精品解析：北京市文汇中学2026-2027学年度第一学期9月练习初三年级数学

北京市文汇中学2026—2027学年度第一学期9月练习 初三年级数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，22道小题，满分100分．考试时间60分钟． 2．在答题卡上准确填写姓名、班级、考场/座位号、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，统一将答题卡交回 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴移项得 ， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 将左边整理为完全平方形式，得， 即方程配方后的形式是． 4. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 5. 如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 条件不足，无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，再利用可计算，从而得出的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则和另一个根分别是（ ） A. －1，2 B. －1，－2 C. 1，2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 先将已知根代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出另一个根． 【详解】解： ∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， 此时方程为， 设另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， 已知一个根是1，则， 解得． 故选：D． 7. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 8. 为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵有支足球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间只比赛1场，每支球队需要与其余支球队各比赛1场， ∴所有球队参赛的总场次（含重复计算）为， 又∵甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场，每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为， 已知总赛程为28场，因此可得方程，即选项A正确． 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，关键是知识点的灵活应用；根据一次函数的性质，当时，函数随的增大而减小． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ 即k的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系并正确的计算． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据韦达定理得，进而求解即可； 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个根， 由韦达定理，得，即， 解得． 故另一个根为； 故答案为： 13. 设、是方程的两个根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，，， 、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 14. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可． 【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴，即：； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为：． 15. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据2024年和2026年这两年的销售量列出方程即可． 【详解】解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为， 由题意得，． 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②设点在轴上，即， ∵水平，长度， 点到直线（）的距离为， ∴， ∴面积恒为，不可能为，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误； 故答案为：①③ 三．解答题（共52分，第17题12分，每小题6分；第18—22题每题8分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用一元二次方程求根公式求解，先计算判别式再代入计算； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于方程， 得 即 【小问2详解】 解：整理方程 移项得 提取公因式得 得或 解得 18. 如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． （2）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，线段垂直平分线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 即旋转中心的坐标为 故答案为： 19. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 20. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 【答案】（1） 证明：， ， 点是中点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）14 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； （2）作交延长线于点，则，通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交延长线于点，则， ， ， ， ， ∵， ， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 的长为14． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【小问1详解】 证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程，       ，  任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解： 方程有两个不相等的正整数根，  ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 22. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点的坐标． （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、． ①过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； ②当的取值变化时，点随之在轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，请直接写出长的最小值． 【答案】（1）点的坐标为 （2）①2；②2 【解析】 【分析】（1）过点作于，则，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）①过点作于，则．由全等三角形的性质得，即可求解； ②由三角形的三边关系得，则当、、共线时，，的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 过点作于， ， 将线段绕点逆时针旋转得线段， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图3，过点作于， 一次函数的图象与坐标轴分别交于点、， ， ， 同（1）得， ， ， ②如图4，连接， ， 当、、共线时，，的长最小，如图， ，， ， 长的最小值是 2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市文汇中学2026—2027学年度第一学期9月练习 初三年级数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，22道小题，满分100分．考试时间60分钟． 2．在答题卡上准确填写姓名、班级、考场/座位号、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，统一将答题卡交回 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 1 B. －1 C. D. 不存在 3. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 5. 如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 条件不足，无法确定 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则和另一个根分别是（ ） A. －1，2 B. －1，－2 C. 1，2 D. 7. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 8. 为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 10. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为______． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__． 13. 设、是方程的两个根，则______． 14. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 __________ 15. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 16. 在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 三．解答题（共52分，第17题12分，每小题6分；第18—22题每题8分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______． （2）将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______． 19. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 20. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 22. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点的坐标． （2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点、． ①过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； ②当的取值变化时，点随之在轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，请直接写出长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $