专题01 解一元二次方程的8类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以四大核心思想为统领，通过8类热考题型系统构建解一元二次方程的方法体系，强调等价转化与规范验根，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1模块|提炼方程结构分析、根的判别式应用、等价转化降次等核心方法，明确验根与参数讨论原则|从概念本质出发，构建“思想-原则-应用”逻辑链| |题型精讲|8类题型（每类1典例+3-4变式）|针对不同结构特征，总结因式分解法、换元法、分类讨论（绝对值）、降次法（高次）、升次法（无理）等具体策略|按“基础解法→特殊技巧→综合创新”递进，实现方法迁移| |压轴挑战|8道综合题|融合换元、平均数法等跨题型方法，强化复杂问题转化能力|对接中考命题趋势，提升运算能力与模型意识|

专题01 解一元二次方程的8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用适当的方法解一元二次方程 2 类型二、用指定的方法解一元二次方程 2 类型三、换元法解一元二次方程 3 类型四、解含绝对值的一元二次方程 5 类型五、降次化解高次方程 6 类型六、升次突破无理方程 8 类型七、利用其它方法解一元二次方程 9 类型八、新定义法解一元二次方程 13 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解一元二次方程是初中代数方程模块核心重难点，所有题型均围绕方程结构特征、根的判别式判定根的存在性、根据方程的特征选用合适的方法、等价转化降次思想四大核心展开，解题全程坚守两条不可突破的底线原则：一是经过平方去根号、换元替换、去分母变形等非等价变形操作后，所有求得的解必须回代原方程逐一核验，清除变形过程中衍生的增根、遗漏有效根；二是处理带字母参数的方程时，务必提前划分最高次项系数的取值范围，精准界定方程次数类型，锁定讨论前提，防止因范围疏漏造成漏解、错解。 针对含参方程、高次降次、绝对值嵌套、根式无理方程等复杂题型，在算出未知数或参数取值后，所有结果都要代入原式做合规校验，剔除不符合原式隐含约束条件的无效答案。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用适当的方法解一元二次方程 典例精讲1（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 题型归纳 1.特征：无指定解法，自主选用四种常规解法求解标准一元二次方程。 2.方法：优先因式分解法；完全平方式用直接开平方法；系数繁琐用公式法；需要配方变形用配方法。 3.易错提醒：配方时常数项未同步对等加减；公式法代入a、b、c符号出错；根式结果未化为最简二次根式。 变式训练1（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 变式训练2（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程： (1)； (2)． 变式训练3（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 类型二、用指定的方法解一元二次方程 典例精讲2（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 题型归纳 1.特征：强制限定配方法 / 公式法 / 因式分解法 / 开平方法，侧重书写步骤规范性。 2.方法：严格遵循对应解法固定流程，配方法先将二次项系数化为 1，公式法先计算判别式再代入求根公式。 3.易错提醒：跳步书写不完整；移项变号失误；判别式计算错误引发最终根出错。 变式训练1（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 变式训练2（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 变式训练3（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 类型三、换元法解一元二次方程 典例精讲3（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 题型归纳 1.特征：式子中出现重复整体结构，直接展开计算量大，可整体换元转化为一元二次方程。 2.方法：设重复代数式为新元t，简化为标准二次方程求解，再回代求出原未知数。 3.易错提醒：换元结束忘记回代求解原式未知数；忽略新元本身取值范围；分式换元未考虑分母不为 0。 变式训练1（25-26九年级上·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 变式训练2（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 变式训练3（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：． 令，则 原式． (1)计算： (2)解方程． 变式训练4（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 类型四、解含绝对值的一元二次方程 典例精讲4（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 题型归纳 1.特征：方程内嵌|ax+b|绝对值结构，无法直接去掉符号运算。 2.方法：按绝对值内部代数式正负分类讨论，拆分为两个普通一元二次方程求解，再验证解所属区间。 3.易错提醒：分类讨论情况缺失；求出的根不验证对应取值范围，保留不符合条件的解。 变式训练1（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： （1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）； （2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）． 综上所述：原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程：． 变式训练2（21-22八年级下·安徽滁州·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 变式训练3（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 变式训练4（25-26八年级下·湖南长沙·期末）阅读下面的例题： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的根是． (1)请参照例题解方程． (2)请参照例题解方程． (3)若方程有解，求的取值范围． 类型五、降次化解高次方程 典例精讲5（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 题型归纳 1.特征：三次、四次整式高次方程，依靠因式分解实现降次求解。 2.方法：提公因式、分组分解、十字相乘，拆解成多个一次或二次因式乘积，令各因式分别等于 0 求全部根。 3.易错提醒：因式分解不彻底；只求出部分根，遗漏多个因式对应的完整解。 变式训练1（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 变式训练2（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段检测）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 变式训练3（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 变式训练4（河南省鹤壁市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 类型六、升次突破无理方程 典例精讲6（22-23九年级上·广东珠海·期中）阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 题型归纳 1.特征：根号内含有未知数的根式无理方程，无法直接按整式方程求解。 2.方法：提公因式、分组分解、十字相乘，拆解成多个一次或二次因式乘积，令各因式分别等于 0 求全部根。 3.易错提醒：因式分解不彻底；只求出部分根，遗漏多个因式对应的完整解。 变式训练1（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的解是___________； 变式训练2（23-24八年级下·上海·期中）方程 的根是________． 变式训练3（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 类型七、利用其它方法解一元二次方程 典例精讲7（广东省深圳市宝安第一外国语学校　2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题）【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来 ①② 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程 如：解方程． 解：原方程可变形，得．，，． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ． ，． 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： ① ② 题型归纳 1.特征：根号内含有未知数的根式无理方程，无法直接按整式方程求解。 2.方法：观察代数式关联关系，整体代换简化运算，借助根与系数关系反向构建方程求解。 3.易错提醒：整体代换时符号出错；混淆两根之和、两根之积公式。 变式训练1（25-26九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 变式训练2（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 变式训练3（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 类型八、新定义法解一元二次方程 典例精讲8（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 题型归纳 1.特征：题干自定义运算规则，嵌套一元二次方程结构进行列式求解。 2.方法：读懂新定义运算逻辑，严格按规则列出方程，再选用对应方法解方程并检验。 3.易错提醒：曲解新定义运算顺序；列式展开过程去括号、合并同类项计算失误。 变式训练1（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 变式训练2（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 变式训练3（2025九年级上·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 变式训练4（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（广东省深圳市宝安区2025-2026学年九年级上学期期中数学练习卷）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2．（江苏苏州市相城区2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 3．（江苏省扬州市邗江区2025-2026学年九年级上学期数学期中练习卷）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 4．（山西省阳泉市盂县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程， 如：解方程． 解：原方程可变形，得． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ， 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“②”表示的数分别为 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： 5．（河南省南阳市内乡县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 6．（吉林省吉林市江城中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： (1)若，则______． (2)解方程：． (3)直接写出的解． 7．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 8．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解一元二次方程的8类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 2 类型二、用指定的方法解一元二次方程 6 类型三、换元法解一元二次方程 10 类型四、解含绝对值的一元二次方程 15 类型五、降次化解高次方程 21 类型六、升次突破无理方程 27 类型七、利用其它方法解一元二次方程 30 类型八、新定义法解一元二次方程 38 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解一元二次方程是初中代数方程模块核心重难点，所有题型均围绕方程结构特征、根的判别式判定根的存在性、根据方程的特征选用合适的方法、等价转化降次思想四大核心展开，解题全程坚守两条不可突破的底线原则：一是经过平方去根号、换元替换、去分母变形等非等价变形操作后，所有求得的解必须回代原方程逐一核验，清除变形过程中衍生的增根、遗漏有效根；二是处理带字母参数的方程时，务必提前划分最高次项系数的取值范围，精准界定方程次数类型，锁定讨论前提，防止因范围疏漏造成漏解、错解。 针对含参方程、高次降次、绝对值嵌套、根式无理方程等复杂题型，在算出未知数或参数取值后，所有结果都要代入原式做合规校验，剔除不符合原式隐含约束条件的无效答案。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、用适当的方法解一元二次方程 典例精讲1（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 题型归纳 1.特征：无指定解法，自主选用四种常规解法求解标准一元二次方程。 2.方法：优先因式分解法；完全平方式用直接开平方法；系数繁琐用公式法；需要配方变形用配方法。 3.易错提醒：配方时常数项未同步对等加减；公式法代入a、b、c符号出错；根式结果未化为最简二次根式。 变式训练1（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 变式训练2（25-26九年级上·湖北孝感·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ∴，； （2）解： 或 ∴，； 变式训练3（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程； （3）配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 两边同除以4，得， 开方，得， 解得：，； （2）解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； （3）解：， 移项，得， 两边都加上1，得， 开方，得或， ∴，． 类型二、用指定的方法解一元二次方程 典例精讲2（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 题型归纳 1.特征：强制限定配方法 / 公式法 / 因式分解法 / 开平方法，侧重书写步骤规范性。 2.方法：严格遵循对应解法固定流程，配方法先将二次项系数化为 1，公式法先计算判别式再代入求根公式。 3.易错提醒：跳步书写不完整；移项变号失误；判别式计算错误引发最终根出错。 变式训练1（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 变式训练2（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 变式训练3（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 类型三、换元法解一元二次方程 典例精讲3（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 题型归纳 1.特征：式子中出现重复整体结构，直接展开计算量大，可整体换元转化为一元二次方程。 2.方法：设重复代数式为新元t，简化为标准二次方程求解，再回代求出原未知数。 3.易错提醒：换元结束忘记回代求解原式未知数；忽略新元本身取值范围；分式换元未考虑分母不为 0。 变式训练1（25-26九年级上·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换； 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求即的值． 【详解】解：设，则由原方程，得，       整理，得，即， 分解得：， 解得：， 则的值是或1． 变式训练2（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； （2）解：是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 变式训练3（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：． 令，则 原式． (1)计算： (2)解方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会用换元的思想解决问题． （1）仿照材料令，将原式变形后计算即可； （）令，将原方程变形后计算即可． 【详解】（1）解：令， ∴原式， ， ； （2）解：令， ∴原方程为， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程化为 解得：，． 当时原方程化为 ，此时方程无解； ∴原方程的解为：，． 变式训练4（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： (1)已知x、y满足，求的值． (2)若a、b满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ， ， ， 因式分解得， 解得，（舍去）， ． （2），设， ， ， 因式分解得， 解得，， 或． 类型四、解含绝对值的一元二次方程 典例精讲4（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 题型归纳 1.特征：方程内嵌|ax+b|绝对值结构，无法直接去掉符号运算。 2.方法：按绝对值内部代数式正负分类讨论，拆分为两个普通一元二次方程求解，再验证解所属区间。 3.易错提醒：分类讨论情况缺失；求出的根不验证对应取值范围，保留不符合条件的解。 变式训练1（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： （1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）； （2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）． 综上所述：原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】分两种情况讨论∶ 当时，当时，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 变式训练2（21-22八年级下·安徽滁州·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 【答案】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 变式训练3（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 变式训练4（25-26八年级下·湖南长沙·期末）阅读下面的例题： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的根是． (1)请参照例题解方程． (2)请参照例题解方程． (3)若方程有解，求的取值范围． 【答案】(1) 原方程无解 (2) (3) 【分析】本题参照例题解法，根据绝对值内的符号分和两种情况讨论，去掉绝对值符号将原方程转化为常规方程求解． 第（1）题利用绝对值的非负性判断． 第（2）题去掉绝对值符号分类求解，化为一元二次方程后，舍去不符合范围的解． 第（3）题整理出关于的表达式，去绝对值符号分类求解，利用二次函数的最值性质，得到的取值范围． 【详解】（1）解：原方程， 移项得， ∵任意实数的绝对值是非负数， 即， ∴，不成立， ∴原方程无解． （2）解：原方程， 分情况讨论： 情况1：当，即时， 原方程化为， 整理得， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 符合题意． 情况2：当，即时， 原方程化为， 整理得， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 符合题意． ∴原方程的根是． （3）解：方程， 整理得， 分情况讨论： 情况1：当时， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随增大而减小， ∴时，取得最大值， 即此范围满足条件的． 情况2：当时，， 该二次函数开口向下，对称轴为，， ∴时，取得最大值， 即此范围满足条件的． 方程有解，即至少存在一个满足方程， 因此的最大取值为， ∴的取值范围是． 类型五、降次化解高次方程 典例精讲5（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 题型归纳 1.特征：三次、四次整式高次方程，依靠因式分解实现降次求解。 2.方法：提公因式、分组分解、十字相乘，拆解成多个一次或二次因式乘积，令各因式分别等于 0 求全部根。 3.易错提醒：因式分解不彻底；只求出部分根，遗漏多个因式对应的完整解。 变式训练1（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． 变式训练2（22-23九年级上·湖北黄冈·阶段检测）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 【答案】 【分析】变形已知为，，把变形后的代数式代入要求值的代数式． 【详解】解：由可变形为，， ∴ ， 解方程得：， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 变式训练3（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 变式训练4（河南省鹤壁市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 类型六、升次突破无理方程 典例精讲6（22-23九年级上·广东珠海·期中）阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把代入方程得，然后解关于的无理方程即可； （2）利用乘方把无理方程转化为得，解得，，然后进行检验确定原方程的根； 【详解】（1）解：把代入方程得， 两边平方得，解得， 经检验是方程的解； 所以的值为2； 故答案为：2； （2）解：， 方程两边平方得， 解得，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， 原方程的根是； 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型归纳 1.特征：根号内含有未知数的根式无理方程，无法直接按整式方程求解。 2.方法：提公因式、分组分解、十字相乘，拆解成多个一次或二次因式乘积，令各因式分别等于 0 求全部根。 3.易错提醒：因式分解不彻底；只求出部分根，遗漏多个因式对应的完整解。 变式训练1（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的解是___________； 【答案】 【分析】先将方程两边平方转化为一元二次方程，解出一元二次方程的根后，根据二次根式的非负性验根，舍去增根即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时平方，得 ， 展开整理，得 ， 因式分解，得 ， 解得或 ， 检验：当时，方程右边，而左边，等式不成立，舍去； 当时，左边，右边，左边等于右边，等式成立； 因此原方程的解为． 变式训练2（23-24八年级下·上海·期中）方程 的根是________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再根据乘积为 的性质求解方程，最后舍去不符合取值范围的根，得到方程的根. 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得， 解不等式组得 . 原方程为 ， 若乘积为 ，则 或 ， 解得 或 . 不满足 ，因此舍去， 原方程的根为 . 变式训练3（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】根据转化的新思路，（1）将方程转化为一元二次方程即可求解；（2）将方程两边平方后转化为一元二次方程求解，并检验增根． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴或， 即或， 即或或， 解得或或． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 类型七、利用其它方法解一元二次方程 典例精讲7（广东省深圳市宝安第一外国语学校　2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题）【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来 ①② 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程 如：解方程． 解：原方程可变形，得．，，． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ． ，． 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： ① ② 【答案】(1)4，2.， (2)， (3)①，；②，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （3）①先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程； ②先把括号的未知数系数化为相同，再模仿①即可解方程. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ∴上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2.，. （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． （3）解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 题型归纳 1.特征：根号内含有未知数的根式无理方程，无法直接按整式方程求解。 2.方法：观察代数式关联关系，整体代换简化运算，借助根与系数关系反向构建方程求解。 3.易错提醒：整体代换时符号出错；混淆两根之和、两根之积公式。 变式训练1（25-26九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】(1)， (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【详解】（1）解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 变式训练2（25-26九年级上·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 变式训练3（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键． 类型八、新定义法解一元二次方程 典例精讲8（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 题型归纳 1.特征：题干自定义运算规则，嵌套一元二次方程结构进行列式求解。 2.方法：读懂新定义运算逻辑，严格按规则列出方程，再选用对应方法解方程并检验。 3.易错提醒：曲解新定义运算顺序；列式展开过程去括号、合并同类项计算失误。 变式训练1（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】 一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】略 变式训练2（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 变式训练3（2025九年级上·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到的值，将求出的代入方程，利用配方法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， ∴多项式关于镜像， 故答案为：． （2）原式， 当或1时，原式， ， 关于的方程可化为， 即，， ． 故方程的解为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握把整式通过配方写成完全平方式的形式． 变式训练4（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（广东省深圳市宝安区2025-2026学年九年级上学期期中数学练习卷）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)； (6)，； (7)，； (8)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，熟练掌握这些解法的原理和步骤是解答本题的关键． （1）利用平方根公式，将方程转化为两个一次方程的乘积为的形式求解； （2）通过移项、因式分解，将方程转化为两个一次方程的乘积为的形式求解； （3）利用公式法，先确定系数、、，计算判别式，再代入求根公式求解； （4）利用配方法，将方程左边配成完全平方式，再开平方求解； （5）先展开整理方程，再通过因式分解或配方求解； （6）利用换元法，将复杂式子换为简单变量，因式分解后再代回求解； （7）通过因式分解，提取公因式将方程转化为两个一次方程的乘积为的形式求解； （8）利用因式分解法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积求解． 【详解】（1）解：方程， ， 解得：，． （2）解：方程， ， ， 解得：，． （3）解：方程， ，，， ， ， 解得：，． （4）解：方程， ， ， ， ， 解得：，． （5）解：方程， 整理得，， ， 解得：． （6）解：方程， 令，则方程变为， ， 解得：或， 当时，即，解得，， 当时，即，解得，， ，． （7）解：方程， ， ， 解得：，． （8）解：方程， ， 解得：，． 2．（江苏苏州市相城区2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 3．（江苏省扬州市邗江区2025-2026学年九年级上学期数学期中练习卷）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 【答案】(1)， (2)15 (3)，，， (4)， 【分析】本题主要考查了换元法解方程，解一元二次方程等知识点，熟练运用换元思想转化方程是解决此题的关键． （1）设，则原方程化为关于的一元二次方程，求解后再转换成关于的方程求解即可； （2）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后根据确定的值即可得解； （3）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后，根据绝对值定义求即可； （4）设，，则，原方程化为，进而求得，则，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 因式分解得， 解得或， ∴当时， 因式分解得，解得或， 当时，即， ∵， ∴方程无实数解， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 展开得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以舍去， 故 （3）解：设，则，原方程化为， 因式分解得， 解得或， 当时，解得或， 当时，解得或， ∴，，，； （4）解：设，，则， 原方程化为， ∴，则， ∴或， ∴，． 4．（山西省阳泉市盂县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程， 如：解方程． 解：原方程可变形，得． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ， 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“②”表示的数分别为 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： 【答案】(1)4，2，， (2)， (3)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （3）先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ∴上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2．，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 5．（河南省南阳市内乡县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；， (2)或或12 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 6．（吉林省吉林市江城中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： (1)若，则______． (2)解方程：． (3)直接写出的解． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了无理方程，解一元二次方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． （1）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （2）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （3）仿照材料中的解方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 两边平方去掉根号，得：， 解得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴， 故答案为：； （2）解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为； （3）解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：， 整理得， 即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为0． 7．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【答案】(1) 解：①解得， 0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解二元一次方程组，理解“密码方程”的定义是解题关键． （1）根据“密码方程”的定义求解即可； （2）根据“密码方程”的密码数得到方程的两个根为，代入方程的到关于、二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得． ，满足“密码方程”的定义 8．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1) 方程 是“完美方程”，理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“完美方程”； (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： 是关于的“完美方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $