第1章特殊平行四边形— 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形判定的两类核心题型，通过证明与条件补充题组构建从性质到判定的逻辑训练，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明四边形是矩形|6题（3例+3变式）|结合平行四边形、菱形等背景，需运用“对角线相等”或“直角”判定定理|以平行四边形性质为基础，通过边角、对角线关系推导矩形判定，体现从一般到特殊的转化| |添一个条件使四边形是矩形|6题（3例+3变式）|选择或补充条件，考查对矩形判定条件的逆向运用|围绕矩形定义及判定定理，构建“已知平行四边形→补充条件得矩形”的逻辑链条，强化条件与结论的关联|

证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形专项训练 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形专项训练 考点目录 证明四边形是矩形 添一个条件使四边形是矩形 考点一 证明四边形是矩形 例1．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ； (2)解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）知：， 又， 四边形是平行四边形， ，， 是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是矩形． 【分析】（1）平行四边形对边相等，先证明，得到，从而得到，再证明； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，用三角形外角和已知条件得到，进行得到，对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】（1） 略； （2） 略． 例2．（26-27九年级上·广东湛江·开学考试）如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点． (1)请用尺规作图，过点作交于点，并证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，如果，，求矩形的面积． 【答案】(1) 作图如下， 证明：四边形为菱形， ， 是边的中点， 为的中位线， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形； (2)矩形的面积为24 【分析】（1）以点E为圆心，为半径作弧，交于点H，以点A和点H为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点I，连接直线，交于点F，此时点即为所作；由菱形的性质可得，证明为的中位线，则，再结合矩形的判定定理证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理得出，由直角三角形的性质可得，由等面积法得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，，，， ， 是边的中点， ， ， ， 矩形的面积为． 变式1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，进而得出，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可； （2）先根据矩形的性质说明是等边三角形，进而求出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 变式2．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状． 【答案】(1)证明：∵是的中位线， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴； (2)四边形是矩形． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形为平行四边形，推出，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形．理由如下： 连接，如图， 由（1）知：，， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 变式3．（25-26九年级上·新疆塔城·阶段测试）如图，在中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点D是的中点， ，即， ∵， ， ， ， 在四边形中，， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形； （2）由等腰三角形的三线合一得到，由矩形得出，，，由已知条件和勾股定理求出，最后根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，点D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ， 即， ∴． 考点二 添一个条件使四边形是矩形 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意． 例2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 例3．（2026·湖北武汉·二模）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的三等分点， ∴， ∴，即， ∴ 四边形的对角线、互相平分， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和三等分点条件，证得四边形对角线互相平分，从而判定其为平行四边形； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，添加条件(或等价的)即可． 【详解】（1）略； （2）添加一个条件时，四边形是矩形， 理由如下： ∵点是对角线的三等分点， ∴， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 变式1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 变式2．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 变式3．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， ； (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定（添一条件使四边形是矩形）等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可证得四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论； （2）由矩形的判定条件即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件：（答案不唯一），理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形专项训练 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形专项训练 考点目录 证明四边形是矩形 添一个条件使四边形是矩形 考点一 证明四边形是矩形 例1．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 例2．（26-27九年级上·广东湛江·开学考试）如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 例3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点． (1)请用尺规作图，过点作交于点，并证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，如果，，求矩形的面积． 变式1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，则的长为 ． 变式2．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状． 变式3．（25-26九年级上·新疆塔城·阶段测试）如图，在中，是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 考点二 添一个条件使四边形是矩形 例1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖北武汉·二模）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 变式1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 变式2．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 2 学科网（北京）股份有限公司 $