5.3 函数的应用（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

5.3 函数的应用 题型一 求函数的零点 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解析】令，即，解得, 所以函数的零点为和.故选：D 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】令，即，可得，即， 所以函数的零点是0.故选：A. 3．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，可得；可得， 令，因此，解得或或； 因此函数的零点是.故选：D 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，令，即，解得或， 当时，令，即，解得． 综上可知，函数有3个零点．故选：C. 题型二 函数零点所在区间问题 5．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，令，即，即，解得， 因为，所以函数在区间内存在零点.故选：C. 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，都是上的增函数，则函数是上的增函数， 而，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：C. 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，而， 所以零点所在区间是.故选：B 题型三 二分法概念的理解 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：由，可得在上存在零点，故A错误； 选项B：由，可得在上存在零点，故B错误； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点，故C正确； 选项D：由，可得在上存在零点，故D错误. 故选：C. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为， 当时，即表示满足精度要求，可以确定近似解．故选：B 题型四 用二分法求方程的近似解 11．（24-25高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即.故选：B. 12．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 13．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 14．（24-25高一·全国·课后作业）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4， 所以原方程的一个近似根为1.4． 故选：C. 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，，，则方程的解落在区间（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意可得为增函数，且，，故方程的解落在区间. 故选：B 16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 题型五 已知函数模型解决实际问题 17．（25-26高一上·河南·期中）已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解析】由函数解析式，可得： 第8天的播放量是第3天播放量的. 故选：B． 18．（25-26高一上·江苏连云港·期中）视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9，则其视力用小数记录法记录的数据约为（    ）（参考数据：） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0 【答案】C 【解析】由题意知：， 当时，可得，解得， 则， 所以其视力的小数记录法的数据约为0.8. 故选：C 19．（25-26高三上·云南曲靖·月考）我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，音量的定义是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则时的声音强度是时声音强度的（   ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【解析】由，得，所以， 即时的声音强度是时声音强度的100倍. 故选：D 20．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 21．（25-26高一上·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【解析】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 题型六 拟合函数模型解决实际问题 22．（24-25高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点. 由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A， 函数单调递减，排除C， 当时，没有意义，排除D， 故最符合实际的函数模型为. 故选:B． 23．（2025·湖南益阳·二模）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 五分记录 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为， 令，解得. 故选：B. 24．（24-25高一·全国·单元测试）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ） 2 3 4 5 6 8 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件画出散点图， 依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小． 因为函数的定义域为，当时无意义，故排除B； 函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除C； 在上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除D． 函数可以同时符合上述条件. 故选：A． 25．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . 【答案】 ③ 【解析】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢， 由图象可知，模型①④不符合， 将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③， 当时，模型②，不符合， 当时，模型③，，选模型③； 由，解得 题型一 由函数零点个数求参数的取值范围 26．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且在上是减函数； 易得，， ∴， 根据零点存在性定理及其单调性，可得函数的唯一零点所在区间为， ∴． 故选：C． 27．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】函数，其定义域为， 且，所以函数是偶函数. 由于偶函数图象关于轴对称，且有且仅有一个零点，所以有， 即，所以. 故选：C. 28．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由于， 所以是偶函数， 要使在有唯一的零点，则， 即，解得， 故选：A 29．（24-25高一上·天津红桥·月考）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数 ， 因为，令，即， 由函数有2个零点，即和有两个交点， 在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示， 结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 30．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 【答案】C 【解析】因为，令，得到， 当时，，得到，满足题意， 当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或. 故选：C. 31．（2025高一上·江苏·专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，方程有两个不同实数根， 等价于函数与的图象有两个不同的交点， 当时，如图所示， 由图可知，当时，函数与的图象有两个不同的交点，满足题意 当时，如图所示 由图可知，当时，函数与的图象有且仅有一个交点， 不满足题意, 综上所示，实数的取值范围为． 故选：D． 32．（24-25高三上·河南·月考）已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式可知，当时，单调递增，；当时，单调递减，. 函数的大致图象如下，故的最大值为，结合图象可得. 故选：B 题型二 由函数零点范围求参数的取值范围 33．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 35．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 36．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点， 得，解得，即命题成立的充要条件是， 显然成立，不等式、、都不一定成立， 而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立， 所以命题成立的一个必要不充分条件是. 故选：D 37．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 题型三 建立函数模型解决实际问题 38．（25-26高三上·云南昆明·期中）用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】经过第一次漂洗，污垢存留量为污垢总量的； 经过第二次漂洗，污垢存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的； 经过第三次漂洗，存留量为原来的，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的. 则，注意到，则至少需要漂洗的次数是4. 故选：C 39．（25-26高一上·全国·单元测试）某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】设订单总价为元，当时，实际支付元， 该笔订单店家得到的金额为， 根据题意，恒成立，即 即的最大值为10． 故选：D 40．（24-25高一上·江西吉安·期末）某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（    ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】A 【解析】由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为， ∴，故， ∴， 故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交． 故选：A. 41．（24-25高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 42．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．120小时 B．144小时 C．168小时 D．180小时 【答案】A 【解析】由题意可知，作商得，所以， 则. 故选：A 43．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因的定义域为，任取， 由 ， 当时，则，故，且， 此时，即，即函数在上单调递减； 当时，则，故，且， 此时，即，即函数在上单调递增. 又，，当时，， 故函数在上无零点，在上有一个零点. 又，故函数的零点所在区间是. 故选：C. 44．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 45.（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到在上单调递增， ，注意到， 又，则，则， 又，则； 令，得； 在R上单调递减，注意到. 则，即. 故选：D 46．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数则的图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【解析】设，， 则， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值， 又当时，，当时，， 又由关于原点对称的曲线为， 画出函数与的图象，可得两函数的图象有4个交点. 所以的图象上关于原点对称的点有4对. 故选：D 47．（25-26高一上·全国·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ）. A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解析】由题得， ，代入得，即，解得， 故有. 当时，，即，解得， 即降温到，需要的时长为. 故选：C. 48．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【解析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 49．（23-24高一上·河南南阳·期末）要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人天和3人天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人. 【答案】28 【解析】设安排到硬土地工作的人数为x人，则安排到软土地工作的人数为人， 则在软土地带工作时间为，在硬土地带工作时间为， 要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工， 即，即，解得， 由于，而， 由于为增函数，在上单调递减， 故只有当时，两地带最接近于同时完工， 故需安排到硬土地工作的人数是28人， 50．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元. 【答案】 【解析】设房屋的长为，则宽为，则总造价 ，当且仅当，即时取等号， 故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元. 51．（25-26高一上·天津滨海新·期中）已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】   在坐标系中画出，由图可知，要使与有三个交点，应使. 52．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 则是与交点的横坐标， 根据解析式可作出图象如下图所示， ，，， 令，解得：或； 令，解得：； ； 令，则，； ， 在上单调递增，， 即的取值范围为. 53．（25-26高一上·重庆·期中）当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减．刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：．已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为（）．则生物体死亡 天后，它机体内该元素含量变为（）． 【答案】15 【解析】由题意可知，化简得，解得，则， 可得，化简得，解得. 54．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)在(1)的条件下，方程有2个不同的实根，求实数的取值范围． 【解】（1）当时，，, ， 所以函数是奇函数； （2）由（1）， 即由两个不同的根， 即有两个不同的根， 当时，得不符合题意， 当时，由题意可得：， 解得，且, 综上实数的取值范围是. 55．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数（其中为常数）. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)试证明：函数为偶函数； (3)若对于任意，关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【解】（1）由得 ， 故的最小值为1，当且仅当时取到最小值. （2）函数的定义域为，关于原点对称. ， 则， ， 所以，即为偶函数. （3）， 令， 则在上有解等价于在上有解， 即在有解. 令，则由可得：， 即在上有解. 因为，所以在上单调递减， 所以， 因为，所以， 则在上有解可得， 所以方程在上有解，实数的取值范围为. 56．（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)求关于的不等式的解集； (3)方程在内有且仅有一个实根，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，， 令，即，解得或， 所以函数的零点为，. （2）由，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式解得； 若，即时，不等式为，无解； 若，即时，不等式解得； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）由题意，方程在内有且仅有一个实根， 则函数在上与轴有且仅有一个交点， 当时，，与轴有且仅有一个交点，满足题意； 当时，函数，恒过定点，，则， 结合二次函数的图象及零点存在性定理，可知函数在上与轴有且仅有一个交点， 则函数在上与轴无交点， 所以，解得，即且. 综上所述，实数的取值范围为. 57．（25-26高一上·海南·期中）某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. (1)求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） (2)当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【解】（1）由题意，铺设完工所需时间为天，                   当时，, 当时，， 所以 . （2）当时，是减函数， 所以当时，，                       当时，，                  当且仅当时等号成立，，                      因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 58．（2025高一上·重庆·专题练习）某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为x（）米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）. (1)求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； (2)若对任意的x（）时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 【解】（1）由题意可知，地面长为米，墙面面积为平方米， 所以. 根据基本不等式的性质， 当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为. （2）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时， 恒成立， 化简得，因为， 当且仅当，即时等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 59．（25-26高一上·山东泰安·期中）为了满足市场需求，某公司成功自主研发了A，B两款产品，产品一经上市，便呈现供不应求的热销局面.运用大数据统计，该公司获得了A，B两款产品30天内（包括第30天）的销售量、销售收入等数据.根据统计数据显示A产品的销售价格为50元/件，日销售量 （单位：千件）与第x天的部分对应数据如下表： x 6 10 16 20 23 27 30 36 40 46 50 47 43 40 现给出三个函数模型：①；②；③． (1)请根据上表中数据的变化趋势，从中选择一种函数模型，恰当地描述A产品的日销售量与时间x的函数关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)已知B产品这30天的日销售收入（单位：千元）与时间x（单位：天）的函数关系式近似满足，求这30天内A产品的日销售收入不少于B产品的天数. 【解】（1）由题设中表格中的数据知，当增大时，先增后减， 因为函数和为单调函数，所以不符合该数据的模型， 所以选择③的函数模型， 由，可得，解得， 所以， 其中函数的定义域为. （2）产品这30天的日销售收入与时间近似满足， 因为产品的销售价格为50元/件，可得产品的日销售收入为， 要使得产品的日销售收入不少于产品的日销售，所以， 即，即， 解得，解得， 因为，所以这30天内产品的日销售收入不少于产品的天数为天. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 函数的应用 题型一 求函数的零点 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 函数零点所在区间问题 5．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 题型三 二分法概念的理解 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 题型四 用二分法求方程的近似解 11．（24-25高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 13．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一·全国·课后作业）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，，，则方程的解落在区间（　　） A． B． C． D．不能确定 16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 题型五 已知函数模型解决实际问题 17．（25-26高一上·河南·期中）已知某视频第（为1到20内的整数）天的播放量可以用表示，其中为正实数，则该视频第8天的播放量是第3天播放量的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 18．（25-26高一上·江苏连云港·期中）视力检查时通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据.五分记录法的数据和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.9，则其视力用小数记录法记录的数据约为（    ）（参考数据：） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0 19．（25-26高三上·云南曲靖·月考）我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，音量的定义是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则时的声音强度是时声音强度的（   ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 20．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 21．（25-26高一上·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 题型六 拟合函数模型解决实际问题 22．（24-25高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·湖南益阳·二模）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 五分记录 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一·全国·单元测试）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ） 2 3 4 5 6 8 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 A． B． C． D． 25．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . 题型一 由函数零点个数求参数的取值范围 26．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 27．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 28．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（24-25高一上·天津红桥·月考）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 31．（2025高一上·江苏·专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·河南·月考）已知函数，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 由函数零点范围求参数的取值范围 33．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 建立函数模型解决实际问题 38．（25-26高三上·云南昆明·期中）用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原来的二百分之一，则至少需要漂洗的次数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（25-26高一上·全国·单元测试）某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 40．（24-25高一上·江西吉安·期末）某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（    ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 41．（24-25高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 42．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．120小时 B．144小时 C．168小时 D．180小时 43．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45.（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数则的图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 47．（25-26高一上·全国·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ）. A．10 B．20 C．30 D．40 48．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 49．（23-24高一上·河南南阳·期末）要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人天和3人天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人. 50．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元. 51．（25-26高一上·天津滨海新·期中）已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为 . 52．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 . 53．（25-26高一上·重庆·期中）当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减．刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：．已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为（）．则生物体死亡 天后，它机体内该元素含量变为（）． 54．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)在(1)的条件下，方程有2个不同的实根，求实数的取值范围． 55．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数（其中为常数）. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)试证明：函数为偶函数； (3)若对于任意，关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 56．（25-26高一上·北京·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)求关于的不等式的解集； (3)方程在内有且仅有一个实根，求实数的取值范围. 57．（25-26高一上·海南·期中）某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. (1)求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） (2)当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 58．（2025高一上·重庆·专题练习）某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为x（）米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）. (1)求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； (2)若对任意的x（）时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围. 59．（25-26高一上·山东泰安·期中）为了满足市场需求，某公司成功自主研发了A，B两款产品，产品一经上市，便呈现供不应求的热销局面.运用大数据统计，该公司获得了A，B两款产品30天内（包括第30天）的销售量、销售收入等数据.根据统计数据显示A产品的销售价格为50元/件，日销售量 （单位：千件）与第x天的部分对应数据如下表： x 6 10 16 20 23 27 30 36 40 46 50 47 43 40 现给出三个函数模型：①；②；③． (1)请根据上表中数据的变化趋势，从中选择一种函数模型，恰当地描述A产品的日销售量与时间x的函数关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)已知B产品这30天的日销售收入（单位：千元）与时间x（单位：天）的函数关系式近似满足，求这30天内A产品的日销售收入不少于B产品的天数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $