1.3 矩形的性质与判定 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形性质与判定核心概念|单选1-5直接考查对角线性质、判定定理，夯实基础认知| |能力提升|性质应用与计算|填空12折叠分类讨论，结合勾股定理培养空间观念| |综合应用|综合探究与建模|解答17醒狮运动路径计算，融合解直角三角形与实际情境，发展应用意识|

1.3 矩形的性质与判定 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 2．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 7．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 8．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 9．小明同学按如下步骤作图：①在矩形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；②画直线，分别与，交于点，，连接，．则四边形一定是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法判断 10．如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 12．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 13．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 14．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    三、解答题 16．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 17．如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，，） (1)直接写出的度数； (2)求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径的长度；（结果保留一位小数） (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段的长度． 18．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求、两点的坐标； (2)求过、两点的直线函数表达式． 19．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，求该矩形的面积？ 20．性质探究： 如图①，在中，，点为边的中点，连结，则边与边的长度之比为_________． 理解运用： （1）若的周长为，则它的面积为_________； （2）如图②，若将沿折叠，点落在点处，连结． ①求证：； ②在边上分别取中点，连结．若，直接写出线段的长． 类比拓展 （3）底角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为_________（用含的式子表示）．    试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C B C B A A 1．【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【详解】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 2．【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 3．【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】作出相对应的图形，根据矩形对角线相等且互相平分，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：设矩形为，对角线与交于点，如图， 已知对角线与边的夹角为，即， ∵四边形是矩形，矩形对角线相等且互相平分， ∴， ∴， ∵是的外角，且是两条对角线所夹的角， ∴， 即两条对角线所夹锐角的度数为． 4．【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 5．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘法法则求出，然后根据“夹逼法”求解即可． 【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为，， ∴其面积为， ∵， ∴，即， ∴的值在3和4之间， 故选∶C． 6．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3， 由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°， ∴∠AC'D=90°， ∴AC'==4， 设CE=C'E=x， 在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4， 由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2， 解得：x=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 8．【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形判定性质逐一判断即可，熟知矩形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、 ，平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，， ，， 平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】由作法得垂直平分，设垂足为，则，，证明，则，得到四边形是平行四边形，又由即可证明四边形是菱形． 【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为，如图， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 10．【答案】A 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 11．【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 12．【答案】或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、折叠性质，解题关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论． 分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 分两种情况：①当时，如图， 则，所以点B、、D三点共线， ∴ ∴， 设，， 中，， 即， 解得， ． ②当时 ， 则， ∴四边形是正方形， ∴． 综上，线段的长为3或6． 13．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．【答案】3或13 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据函数图象可得且，由此求出，再分当点在上，当点在上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，且， ，解得， 四边形是长方形， ，， ①当点在上，时，，即， 解得， ②当点在上，时，，即， 解得， 此时， 综上所述，当时，对应的的值是3或13． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、解一元一次方程（二）——去括号、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 16．【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、三线合一、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，解直角三角形，勾股定理， （1）延长至H，根据平行线的性质得，即可求解． （2）过点B作于点Q，连接，根据题意得到四边形是矩形，得出，得到，再根据解直角三角形计算即可； （3）过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接，根据题意得到四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据矩形的性质得到，再利用解直角三角形得到，最后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图：延长至H，      由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点B作于点Q，连接． 依题意，， 四边形是矩形， 即 （3）解：如图，过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接． 由题意得， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ， ． ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 即“采青”路径AC的长度约为． 18．【答案】(1)， (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和待定系数法求解析式， 根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，再由折叠得到，有，在中求得即可求得点的坐标； 根据第一问得点坐标利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 又∵，， ∴， 解得， 则， 故，． （2）设、两点所在的直线的解析式为， 则， 解得， 所以过、两点的直线函数表达式为． 19．【答案】24 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积、通过对完全平方公式变形求值 【分析】如图（见解析），设小正方形的边长为，则，，再求出，利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为， 则，， ∵，， ∴（全等三角形的性质），，， ∵在矩形中，， ∴在中，，即， ∴该矩形的面积为 ． 20．【答案】； （1）； （2）①证明：在中，，点为边的中点， ，   ， ， ． ． ②； （3） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】性质探究：如图，设，则，由勾股定理，，由斜边中线性质，，从而得出结论； 理解运用：（1）由题意，，于是，得方程，解得，得，由知； （2）①证明：在中，，由折叠知，于是，所以． ②如图，由中位线性质知，而，所以，于是； 类比拓展：如图，等腰中，，，过点A作，垂足为D，由三线合一知，由锐角三角函数知中，，于是． 【详解】性质探究：如图，设，则， 由勾股定理，， ∵点为边的中点， ∴， ∴边与边的长度之比为． 故答案为：；    理解运用：（1）由题意，， 而， ∴， 由前问得，，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8； （2）①略 ②如图，∵点是的中点， ∴， 由性质探究知，边与边的长度之比为， 又， ∴， ∴．    类比拓展：（3）如图，等腰中，，， 过点A作，垂足为D， ∵， ∴， 中，， ∴， ∴底角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为． 故答案为：．    【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，中位线定理；添加辅助线，构造直角三角形运用三角函数寻求线段之间的关系是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $