所以, 所以①式可化为:, 根据对勾函数的性质,函数在是增函数,在是减函数, 又, 所以的取值范围是. 故选:B. 6．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，应用数形结合及题设条件可得，进而将目标式转化为，构造，根据在上的单调性求解即可. 【详解】根据，可得图象如下： 因为有四个实数根，且， 由图知时，有四个实数根，且， 又， 则，即， 所以，所以，且， 由，在上单调递增，， 可知， 则的取值范围为. 故答案为：. 1．（25-26高一·湖南长沙·阶段检测）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 4．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数性质，确定三交点的公共函数值范围，利用根的对称性与求和，得 的值域. 【详解】分段函数：， ：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ； ：指数函数，单调递减，值域； 要存在使 ， 直线 需与两段曲线交于三点，因此， 是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称， 由韦达定理知：；由图得 ， 因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即. 当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 5．（24-25高一上·贵州遵义·期中）（多选）已知函数，若方程有4个不同的零点，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 【答案】BC 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为函数与交点横坐标， 对于A，由图知，，，故A错误； 对于B，因为，即， 所以，故B正确； 对于C，由二次函数性质可知，故C正确； 对于D，由， 而，所以，无最小值，故D错误. 故选：BC 6．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 7．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】令，由方程求得或，根据方程有且仅有5个不同实数根，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解，所以. 故答案为：. 8．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值； (3)设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或. 【分析】（1）根据求出，再利用奇函数的定义检验； （2）先利用复合函数求出在上的值域，再结合一元二次函数求的最小值即可； （3）令，画出其函数图象，结合方程的根转化为一元二次方程的区间根问题求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数，所以， 所以，得； 检验：当时，， 所以实数的值为1； （2）由（1）可知， 令，则， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 所以当时，有最小值，最小值是， 依题意，所以； （3）， 方程有三个不同的实数解， 令，则方程化为． 作出的函数图象，其中是函数图象在上的渐近线， 所以有两个根，不妨设， 则或， ①设， 则，解得， ②设，所以，得，则方程化为， 解得，满足题意， 所以实数的取值范围为或. 10．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 1．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 2．（25-26高一下·湖南·阶段检测）（多选）已知函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之积不大于1（若的图象与的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称与是一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据“小积函数”的定义，结合作图与分析计算逐一判断即得. 【详解】对于A，由，得，令，易得是增函数， 且，所以只有一个零点，且，A符合题意； 对于B，的图象如图1所示，由图可知的图象与的图象有2个交点， 设这2个交点的横坐标为.因为， 所以，得，B不符合题意； 对于C，易得与均为偶函数，的图象如图2所示，由图可知的图象与的图象有4个交点， 这4个交点的横坐标从小到大依次为，易得，所以，从而，C符合题意； 对于D，的定义域为，的定义域为，在上均单调递减， 的图象如图3所示，由图可知的图象与的图象有2个交点，设这2个交点的横坐标为. 由，得，得.因为，所以，即，D符合题意. 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）定义，设且关于的方程恰好有三个不等实根、、，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】化简函数的解析式，数形结合可得出的取值范围，不妨设，由二次函数的对称性求出的值，由可求出的范围，于是可求出的取值范围. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 当时，可得，整理可得，解得， 即当时，； 当时，可得，整理可得，解得（舍）或， 即当时，， 即， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，不妨设， 因为二次函数的对称轴为轴，则点与点关于轴对称， 所以， 由可得，故， 故的取值范围是. 4．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用奇函数的定义验证即可； （2）由结合参变量分离可得，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围； （3）由参变分离得出，令，则，可得，构造函数，其中，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且该函数为奇函数， 所以，解得，则， 对任意的，，即函数为奇函数， 综上所述，. （2）对任意的，，则， 由可得， 所以， 因为函数在上为增函数，当时，，故， 因此实数的取值范围是. （3）因为， 由得，可得， 所以， 对任意的，，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 令，则，可得， 构造函数，其中， 对任意的、且， ，即，故函数在上单调递减， 故当时，，且， 所以函数在上的值域为，故实数的取值范围是. 1．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 3．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 4．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 第四章指数函数与对数函数专项分层训练 4.5.1函数的零点与方程的解 题型01：求函数的零点 题型02：零点所在区间的判断 题型03：根据零点所在区间求参数 题型04：判断函数零点的个数 A组题型过关 题型05：根据零点个数求参数 题型06：求零点的和 题型07：比较零点的大小 专项分层训练 题型08：求零点的范围 B组能力跃升 中档题同步集训 C组思维挑战 压轴题同步挑战 延伸链接高考 体会与挑战高考真题 A组 题型过关 题型01 求函数的零点 冬知识回顾 1.函数零点定义：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点。 2.等价关系：函数y=f(x)有零点一方程f（x)=0有实数根一函数y=f(x)图像与x轴有交点。 1/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 3.零点是实数，不是点的坐标。 冬方法与技巧 1.核心思路：解方程f(x)=0。 ①整式函数：因式分解、求根公式直接求解。 ②指对复合型：转化为指数、对数方程求解。 ③分段函数：分段令f(x)=0,每一段分别解方程，解必须落在本段定义域内。 2.注意：求出的根要检验是否属于函数定义域，舍去不在定义域内的解。 1.函数fx=lnx-1的零点为() A.e B.-e c.e,0或-e,0 D.e和-e 2.已知函数fx=lg8*+6-log610-8,则其fx的零点为() A.1 B.1,0 C.2 D.2,0 3.函数fx= x2+3X-4,x≤0 1og2x+2-3,x>0的零点为 4fx-20 若f[f(a)]=0,则a=. 5.已知fx是定义域为0，+oo的单调函数，若对任意的x∈0，+o,都有ffx-log2x=3,则函数 y=2fx)_1 的零点为() 1 A.2 B.3 C.2 D.3 6.已知fx在定义域上为单调函数，对Vx∈(0，+oo,恒有ffx-log2x=1,则函数f引x的零点是 () A.2 B.1 2/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 题型02 零点所在区间的判断 ”知识回顾 1.零点存在定理：若函数y=f(x)在闭区间a,b]上连续，且f(a)小·f(b)<0,则在开区间(a,b)内至少存 在一个零点。 2.定理仅能判断存在零点，不能确定零点个数；f(a小·f(b)>0不能判定区间无零点。 3.若函数在区间上单调，则f(a)f(b)<0时区间内有且仅有一个零点。 冬方法与技巧 1.步骤 ①判断函数在区间上是否连续。 ②计算区间端点函数值fa),f(b)。 ③判断端点函数值乘积符号，f(a)小·f(b)<0,则(a,b)存在零点。 2.快速技巧：选择题代入选项区间端点验算函数值正负。 3.易错提醒：零点存在定理条件是开区间内存在零点；连续是必要条件；不连续函数不能直接套用。 1.函数f(x)=(-X的零点所在的区间 A.(0,1) B.（1,2 C.(2,3) D.（3,4) )-Vx的零点所在区间为(） 03 11 A. B. 32 c. D.1,2 3. 若xo是函数fx/ -x的零点，则X属于区间()· 31 11 1 B c.32 D. 0,3 4.设x是方程2+x-8=0的解，且x∈(k,k+1),k∈Z,则k= 3/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 5.(多选)若函数y=x2-2x+a有两个零点，则实数a的值可能是() A.-1 B.0 C.1 D.2 6.函数fx=l0g2X-1-4-a在区间2,5内有一个零点，则实数a的取值范围是() B.-3,2 -15 6 C. D. 2,5 题型03 根据零点所在区间求参数 冬知识回顾 1.函数fx)在m,n)内存在零点，若函数连续，则满足f(m小·f(n)<0。 2.若函数已知单调性，可直接利用零点存在定理列不等式；含参二次函数需要结合判别式、端点函数值综 合分析。 冬方法与技巧 1.步骤 ①确认函数在给定区间连续。 ②将区间端点代入函数，列不等式fm小·f(n)<0。 ③解不等式得到参数范围。 2.拓展：二次函数零点落在指定区间，除端点符号，还要结合对称轴、判别式、区间端点取值综合列条件。 3.检验：求出参数后，回代验证零点确实落在目标区间。 1.已知函数fx=x-a+2在区间1,3上存在零点，则实数a的取值范围是() A.2,4 B.3,4 c.3,6 D.3,11 2.已知a∈Z,函数f(x)=x+x+9的零点在区间(a,a+1)中，则a的值是 3.已知f(x)=x3+2x-a在区间(1,2)内存在唯一一个零点，则实数a的取值范围为 4.已知函数fx=log2x+1+3x+m的零点在区间0,1上，则m的取值范围为 4/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 5.已知函数x=2x+1og,x+b在区间(2,4)上有零点，则实数b的取值范围是 题型04 判断函数零点的个数 冬知识回顾 1.零点个数等价：方程fx)=0实根个数=y=f(x)与x轴交点个数。 2.复合函数零点可转化fg(x)=0,先解f(t)=0,再解g(x)=t。 3.单调函数在区间内至多1个零点。 冬方法与技巧 1.方法一：解方程法，直接求解f(x)=0,统计实根个数（注意定义域）。 2.方法二：图像交点法，变形fx)=0→h(x)=h2x),画y=h1(x)与y=h2x)图像，数交点个数。 3.方法三：单调性+零点存在定理，划分单调区间，每个单调区间判断是否存在零点，累加零点总数。 4.复合函数零点：换元令t=gx,先求ft)=0的根t,再对每一个t看g(x)=t解的个数，全部求和。 1.函数fx=x2-2x-1og2x)的零点的个数为 2夜高微x女则微g=f1-13销零点个览为 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.若函数y=f(x)(x∈R)满足fx+2)=f(x),且x∈[-1,1]时，f(x)=1-x2,已知函数 9也w" 则函数h(x)=f(x)-g(x在区间[-6,6]内的零点个数为() A.14 B.13 C.12 D.11 4.已知函数f(x)={ -2x,X≤0 x2-2x+1,x>0 则方程ff(x-f(x)=0的根个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 5/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 题型05 根据零点个数求参数 ”知识回顾 1.y=f(x,a)零点个数问题，等价于方程fx,a)=0实根个数，等价于两个函数图像交点个数。 2.分段、指对、二次函数高频考察；二次函数要关注判别式、开口、对称轴。 ”方法与技巧 1.图像法（首选）：把含参方程整理成两边熟悉函数F(x)=G(X,a),固定一个函数，参数控制另一个 函数图像，平移、旋转，观察交点个数，得到参数范围。 2.换元转化：复合函数先换元，转化内层外层零点约束，注意新元取值范围。 3.二次函数模型：结合判别式△、端点函数值、对称轴位置列不等式组。 4.做完务必检验边界，区分>”和“≥”，参数取等时零点个数是否符合题意。 1.已知函数fx=3-x,3-x≤2 2,3-x>2 若函数g(x=fx-a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 2.已知函数fx=x3,x<0, e",x≥0. gx=fx-x-a.若gx存在2个零点，则a的取值范围是() A.0,1 B.0,1 C.1,+0∞ D.1,+oo) 3.已知函数fx=x,x20, x,x<0. 若函数gx=fx-(a+3f引x+3a恰有2个零点，则实数a的取值范围 是() A.0,+o B.-o,0U3 c.0,2V2 D.-o,0U2V2,+o∞ -x2-2x+1,x≤0 4已知函数fx= x0 若方程2x-a-fx=0有三个不同解，则实数a的取值范围是 6/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 2+1,x< 5.己知函数f(x)= 、 }×-2x+1,x≥0小方程W-风-a+3=0有6个不问的实数解.则交数的 取值范围是() A.1,2 B.2,3 到 c. D. B3 6.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时，f(x)=1-x2,已知函数 g(x)=lgx,x>0, e,x<0, 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为() A.14 B.13 C.12 D.11 题型06 求零点的和 冬知识回顾 1.若函数图像关于直线x=m对称，则零点成对出现，每一对零点之和为2m。 2二次函数aX+bx+C=0.韦达定理X+X,=-。 a 3.指数、对数复合型函数常具有对称性，利用对称性求零点和，不需要求出每个零点。 7/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 ”方法与技巧 1.二次函数：直接韦达定理求两根之和。 2.复杂函数：第一步找函数对称轴；若f(2m-x)=fx),对称轴x=m,零点关于x=m对称。 3.数清楚零点总个数，分清奇数个零点（其中一个零点在对称轴上）、偶数个零点，分组求和。 4.不强行解方程，优先挖掘对称性，是这类题型核心。 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x= -|x-6+2,x∈[3，+0∞) 1o80(x+1),x∈[0,3) 则f(f(3)= ,函数gx)=f(x)-1的所有零点之和为 2.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时，f(x)=乙，则函数gx=fx-1的所有零点之和为 2x-1-1,0<x≤2 3.(多选)已知fx是定义在R上的奇函数，当X>0时， x/x2,2 若关于x的方程 [fx-a+1fx+a=0(a∈R恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为() A.4 B.-4 C.-8 D.8 4设强数y=gX-2+3足有函数，西流f=大的图很与gK的图像有02个交点，则这些交点 的横，纵坐标之和等于() A.-10110 B.-5050 C.10110 D.5050 题型07 比较零点的大小 冬知识回顾 1.零点即对应方程f(x)=0的根；零点大小比较等价比较方程根的大小。 2.可借助函数单调性：单调函数，函数值越大，自变量大小可确定。 3.零点可看成两个函数图像交点横坐标。 8/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 ”方法与技巧 1.方法一：估算零点所在区间，每个零点锁定在不同区间，直接比较区间位置。 2.方法二：构造函数，利用单调性比较；把零点代入原方程，变形后借助函数增减判断自变量大小。 3.方法三：图像法，画出对应两个函数图像，直接观察交点横坐标的左右位置，判断零点大小。 4.注意：零点为负数、0、正数时，先区分正负，再进一步精细比较。 1.fx=2-logx,fx的零点为a,gx= -8X9x肠零点动.= -l0g1x,h(x) 的零点为C,则a,b,c的大小关系是 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 2.设f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n为y=f(x)的两个零点，且m<n,则a,b,m,n的大小关系是 A.a<m<n<b B.m<a<b<n C.a<b<m<n D.m<n<a<b 3.已知函数f(x)=2*+log2x,gx)=2*1og2x+1,h(x)=2*1og2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c 的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 4.已知函数f(x)=x+x-1,g(x)=3*+x-1,h(x=log3x+x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c 的大小顺序为() A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 5.函数fx=2+x,gx=log2x+x,hx=Vx+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c,的大小顺序为 () A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 9/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 6.(多选)已知函数h(x)=(号-logx.且hm=hn=0(m<n,则() A.0<mn<1 <m<4 B.2 5 C.3 2 D.2"·log2n<1 题型08 求零点的范围 冬 知识回顾 1.零点范围，即求出零点所在的开区间。 2.零点存在定理用于锁定零点大致区间；函数单调性可以缩小零点范围。 3.不能直接求解的超越方程（指对数混合），只能求零点所在区间，不能求出精确零点。 。方法与技巧 1.步骤： ①判断函数连续性与单调性。 ②试值，代入整数、简单分数，找两个自变量使得函数值一正一负。 ③由零点存在定理确定零点落在这两个数构成的开区间内。 2.缩小零点范围：不断代入区间中点，二分法思想，压缩区间。 3.复合函数：先对外层换元锁定范围，再反解x的范围。 4.易错：零点是X取值，不要误写函数值范围。 1.已知函数fx=x2-3,若0<a<b且fa=fb,则b的取值范围是() A.0,+0 B.V3,+0 c.V3,6 D.V3,3 2.已知函数fx=log2x-1,若fa=fba≠b,则a+b的取值范围是() A.-00,2 B.-0,4 C.2,+∞ D.4,+o 3.已知函数fx=3-1,x-1 当a<b<c时，有fa=fb=fc,则af-1的取值范围是() x+3,x≤-1 A.1,9 B.4,9 c.1,4 D.4,9 4.设函数fx=2+1-1,若互不相等的实数a,b满足fa=fb,则a+b的取值范围是() 10/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 A.-∞，-2 B.-0,-2 C.-0,-1 D.-2,+o 5.已知函数f(x)=x-4,x≥0 2,x<0若x<xSX3且f=x=fx则2x,+X的取值范围是 A.(0,4] B.0,6-2V5 c.0,3-5 D.0,3+2V5 6.设函数fx=1og2x-1儿，1<x<3 (x-42,x>3 ,fx=a有四个实数根X1,2,X3,X4,且X1<X2<X3<X4,则 泽x,+xXX的取位范国是 B组 能力跃升 1.(25-26高一湖南长沙阶段检测)函数fx=X+2x-3,x≤0 x-2+Inx,x>0 的零点个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 2.(25-26商一下河北衡水阶段检测)已知函数f(x)=1og34-x,x<1 3-1,x≥1 g(x)=-x2+2mx-10, 若对任意x1∈R,存在X2∈R,使得fX1+gx2=0成立，则实数m的取值范围是() A.-3,3 B.-∞，-3U3,+o∞ C.[-3,+∞) D.(-0,3] 3.(2425高一上陕西榆林阶段检测)若函数f(x)=x+2,g(x)=x+e,h(x)=x+lnx的零点分别为 X1,X2,X3,则（) A.X2<X3<X1 B.X2<X1<X3 C.X1<X3<X2 D.X1<X2<X3 4.(25-26高一下…贵州贵阳·阶段检测)己知函数fX=乙若存在X1,X2,x3X1<x2<X3,使 11/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 fx1=fx2=fx3,则fx1+x2+x的取值范围是() A.-3,1 B.-3,1 C.-0,1 D.-0,1 5.(2425高一上贵州遵义期中)（多选）已知函数fx= 1og2x-1,1<x≤3 X-8x+16,x>3 若方程y=fx-m 有4个不同的零点X1,X2,X3,X4,且X1<X2<X3<x4,则() A.m∈(0,1] B.X1+X2=X1X2 C.X3+X4=8 上+1x+x的最小值是32 D.X1 X2 及O公高士安)（E®X920小 x)=f(x-1), 则下列说法正确的是() A.函数f(x)有3个零点 B.函数f(x)在-1,1)上单调递减 C.函数gx)的零点之积为-2 D.方程g(x)=a最多有3个实数根 7.(2425高一下云南昆明期中)己知函数fx= 1+Inx,x>0 |e*2-1,x≤0 若方程3-m+2mfx=[fx]了有 且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是 log(x+1)+a,x>0 8。(25-26高一下·上海期中)已知函数f(x)= 在R上没有零点，则实数a的取值 2"+a,x≤0 范围是 9.(25-26高一上山西晋城期末)已知函数fx=2-k·2是R上的奇函数，函数 g(x)=f(x+2f(x)+n. (1)求实数k的值： 25 (②)若函数gx在1，+o上的最小值为4，求实数n的值： 12/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 (3)设函数hx=fx+2-1,若关于x的方程hlx-2+3th(x+2t+1=0有三个不同的实数解，求 实数t的取值范围。 10.(25-26高二下.宁夏银川期中)已知函数fx=l0g222x+2*+1-ax是偶函数. (1)求实数a的值： (2)若函数gx=2x+x+m·2在x∈-1，log23上只有一个零点，求实数m的取值范围. C组 思维挑战 log2x,x>0 1.(26-27高一上·宁夏银川阶段检测)己知函数fx= 1/x ,≤0 gx=5-‖x-1,当关于实数 2 x的方程fgx-m=0有6个根时，实数m的取值范围是() A.11,2 B.1,2U1og25 c.I1,2 D.11,2u1log25 2.(25-26高一下·湖南·阶段检测)（多选）已知函数fx的图象与gx的图象的所有交点的横坐标之积 不大于1（若fx的图象与gx的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称fx与gx是 一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的有() A.fx=e与gx=-x+3 B.fx=e*与gx=-x2-4x-3 c.fx=lnx与glx=ew-e D.fx=lnx与9lx=X+1 x2-1 3。(25-26高-上广东深圳阶段检测)定义a田b=,。-4b,a≥b 2a2-8b+8,a5b 设fx=Vx+1⊕ 关于X的方程fx=m恰好有三个不等实根x1、X2、X3,则X1+X2+x3的取值范围是 4.(25-26高一下·天津河北开学考试)已知函数fx=ae+e',a∈R. (1)若函数fx为奇函数，求实数a的值： 13/14 人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网·徽率数学 (2)若fx≥a+1在0，+∞上恒成立，求实数a的取值范围： (3)设gx=ef引-x-e-1,若方程g-x=-gx有实根，求实数a的取值范围. 延伸 走进高考 1.(2026全国二卷高考真题)若函数fx=2+22-x-m有两个零点，则m的取值范围是 2.(2025天津·高考真题)函数f(x)=0.3-x的零点所在区间是（) A.（0,0.3 B.(0.3,0.5 C.(0.5,1) D.（1,2 3.(2025:上海·高考真题)关于x的方程x-1|+|T-x=π-1的解集为 4.(2023上海商考真题)函数fX=X+3a+1X+S1a,c∈R x+a (1)当a=0时，是否存在实数c,使得fx为奇函数 (2)若函数f刊x过点(1,3，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 5.(2023·天津高考真题)设Q∈R,函数fx=ax2-2x-x2-aK+1,若fx恰有两个零点，则a的取值 范围为 14/14