1.3 矩形的性质与判定 新课预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过对比辨析、折叠变换、实际应用等题型，系统整合平行四边形性质、直角三角形斜边中线等知识，提炼判定证明与性质应用的逻辑方法。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-6、填空12-14|对比菱形性质辨差异，折叠问题用勾股定理，面积变化抓底高关系|从矩形定义出发，推导对角线相等、四角直角等性质，关联平行四边形性质形成知识链| |判定证明|单选7-8、填空11、解答16|“三直角”或“对角线相等的平行四边形”判定，结合平行四边形判定定理|以定义为基础，通过性质逆推构建判定体系，与平行四边形判定形成逻辑闭环| |综合应用|单选9-10、填空15、解答17-20|坐标系用中点公式，实际测量构直角三角形，斜边中线性质证线段关系|融合几何直观与数学建模，将矩形性质应用于方位角、面积最值等跨情境问题，体现数学眼光与思维|

1.3 矩形的性质与判定 新课预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻角互补 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的面积，下列说法正确的是（     ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 5．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=1，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边上的高，则DE的长为（ ） A． B． C． D． 7．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 8．如图，要使平行四边形为矩形，则可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 13．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 14．在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 15．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 三、解答题 16．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 17．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识测量城运河某河段的宽度，如图所示，为水面，他们在河岸一侧的一个栏杆上放飞一只无人机，无人机在河上方距水面米的点处测得正对岸处的俯角为，测得栏杆顶端处的俯角为，经测量栏杆高度为米（图中在同一平面内），求运河的宽度即的长度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 18．在平面直角坐标系中，已知点A（3，5），B（5，3），C（﹣1，﹣3），D（﹣3，﹣1），试判定四边形ABCD的形状，并求出它的面积． 19．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 20．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A A D D C B 1．【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角都相等，故此选项不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； C、矩形和菱形的邻角都互补，故此选项不符合题意； D、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意． 2．【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求面积 【详解】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， ∴木框的面积变小了． 5．【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据勾股定理即可求得AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE的长，由三角形面积相等即可求得CD的长，进而由勾股定理可以求得DE的长． 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AC=，BC=1， ∴AB=， ∵CD是斜边上的高， ∴三角形ABC面积 ∴CD= ∵CE是斜边AB上的中线， ∴CE=， Rt△CDE中，∠CDE=90°， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，正确求出AD和CE的值是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 8．【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定方法，只有选项满足条件，由此得到答案． 【详解】解：需要添加的条件是：，理由如下： 四边形是平行四边形， 又对角线相等的平行四边形是矩形， 时，平行四边形为矩形， 故选：． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 10．【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、中点坐标 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 11．【答案】③ 【知识点】证明四边形是平行四边形、同旁内角互补两直线平行、证明四边形是矩形 【详解】解：①，，只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ②∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ③∵， ∴可判定四边形为矩形，符合要求． 因此符合要求的条件为③． 12．【答案】3 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．【答案】或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、折叠性质，解题关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论． 分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 分两种情况：①当时，如图， 则，所以点B、、D三点共线， ∴ ∴， 设，， 中，， 即， 解得， ． ②当时 ， 则， ∴四边形是正方形， ∴． 综上，线段的长为3或6． 14．【答案】5 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据动点P的运动路径，分析的面积y随路程x的变化情况，结合函数图象读取数据计算即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在上运动时，的面积y随x的增大而增大， 当时，面积开始保持不变，则此时点P运动到点C，即， 当时，面积开始减小，说明此时点P运动到点D，即， ． 15．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图，连接，先证明四边形是矩形，由矩形性质得到，当时，线段最小，即最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ， ∴四边形是矩形， ， 是定点、是线段上的一个动点， 当时，线段最小，即最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 16．【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、三线合一、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 17．【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 如图所示，延长垂直于点所在的水平直线，垂足为点，则四边形是矩形，则，在中由得到（米），在中由得到（米），则（米），由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长垂直于点所在的水平直线，垂足为点， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 答：河宽的长度为97米． 18．【答案】四边形ABCD是矩形；24 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】利用平面内两点间距离公式求出AB、CD、AD、BC、AC的长度即可判断出四边形ABCD的形状． 【详解】解：∵点A（3，5），B（5，3），C（-1，-3），D（-3，-1）， ∴AB2=（3-5）2+（5-3）2=8， CD2=（-1+3）2+（-3+1）2=8， AD2=（3+3）2+（5+1）2=72， BC2=（5+1）2+（3+3）2=72， AC2=（3+1）2+（5+3）2=80， ∴AB=CD，AD=BC，AC2=AB2+BC2， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC==24． 【点睛】本题考查了平面内两点间的公式，利用公式求出五条线段的长度是解决问题的关键． 19．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 20．【答案】 （1）证明：如图1，延长到E使得，连接，，          图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接、，          图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $