1.4 正方形的性质与判定 新课预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（10题）|正方形与特殊平行四边形性质判定、中点四边形|单选1-5直接考查性质辨析，填空12关联中位线，夯实基础| |中档（7题）|折叠/动点问题、性质综合应用|单选2结合等边三角形求角度，填空15矩形动点探究，提升应用能力| |提升（3题）|旋转综合、动态几何证明|解答题20正方形旋转探究，融合全等与勾股定理，发展模型意识|

1.4 正方形的性质与判定 新课预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知正方形的边长为2，将正方形沿直线＋折叠，则图形中阴影部分的周长为（　　）    A．8 B．4 C．8 D．6 5．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（    ） A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形 6．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 7．下列命题中的假命题是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形． B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． D．对角线相等的四边形是矩形． 8．面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件： ， ， ， ．上述条件能使菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 12．我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 13．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________． 14．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，于点E，于点F，，，则m，n满足的数量关系是__________． 15．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________． 三、解答题 16．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．    (1)在图①中，点A、B均在格点上，画出一个直角三角形，要求、两边均是无理数． (2)在图②中画出一个面积为5的正方形． 17．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形； 18．如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    19．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将沿着BQ所在直线翻折得到，延长QE交BA的延长线于点M． (1)探求AP与BQ的数量关系； (2)若，，求QM的长． 20．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D C D B C C 1．【答案】D 【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质证明、矩形性质理解 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 2．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】由等腰可求度数，则度数可知，证明，可得，在中利用三角形内角和定理可知度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． 又， ∴，且， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决三角形中角的度数问题一般运用三角形内角和知识，若不能直接运用，则需要利用特殊图形的性质或全等三角形的性质进行转化，而后求解． 3．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 4．【答案】C 【知识点】折叠问题、正方形折叠问题 【分析】由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论． 【详解】解：如图：    由翻折变换的性质可知，，， 阴影部分的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查的是折叠变换的性质，即折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得． 【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意； B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意； C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意； D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 6．【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理，难度中等． 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项原说法是假命题，符合题意； 故选：D． 8．【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 9．【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵ ∴， 同理剩余的三个黑色直角三角形与与之对应的白色直角三角形全等， ∴图中四个黑色直角三角以及四个白色直角三角形彼此全等， ∴， ， ， ，解得， 正方形的面积． 10．【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，根据菱形的性质，正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，故不能判定菱形是正方形； ∵， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； 综上：能判定菱形是正方形， 故选：． 11．【答案】 【知识点】点到直线的距离、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 12．【答案】相等 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】本题考查了四边形中点四边形的性质．连接四边形各边中点形成的中点四边形的各边，根据中位线定理，中点四边形的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线长度的一半，所以中点四边形的形状和原四边形的对角线性质有关． 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 13．【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点（或点）重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形性质理解 【分析】根据正方形的性质可得∠CAD=∠BDA=45°，由等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质得PE=AE、PF=OE，由此可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=∠BDA=45°，AC⊥BD， ∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F， ∴△APE为等腰直角三角形，四边形PEOF为矩形， ∴PE=AE，PF=OE， ∴AC=2OA=AE+OE=PE+PF， ∵AC=m，PE+PF=n， ∴． 故答案为：． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 15．【答案】或； 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 16．【答案】(1) 如图①，，即为所求； (2) 如图②，正方形即为所．   ． 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形的判定定理作图即可； （2）根据勾股定理的性质及正方形的面积公式作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定与性质，熟练的利用勾股定理与勾股定理的逆定理进行作图是解本题的关键． 17．【答案】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】由推导，利用有一组邻边相等的矩形是正方形解题． 【详解】略 【点睛】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 18．【答案】76 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再计算正方形的面积，从而得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是． 的面积是， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）只需要证出，即可解题． （2）过点Q作于点H，易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1运用勾股定理可以求得AP，又因为DC//AB，可得，由折叠知识得，所以，可得MQ=MB．通过设定未知数，在中我们通过勾股定理就可以解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC， ∴， ∵BQ⊥AP ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点Q作于H，如图 ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3， ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC//AB ∴， 由折叠知识得， ∴， ∴MQ=MB， 设QM=x，则有MB=x，MH=x-2， 在中， 根据勾股定理可得， 解得x=， ∴QM的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠之后完全相同，包括边的长度还有角的度数完全相等，再设未知数，然后运用勾股定理建立方程，这是求线段长度最常用的方法． 20．【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $