4.1函数（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦函数概念、三种表示方法及自变量取值范围，通过摩天轮高度变化、物体堆放等生活实例导入，结合表格填写、合作探究搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解变量间的对应关系。 其亮点是以生活与跨学科实例（如热力学温度）培养数学眼光，通过对比分析表示方法优缺点发展数学思维，用表格、关系式、图象强化数学语言表达。采用自主合作学习，小结系统梳理知识，助力学生抽象能力与应用意识提升，方便教师高效教学。

北师大版八年级上册数学4.1函数专项练习 核心知识点：在某一变化过程中，存在两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数的本质是“唯一对应”关系，判断函数的关键：一个自变量只能对应一个函数值，允许多个自变量对应同一个函数值。常见函数表示方法：列表法、关系式法、图象法。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 一个x值可以对应多个y值 B. 一个x值只能对应唯一一个y值 C. 函数中变量只有一个 D. y是x的函数，则x随y变化而变化 2. 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. y=2x+1 B. y=x² C. y²=x D. y=-3x 3. 在圆的周长公式C=2πr中，自变量是（ ） A. C B. r C. π D. 2 4. 已知函数y=3x-2，当x=2时，y的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 下列变量关系中，属于函数关系的是（ ） A. 人的身高与体重 B. 一天中的时刻与气温 C. 正方形边长与面积 D. 学生的学习成绩与学习时间 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 在变化过程中，主动变化的量叫做________，随之变化的量叫做________。 7. 若y=5x-3，则当x=0时，y=________；当y=7时，x=________。 8. 函数的三种表示方式分别是________、________、________。 9. 已知三角形面积一定，则三角形的底边长是高的________（填“函数”或“非函数”）。 10. 判断函数的核心标准：每一个确定的自变量x，对应________的y值。 三、提升解答题（共40分） 11.（12分）判断下列关系式中，y是否为x的函数，并说明理由。（1）y=|x|；（2）x+y²=1。 12.（14分）已知函数y=-2x+4，（1）求x=-1、x=3时对应的函数值；（2）若y=0，求对应的自变量x的值。 13.（14分）一辆汽车匀速行驶，速度为60km/h，设行驶时间为t小时，路程为s千米。（1）写出s与t的函数关系式；（2）指出自变量、因变量；（3）说明t的取值范围。 四、拓展应用题（20分） 14. 某商店售卖笔记本，每本售价4元，购买数量为x本，总费用为y元。（1）写出y与x的函数关系式；（2）判断y是否为x的函数；（3）结合实际情境，写出自变量x的取值范围。 五、参考答案及详细解析 选择题解析：1.B（函数定义：x每一个确定值，y有唯一值对应）；2.C（y²=x中，一个x对应两个y值，不满足唯一性，不是函数）；3.B（周长随半径r变化，r为自变量）；4.A（代入x=2，y=6-2=4）；5.C（边长确定，面积唯一确定，满足函数定义）。 填空题解析：6.自变量、因变量；7.-3、2；8.列表法、关系式法、图象法；9.函数（面积一定，高确定则底唯一确定）；10.唯一确定。 解答题解析：11.（1）是函数，任意x都有唯一|x|对应y；（2）不是函数，如x=0时，y=±1，一个x对应两个y值，不满足唯一性。12.（1）x=-1时y=6，x=3时y=-2；（2）y=0时，-2x+4=0，解得x=2。13.（1）s=60t；（2）自变量t，因变量s；（3）时间不能为负，t≥0。 拓展题解析：（1）y=4x；（2）是函数，每一个购买数量x，都对应唯一总费用y；（3）实际购买数量为非负整数，x为非负整数。 易错总结：本节最易出错点：误将“一对多”关系当成函数；混淆自变量与因变量；忽略实际问题中自变量的取值限制。解题核心口诀：函数看对应，一x唯一y，多变不算数，实际有范围。 北师大版（新教材）数学八年级上册 4.1函数 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第四章 一次函数 通过阅读课本，学生能判断两个变量间的关系是否可以看成函数 通过自主学习和合作学习，学生能根据两个变量的关系求未知量 通过教师讲评，学生能掌握函数的三种表示方法，了解其特点，培养学生的概括总结能力 思考：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 由低变高，再由高变低. 探索新知 探索新知 函数的概念 知识点一 探究新知 探究新知 右图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度 h(单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间的关系. (1) 根据右图填写下表. t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 3 13 37 47 37 13 探究新知 (2) 对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 确定 探究新知 1. 圆柱形物体常常像下图那样堆放. 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 请填写下表. 1 3 6 10 15 对于给定任意层数 n，相应的物体总数 y 确定吗?有几个 y 值和它对应? 操作·思考 探究新知 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0. （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ 探究新知 （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ 解：当t＝ -43 ℃时，T＝ -43＋273.15＝230.15（K）； 数量关系：T＝t + 273.15，T≥0 当t＝ -27 ℃时，T＝ -27＋273.15＝246.15（K）； 当t＝0 ℃时，T＝0＋273.15＝273.15（K）； 当t＝18 ℃时，T＝18＋273.15＝291.15（K）。 解：能，因为t＞-273.15时，T＞0，满足条件且T是唯一确定。 （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ 探究新知 知识点1 函数的相关概念 1.下列图象中，表示是 的函数的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的 周长与半径的关系式为 ，则其中的自变量是( ) A A.半径 B.周长 C.2 D. 返回 举一反三 11 都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？与同伴进行交流. 思考·交流 探究新知 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 注意！ 函数的概念 探究新知 探究新知 表示函数的方式一般有哪些? 思考 ①表格 ②关系式 ③图象 函数的表示方法 知识点二 探究新知 方式 概念 优点 缺点 表格 把自变量的一系列值和对应另一个变量的值列成表格来表示两个变量之间函数关系的方式 能清晰显示自变量的每一个值和与它对应的另一个变量的值 列出的对应值有限，不能反映出函数变化的全貌 关系式 用含自变量的代数式表示函数的方式 能准确地反映整个变化过程中两个变量的对应关系，便于计算 不易直观看出函数的变化趋势，且有些函数关系不能用关系式表示 图象 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方式 能直观、形象地反映出函数关系的变化趋势和某些性质 所画的图形是近似的、局部的，因此不够精确 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 探究新知 （1）函数的三种表示方式有时可以相互转化。在实际应用中，应根据具体情况，选择适当的表示方式，或者把三种方式结合起来使用。 （2）并不是所有函数都可以用三种方式表示，如某地某天的气温变化与时间的关系就很难用关系式进行表示。 特别提醒 探究新知 3.［2025佛山月考］下列四个选项中，不是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 4.［教材习题 变式］ 下列变量之间的关系不是函数关系的是 ( ) A A.某班某同学的身高和体重 B.底边上的高一定，等腰三角形的底边长与面积 C.速度一定时，汽车行驶的路程与时间 D.正方形的周长与面积 返回 举一反三 19 函数自变量的取值范围与函数值 知识点三 上述的三个问题中，自变量能取哪些值? 自变量 t 的取值范围: _________________ t ＞0 尝试·思考 探究新知 填写下表： 自变量 n 的取值范围:________________ n 取正整数 圆柱形物体常常像下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 1 3 6 10 15 探究新知 自变量 t 的取值范围：_________________ t ≥ -273.15 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0. 探究新知 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值. 函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值. 注意！ 函数值： 即：如果y是x的函数， 当x=a时，y=b， 那么b称为当x=a时的函数值. 探究新知 类型 特点 自变量的取值范围 举例 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是开平方的式子 使被开方数不小于0的实数 零次幂、负整数次幂型 等式右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 常见函数自变量取值范围的确定： 探究新知 1. 按图示的运算程序，输入一个实数 x ，便可输出一个相应的实数y. y是x的函数吗?为什么? 解：y是x的函数． 理由：y和x是两个变量， y随x的变化而变化， 对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应. y与x的关系符合函数的定义，所以y是x的函数． 当堂检测 25 A B C D 2. 下列曲线中表示y是x的函数的是(　　). C 当堂检测 26 3. 小汽车开始行驶时，油箱中原有油56L，如果每小时耗油8L，那么油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ，当x=4时，函数值y= .当油箱中剩余油量为8L时，自变量x= . 解析：由题意，得油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系式是y=56-8x；由实际问题的意义，可得自变量x的取值范围是0≤x≤7；当x=4时，y=56-8×4=24；当y=8时，8=56-8x，解得x=6. 24 6 y=56-8x 0≤x≤7 当堂检测 27 知识点2 函数的表示法 5. 一项试验的统计数据中变量与 之间的关系如表所示： 30 40 100 120 15 20 50 60 则下面能表示这种关系的式子是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 28 6. 李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话, 李老师急忙赶回学校。下面四个图象中,能描述李老师与学校的距离 随 时间 变化的图象是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 29 7.［教材P随堂练习T 变式］ 蛇的体温随外部环境温度的变化而 变化,如图表现了一条蛇在两昼夜之 间体温的变化情况。 （1）第一天,蛇的体温的变化范围是什么?它的体温从最低上升到最高 需要多少时间? 解：变化范围为。需要 。 举一反三 30 （2）若用表示时间, 表示蛇的体温，将相应数据填入下表: 4 12 20 28 32 40 48 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 35 39 39 35 36 40 36 举一反三 （3）是 的函数吗？为什么？ 解：是 的函数，因为随着时间的变化，每一个时刻，蛇都有唯一一个 体温与之对应，符合函数的定义，所以是 的函数。 返回 举一反三 32 知识点3 自变量的取值范围及函数值 8.函数的自变量 的取值范围是______。 返回 举一反三 33 9.当时，函数 的值等于___。 1 返回 举一反三 34 10.［教材习题变式］ 已知某等腰三角形的周长为36，腰长为 ， 底边长为，那么关于 的函数关系式及自变量的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 35 函数 概念 表示方式 自变量的取值范围 函数值 ①表格 ②关系式 ③图象 课堂小结 谢谢观看 THANKS $