精品解析：辽宁省实验中学2026-2027学年高三上学期期初考试数学试卷

辽宁省实验中学2026—2027学年度上学期期初考试 高三年级 数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 2. 在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（ ） A. 7 B. 6 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 4. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意得，抛掷红、蓝两个均匀的骰子，共有36个基本事件， 事件：蓝色骰子的点数是5或6，包括,， 共有12个基本事件，所以， 又由事件：两骰子的点数之和大于8， 可得事件，共有个基本事件， 所以，所以. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 6. 甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 7. 在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为等比数列中，所以，. 所以，选项A错误；，选项B正确； ，选项C正确；，选项D错误. 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】因为，，则，所以，所以，故A正确； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 因为，所以的最小值为，当且仅当时等号成立，故D正确； 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由是奇函数得，即可求出. 【详解】函数是奇函数， ， ， 即， ， ， . 故答案为：1. 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，属于基础题. 13. 若是函数的极值点，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用极值点处导数为零的条件解出，再将其代回原函数计算出的值. 【详解】， 所以， 由题意得，解得， 即， 则. 14. 有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取4次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值和对应的概率，根据期望公式进行求解即可. 【详解】随机变量表示事件“只有1个小球至少被抽取一次”， 即四次抽取的都是同一个编号的小球. 因此我们只需确定第一次抽取的是哪个编号的小球即可， 故； 随机变量“表示事件有2小球至少被抽取一次”， 即四次一共抽取了两个不同编号的小球. 因此我们先确定是哪两个编号，假如是， 则包含的基本事件有，故； 随机变量表示事件“有3个小球至少被抽取一次”， 即四次一共抽取了三个不同编号的小球.因此我们先需确定是哪三个编号， 假如是，则包含的基本事件有，故； 随机变量表示事件“有4个小球至少被抽取一次”， 即四次一共抽取了四个不同编号的小球，故； 因此. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 【答案】（1） （2）有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算求解即可， （2）设出零假设，计算出卡方，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人， 则，所以的估计值为． 【小问2详解】 假设：超声波检查结果与是否患该疾病无关， 根据列联表中的数据，则， 因为当成立时，，而， 所以我们有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数求出切点，利用导数的几何意义求出切点的斜率，再利用点斜式求解切线方程即可； （2）先根据函数不等式恒成立，分离参数等价求函数最值，再利用函数的导数与单调性求出函数最值即可. 【小问1详解】 由函数的定义域为， 则函数的导函数为， 所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数的切点为， 所以在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数的定义域为， 则恒成立等价于恒成立， 设， 则， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围是． 17. 已知数列满足记. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明: 因为， 所以， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2） （3）证明： 【解析】 【分析】（1）按等比数列的定义证明，用的递推关系寻找与的关系； （2）使用分组求和法，奇数项为等比数列求和，偶数项可转化为奇数项求和； （3）先将放缩后再裂项可求和. 【小问1详解】 证明略，通项为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略. 18. 已知函数 （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，求证： 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 若有两个极值点， 有两个零点， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，∴， 要证， 由在递增，只要证， 令，则， 则在递减，，，即，，又在递增，， ，即，. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，根据极值的概念即可求解； （2）先分析得，则有，然后记，求导函数，按照，和分类讨论，研究函数的单调性，即可求解； （3）由题意有两个零点，令，则有两个解，记，利用导数法求得，，转化为证明，令，进而利用导数法判断单调性即可证明. 【小问1详解】 当，，， ，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 若，，即， ∴（若，取，则，而，不满足）， 由得，即， 记， 则， 当时，单调递增，，， 当时，时，单调递减，则， 矛盾， 当时，，矛盾， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 略 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2026—2027学年度上学期期初考试 高三年级 数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（ ） A. 7 B. 6 C. D. 3 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，直线与曲线有三个交点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，则______. 13. 若是函数的极值点，则____________． 14. 有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取4次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知数列满足记. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）设，记数列的前项和为，求证：. 18. 已知函数 （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，求证： 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $