专题01 直角三角形的性质及锐角三角函数12类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“性质-定义-应用”为逻辑主线，通过12类热考题型系统构建直角三角形性质及锐角三角函数解题方法体系，强化通法迁移与推理意识、应用意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|2条核心原则|提炼“边角关系-定义应用-特殊角值”通法，明确勾股定理补全边长等底线原则|从直角三角形性质到三角函数定义，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |12类基础题型|每类1典例+3变式|分题型归纳特征（如折叠问题含等量关系）、方法（如设元列方程）及易错点（如对边邻边辨析）|覆盖性质应用、定义辨析、坐标转化等，形成从基础到综合的梯度| |压轴挑战|15道综合题|融合几何变换与函数思想，强化复杂情境下知识迁移|衔接中考命题趋势，提升综合解题与创新意识|

专题01 直角三角形的性质及锐角三角函数12类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用直角三角形的性质求解 1 类型二、直角三角形与折叠问题 2 类型三、正弦、余弦、正切的概念辨析 4 类型四、直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 5 类型五、由正弦、余弦、正切的值求边长 6 类型六、由正弦、余弦、正切的值求坐标 8 类型七、与特殊角的三角函数有关的混合运算 9 类型八、由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 10 类型九、由正弦、余弦、正切的的值求角度 11 类型十、同角(互余)两角的三角函数的关系 11 类型十一、锐角的三角函数的增减性 12 类型十二、求特殊角的三角函数的值 13 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 直角三角形的性质及锐角三角函数是初中几何与代数交汇的核心内容，所有题型均围绕直角三角形边角关系、三角函数定义、特殊角函数值三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是在直角三角形中求三角函数值必须先分清对边、邻边、斜边，未知边一律先用勾股定理补全；二是三角函数值只与角度有关、与三角形大小无关，凡判断形状、求角度、比大小均须回归定义与特殊角函数值。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用直角三角形的性质求解 典例精讲1（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的部分边或角，利用性质求其余边角或相关量 2.方法：回忆直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余、30° 角所对直角边等于斜边一半、斜边中线等于斜边一半）→根据已知条件选取适用性质→列式求解。 3.易错提醒：勾股定理只适用于直角三角形；30° 性质须确认是 30° 角所对的直角边，不可混淆直角边与斜边。 变式训练1（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 变式训练2（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． 变式训练3（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 类型二、直角三角形与折叠问题 典例精讲2（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为______． 题型归纳 1.特征：直角三角形经折叠后产生等量关系（对应边相等、对应角相等），求边长或角度。 2.方法：抓住折叠的本质 —— 折痕是对称轴，折叠前后对应线段相等、对应角相等→设未知数，利用勾股定理列方程→求解。 3.易错提醒：折叠后落在斜边上的线段关系易看错，须先标出相等的边；设元后要确保方程中各线段均能用未知数表示。 变式训练1（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 变式训练2（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 变式训练3（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 类型三、正弦、余弦、正切的概念辨析 典例精讲3（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 题型归纳 1.特征：判断关于三角函数定义的叙述是否正确，或辨析 sin、cos、tan 的含义。 2.方法：紧扣定义 ——sin = 对边 / 斜边，cos = 邻边 / 斜边，tan = 对边 / 邻边，均是在直角三角形中针对锐角而言→逐项对照定义判断。 3.易错提醒：三角函数值是比值，与三角形大小无关；"对边"" 邻边 " 须指明是哪个锐角的对边、邻边。 变式训练1（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 类型四、直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 典例精讲4（2022·贵州黔西南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的边长（或部分边长），求某个锐角的三角函数值。 2.方法：确定所求角→标出对边、邻边、斜边→缺少的边用勾股定理求出→按定义写出比值并化简。 3.易错提醒：先认准 "求哪个角" 再定对边邻边；斜边是直角所对边，永远是最长边，不可混用。 变式训练1（2026·四川乐山·二模）如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 变式训练2（2026·江苏扬州·三模）如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 变式训练3（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 类型五、由正弦、余弦、正切的值求边长 典例精讲5（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型归纳 1.特征：已知某个锐角的三角函数值及一条边长（或比例关系），求其它边长。 2.方法：由三角函数值设出两边比例（如 sinA=a/c）→结合已知边长与勾股定理求比例系数→求出各边实际长度。 3.易错提醒：三角函数值是比值，须先设比例再求实际边长，不可把比值直接当边长；注意所求边与已知边在定义式中的位置对应。 变式训练1（2026·浙江台州·二模）如图，中，，，．以A，B为圆心，分别以，为半径画圆弧，两弧交于点C，D．则四边形的对角线的长为（     ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25九年级上·北京海淀·期中）在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 类型六、由正弦、余弦、正切的值求坐标 典例精讲6（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值，结合坐标系或图形求点的坐标。 2.方法：由三角函数值设出直角三角形两边的比例关系→结合已知线段或勾股定理求实际边长→转化为点的横纵坐标。 3.易错提醒：坐标有正负之分，须结合点所在象限确定符号；比例系数要由已知条件准确求出。 变式训练1（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 变式训练2（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（2021·天津南开·一模）如图，已知菱形的顶点且，则菱形两对角线的交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练4（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接将纸片沿折叠，使A落在的位置，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 类型七、与特殊角的三角函数有关的混合运算 典例精讲7（2026·湖南·三模）已知公式：．已知．则______． 题型归纳 1.特征：算式中含 30°、45°、60° 的三角函数值及乘方、开方、加减乘除运算。 2.方法：熟记特殊角函数值表（30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切）→代入数值→按实数运算顺序（先乘方开方、再乘除、后加减）计算。 3.易错提醒：特殊角函数值必须记准（如 sin30°=1/2，cos60°=1/2）；运算顺序和符号（负数偶次方）不可出错。 变式训练1（2026·山东济南·中考真题）计算：． 变式训练2（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中． 变式训练3（26-27九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 类型八、由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 典例精讲8（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 题型归纳 1.特征：给出含三角函数的等式（如 sinA=cosB 或某式为 0），判断三角形形状。 2.方法：利用三角函数值与角度的对应关系（或非负性、平方和为 0 等）推出角的关系→结合内角和判断形状（直角 / 等腰 / 等边等）。 3.易错提醒：三角函数值为 0 或 1 的特殊情形对应特殊角；多个条件须同时满足，注意解出的角是否在三角形内角和范围内。 变式训练1（25-26九年级上·山东烟台·期末）若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 变式训练2（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 变式训练3．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，是的中线，是锐角，，，．    (1)求的长． (2)求的值． 类型九、由正弦、余弦、正切的的值求角度 典例精讲9（22-23九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值（常为特殊值），求该角度数。 2.方法：将已知值与特殊角函数值对照→直接得出角度；非特殊值则借助计算器或保留反三角函数形式。 3.易错提醒：锐角范围内三角函数值与角一一对应，但须确认角度范围；由 cos 值求角时注意与 sin 值的对应区分。 变式训练1（22-23九年级下·福建泉州·期中）如图所示的是可调节弧形衣架，它可以近似看成一段劣弧，其中螺母B的位置是该劣弧的中点，过点B作，垂足为点M，其中，，则的度数约为（    ）（参考数据，，，）    A． B． C． D． 变式训练2（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，于点，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26九年级上·河南开封·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 类型十、同角(互余)两角的三角函数的关系 典例精讲10（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 题型归纳 1.特征：利用同角关系（sin²A+cos²A=1、tanA=sinA/cosA）或互余关系（sinA=cos (90°−A)）求值或化简。 2.方法：判断是 "同角" 还是 "互余"→同角用平方关系或商数关系，互余用 sinA=cosB、tanA・tanB=1→代入转化求解。 3.易错提醒：互余关系是 sinA=cos (90°−A)，不是 sinA=sin (90°−A)；同角平方关系开方时注意符号。 变式训练1（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 变式训练2（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如果为锐角，且，那么_____． 变式训练3（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为锐角，且，则_______． 类型十一、锐角的三角函数的增减性 典例精讲11（25-26八年级下·北京·期中）若是锐角，，则取值范围为________． 题型归纳 1.特征：比较不同锐角的同名三角函数值大小，或判断函数值随角度变化的情况。 2.方法：熟记增减性 —— 锐角范围内，sin、tan 随角度增大而增大，cos 随角度增大而减小→按角度大小直接判断。 3.易错提醒：正弦、正切递增，余弦递减，三者规律不同不可混记；比较时须保证为同一三角函数且角度在同一范围内。 变式训练1（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 变式训练2（2026九年级下·全国·专题练习）比较大小（用＜连接），，，__． 变式训练3（24-25九年级上·北京海淀·期中）以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 变式训练4（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 类型十二、求特殊角的三角函数的值 典例精讲12（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：直接求 30°、45°、60° 等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2.方法：熟记特殊角函数值表，或用含特殊角的直角三角形（30°-60°-90°、等腰直角三角形）推导→准确写出结果。 3.易错提醒：特殊角函数值是考查热点，务必记准（sin45°=cos45°=√2/2，tan30°=√3/3 等），分母有理化要规范。 变式训练1（2022·天津河西·模拟预测）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式训练2（2026·山东淄博·一模）从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 变式训练3（25-26九年级上·北京顺义·期末）按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式训练4（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在中，，，则（     ）． A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 3．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 7．（21-22九年级下·山东德州·开学考试）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 12．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 13．（第三十二章锐角三角函数2解直角三角形及其应用）已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 14．（2026·山西长治·三模）如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 16．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 17．（26-27九年级上·北京·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 18．（2022·北京门头沟·模拟预测）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 20．（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”． (1)①如图1，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为__________； ②如图2，在倍四边形中，若对角线被平分，则__________；（用含的代数式表示） (2)如图3，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值； (3)如图4，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形．若平分，，四边形为2倍四边形，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直角三角形的性质及锐角三角函数12类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用直角三角形的性质求解 1 类型二、直角三角形与折叠问题 5 类型三、正弦、余弦、正切的概念辨析 9 类型四、直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 11 类型五、由正弦、余弦、正切的值求边长 15 类型六、由正弦、余弦、正切的值求坐标 20 类型七、与特殊角的三角函数有关的混合运算 25 类型八、由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 27 类型九、由正弦、余弦、正切的的值求角度 30 类型十、同角(互余)两角的三角函数的关系 33 类型十一、锐角的三角函数的增减性 35 类型十二、求特殊角的三角函数的值 38 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 直角三角形的性质及锐角三角函数是初中几何与代数交汇的核心内容，所有题型均围绕直角三角形边角关系、三角函数定义、特殊角函数值三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是在直角三角形中求三角函数值必须先分清对边、邻边、斜边，未知边一律先用勾股定理补全；二是三角函数值只与角度有关、与三角形大小无关，凡判断形状、求角度、比大小均须回归定义与特殊角函数值。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用直角三角形的性质求解 典例精讲1（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的部分边或角，利用性质求其余边角或相关量 2.方法：回忆直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余、30° 角所对直角边等于斜边一半、斜边中线等于斜边一半）→根据已知条件选取适用性质→列式求解。 3.易错提醒：勾股定理只适用于直角三角形；30° 性质须确认是 30° 角所对的直角边，不可混淆直角边与斜边。 变式训练1（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 变式训练2（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由中位线定理可得，，再证明，所以，则，然后证明，则有，故，所以，最后通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵中线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，是中线， ∴，即的长为． 变式训练3（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据点A和点B的坐标得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形的性质可得答案 ． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ． 类型二、直角三角形与折叠问题 典例精讲2（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中， ∵将长方形纸片沿折叠， ∴，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 题型归纳 1.特征：直角三角形经折叠后产生等量关系（对应边相等、对应角相等），求边长或角度。 2.方法：抓住折叠的本质 —— 折痕是对称轴，折叠前后对应线段相等、对应角相等→设未知数，利用勾股定理列方程→求解。 3.易错提醒：折叠后落在斜边上的线段关系易看错，须先标出相等的边；设元后要确保方程中各线段均能用未知数表示。 变式训练1（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为____________． 【答案】3 【分析】利用翻折和三角形内角和定理可得，，则可得，，利用勾股定理求出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式训练2（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 变式训练3（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，勾股定理等内容，解题的关键是画出图形，利用平行线的性质得到，再利用勾股定理求解． 根据题意，画出图形，根据折叠的性质以及平行线的性质得到，利用等面积法求得，从而得到，勾股定理求得，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 类型三、正弦、余弦、正切的概念辨析 典例精讲3（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 题型归纳 1.特征：判断关于三角函数定义的叙述是否正确，或辨析 sin、cos、tan 的含义。 2.方法：紧扣定义 ——sin = 对边 / 斜边，cos = 邻边 / 斜边，tan = 对边 / 邻边，均是在直角三角形中针对锐角而言→逐项对照定义判断。 3.易错提醒：三角函数值是比值，与三角形大小无关；"对边"" 邻边 " 须指明是哪个锐角的对边、邻边。 变式训练1（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 变式训练2（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 变式训练3（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 类型四、直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 典例精讲4（2022·贵州黔西南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的边长（或部分边长），求某个锐角的三角函数值。 2.方法：确定所求角→标出对边、邻边、斜边→缺少的边用勾股定理求出→按定义写出比值并化简。 3.易错提醒：先认准 "求哪个角" 再定对边邻边；斜边是直角所对边，永远是最长边，不可混用。 变式训练1（2026·四川乐山·二模）如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，， 如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 变式训练2（2026·江苏扬州·三模）如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 【答案】2 【分析】连接交于点，由正方形的性质可知，，根据，可判定，然后利用相似三角形的性质得到，进而求得，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】解：如图，取格点F，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 变式训练3（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 类型五、由正弦、余弦、正切的值求边长 典例精讲5（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 题型归纳 1.特征：已知某个锐角的三角函数值及一条边长（或比例关系），求其它边长。 2.方法：由三角函数值设出两边比例（如 sinA=a/c）→结合已知边长与勾股定理求比例系数→求出各边实际长度。 3.易错提醒：三角函数值是比值，须先设比例再求实际边长，不可把比值直接当边长；注意所求边与已知边在定义式中的位置对应。 变式训练1（2026·浙江台州·二模）如图，中，，，．以A，B为圆心，分别以，为半径画圆弧，两弧交于点C，D．则四边形的对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，根据题意可得垂直平分，在中，利用三角函数的定义求得，即可求解． 【详解】解：设与交于点，如图， 由题意可得，， ∴点，在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，即，， 在中，，，， 由三角函数的定义可得，， ∴， ∴． 变式训练2（24-25九年级上·北京海淀·期中）在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式训练3（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，可得，结合，可证，进而可证，推出．求的值转化为求，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据，，推出，进而即可求解． 【详解】解：中，，点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 是等腰三角形， ， 又，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 4（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点O，由同角的余角相等得，设，则，从而，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 在菱形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； 设，则， ∴， ∴， ∴． 类型六、由正弦、余弦、正切的值求坐标 典例精讲6（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 【答案】 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值，结合坐标系或图形求点的坐标。 2.方法：由三角函数值设出直角三角形两边的比例关系→结合已知线段或勾股定理求实际边长→转化为点的横纵坐标。 3.易错提醒：坐标有正负之分，须结合点所在象限确定符号；比例系数要由已知条件准确求出。 变式训练1（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，点与原点的距离，线段与轴正半轴的夹角为，且，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解. 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 故选：D.    【点睛】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键. 变式训练2（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为， ∴， ∴． 变式训练3（2021·天津南开·一模）如图，已知菱形的顶点且，则菱形两对角线的交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，根据点O、C坐标可得OC=2，根据菱形的性质可得OA=OC=2，点D为AC中点，由∠AOC=60°，利用∠AOC的三角函数值可求出OE、AE的长，即可得出点A坐标，进而根据点A、C坐标即可点D坐标． 【详解】如图，过点A作AE⊥OC于E， ∵， ∴OC=2， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=OC=2，点D为AC中点， ∵∠AOC=60°， ∴，=， ∴A（1，）， ∵，， ∴点D坐标为（，）． 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质及三角函数的定义，熟练掌握菱形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 变式训练4（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接将纸片沿折叠，使A落在的位置，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成，综合考查了矩形的性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，构造方程是解题关键．过点作轴的垂线，垂足为，根据先求出、的长度，借助面积公式求出、的长度即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为， 设，， 四边形是矩形， ， 四边形为梯形， 设，， ∵，， ∴， 解得，（负值舍去） 由题意得， ， 由勾股定理得， 由面积公式得， 联立解得，， 点的坐标为 故选：． 类型七、与特殊角的三角函数有关的混合运算 典例精讲7（2026·湖南·三模）已知公式：．已知．则______． 【答案】 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可. 【详解】解：由题意， . 题型归纳 1.特征：算式中含 30°、45°、60° 的三角函数值及乘方、开方、加减乘除运算。 2.方法：熟记特殊角函数值表（30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切）→代入数值→按实数运算顺序（先乘方开方、再乘除、后加减）计算。 3.易错提醒：特殊角函数值必须记准（如 sin30°=1/2，cos60°=1/2）；运算顺序和符号（负数偶次方）不可出错。 变式训练1（2026·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】计算三角函数，负整数幂，零指数幂，二次根式，绝对值，最后合并计算即可． 【详解】解： ． 变式训练2（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 变式训练3（26-27九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 类型八、由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 典例精讲8（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 题型归纳 1.特征：给出含三角函数的等式（如 sinA=cosB 或某式为 0），判断三角形形状。 2.方法：利用三角函数值与角度的对应关系（或非负性、平方和为 0 等）推出角的关系→结合内角和判断形状（直角 / 等腰 / 等边等）。 3.易错提醒：三角函数值为 0 或 1 的特殊情形对应特殊角；多个条件须同时满足，注意解出的角是否在三角形内角和范围内。 变式训练1（25-26九年级上·山东烟台·期末）若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 变式训练2（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 变式训练3．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，是的中线，是锐角，，，．    (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理解，求得，，再由的值可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则可求； （2）由中线的性质可得，再求出，则可根据正切的定义求． 【详解】（1）解：过点作于点，    在中， ， ， ， ， ，， 在中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：为边上的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 类型九、由正弦、余弦、正切的的值求角度 典例精讲9（22-23九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的度数是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义，得出，再根据特殊角的三角函数值，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数的定义，解答本题的关键是根据题意做出图形，利用特殊角的三角函数值求解． 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值（常为特殊值），求该角度数。 2.方法：将已知值与特殊角函数值对照→直接得出角度；非特殊值则借助计算器或保留反三角函数形式。 3.易错提醒：锐角范围内三角函数值与角一一对应，但须确认角度范围；由 cos 值求角时注意与 sin 值的对应区分。 变式训练1（22-23九年级下·福建泉州·期中）如图所示的是可调节弧形衣架，它可以近似看成一段劣弧，其中螺母B的位置是该劣弧的中点，过点B作，垂足为点M，其中，，则的度数约为（    ）（参考数据，，，）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质，可得，求得，即可求解． 【详解】解：连接，如下图：    由题意得：为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 变式训练2（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，于点，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数，含角的直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 变式训练3（25-26九年级上·河南开封·期末）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．由题意知，，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 类型十、同角(互余)两角的三角函数的关系 典例精讲10（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 题型归纳 1.特征：利用同角关系（sin²A+cos²A=1、tanA=sinA/cosA）或互余关系（sinA=cos (90°−A)）求值或化简。 2.方法：判断是 "同角" 还是 "互余"→同角用平方关系或商数关系，互余用 sinA=cosB、tanA・tanB=1→代入转化求解。 3.易错提醒：互余关系是 sinA=cos (90°−A)，不是 sinA=sin (90°−A)；同角平方关系开方时注意符号。 变式训练1（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 变式训练2（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如果为锐角，且，那么_____． 【答案】0.619 【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题关键是熟记三角函数关系． 根据可得到结果 【详解】解：如图，中，设， 则 ∴， 故答案为0.619． 变式训练3（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： 类型十一、锐角的三角函数的增减性 典例精讲11（25-26八年级下·北京·期中）若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 题型归纳 1.特征：比较不同锐角的同名三角函数值大小，或判断函数值随角度变化的情况。 2.方法：熟记增减性 —— 锐角范围内，sin、tan 随角度增大而增大，cos 随角度增大而减小→按角度大小直接判断。 3.易错提醒：正弦、正切递增，余弦递减，三者规律不同不可混记；比较时须保证为同一三角函数且角度在同一范围内。 变式训练1（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 变式训练2（2026九年级下·全国·专题练习）比较大小（用＜连接），，，__． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，熟练掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．利用互余的角的三角函数关系进行转化，同时掌握即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 变式训练3（24-25九年级上·北京海淀·期中）以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式训练4（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 类型十二、求特殊角的三角函数的值 典例精讲12（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：直接求 30°、45°、60° 等特殊角的正弦、余弦、正切值。 2.方法：熟记特殊角函数值表，或用含特殊角的直角三角形（30°-60°-90°、等腰直角三角形）推导→准确写出结果。 3.易错提醒：特殊角函数值是考查热点，务必记准（sin45°=cos45°=√2/2，tan30°=√3/3 等），分母有理化要规范。 变式训练1（2022·天津河西·模拟预测）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 变式训练2（2026·山东淄博·一模）从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】结合无理数和有理数的定义（无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称），负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，化简题干中每个数并判断类型，找出所有无理数，再对应选项，即可得到结果． 【详解】解：逐个化简判断各数的类型： ∵ ，是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有选项D中的两个数都是无理数． 变式训练3（25-26九年级上·北京顺义·期末）按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】A． ，时， ， B． ，时， ， C． ，时， ， D． ，时， ． 故选：A． 变式训练4（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在中，，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据题意画出的草图，再结合，推出的度数，根据为特殊角即可求解其余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴为直角三角形，为斜边， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，先利用角平分线定理和勾股定理求解的长度，再由含的特殊直角三角形计算得到的长度． 【详解】如图，过作于，则， ， ，． 平分，，， ． ， ， ， ， ， ， ． ，， ． 2．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 3．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 4．（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 【详解】解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 7．（21-22九年级下·山东德州·开学考试）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得，进而求得，设，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，使点D落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 即， ∴． 8．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 9．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，的垂直平分线交 于点 ， 、为垂足，若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 11．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 / 【分析】根据正方形性质和已知线段长证明，从而得出，即；结合图形及可知为中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点，即在中，是斜边上的中线， ， 在中，， ， ． 12．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 13．（第三十二章锐角三角函数2解直角三角形及其应用）已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ，， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 14．（2026·山西长治·三模）如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点M，证明，，求解即可． 【详解】解：， ，     ， ， ， ， ， ， ， 解得，（边长不能为负，负的舍去） ， ， ， ， 过点A作，交的延长线于点M， ∴， ∴， ∴， 解得，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】如图：过A作于F，过D作于G，则，证明 可得，易得；再利用正弦的定义可求得，运用勾股定理求得，最后利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作于F，过D作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 16．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． (1)计算线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定义和勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （2）先根据三角形的中线平分该三角形的面积求得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． 设，则， ， ． ，解得， ，， ∵D是的中点， ； （2）解：∵D是的中点， ∴， ，即， ∴， ． ∴在中，． 17．（26-27九年级上·北京·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（2022·北京门头沟·模拟预测）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据正切函数的定义即可得出答案； （2）延长至，使，过点作于，根据可得，设，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，进而得出，根据外角性质得出，，根据正切函数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：如图，延长至，使，过点作于， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【详解】（1）解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． （2）解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴， ∴． （3）解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 20．（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”． (1)①如图1，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为__________； ②如图2，在倍四边形中，若对角线被平分，则__________；（用含的代数式表示） (2)如图3，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值； (3)如图4，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形．若平分，，四边形为2倍四边形，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，根据点为中点，得出，结合倍四边形的定义，即可求解； ②过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而根据三角形的面积比，即可求解； （2）过点作交于点，证明得出，设，进而表示出的长，即可求解； （3）设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为；分两种情况讨论，当时，设，证明得出，设，则，证明得出，进而求得的值，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解；当时，同理可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为倍四边形， ∴； ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形为倍四边形，对角线被平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为 ①当时，设，如图4， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴； ②当时，设，如图4， 同①可得，， ∴， 同①可得， ∴， 设，则， ∴，， ∵，即， 解得：， ∴,， 在中，， ∴， 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $