四川省绵阳南山中学2026-2027学年高一上学期暑期综合素质测试数学试题

**基本信息** 立足初高中衔接，融合科技城绵阳、新能源充电桩等时代情境与杨辉三角、支摘窗等文化元素，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12/36|倒数、科学记数法、三视图、概率等|第3题结合科技城几何体考空间观念，第10题以杨辉三角考创新意识| |填空|6/24|因式分解、方程根、解三角形、正十二边形面积等|第15题传统支摘窗问题考几何直观，第17题正十二边形与正方形面积关联考运算能力| |解答|7/90|方程化简、统计图表、几何证明、二次函数综合等|21题新能源充电桩成本问题考模型意识，25题二次函数与等腰直角三角形综合考推理能力|

2026级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域。 一、单选题（本题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两个互为倒数的数的乘积为1，所以的倒数为．故选：B． 2．据国内某平台统计，2026年基础设施支出预计达4500亿美元．将数据4500亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】4500亿，用科学记数法表示为：．故选：D． 3．绵阳是党中央、国务院批准建设的“中国唯一科技城”，其中的“中”如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】中字的俯视图为C选项．故选：C． 4．估计的计算结果在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【解析】， ∵，∴，∴．故选：C． 5．小明和小华参加有奖答题活动，活动采取5局3胜制，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 【答案】D 【解析】小明的平均数为6，小华的平均数为7，故A错误； 小明的中位数为6，小华的中位数为7，故B错误； 小明的众数为6，小华的众数为7，故C错误； 小明的方差为，小华的方差为，故D正确． 故选：D． 6．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为．故选：C． 7．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由折叠的性质可知，，， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴， 设，则， 由勾股定理，得，即，解得，∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，，，∴， 由勾股定理，得． 故选：D． 8．小明投篮投中与投不中的概率均为，且各次投中与否互不影响，现小明连续投篮3次，他恰好投中2次的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小明连续投篮3次，共有8种结果，其中恰好投中2次的结果有3种， 所以小明连续投篮3次，他恰好投中2次的概率． 故选：D． 9．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，，点在的延长线上，且．连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， ∵为直径，∴，∵，∴， 则，，，四点共圆， ∴，∵， ∴在中，． 故选：B． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】C 【解析】由规律可知，的展开式所有项的系数之和为， ∴的展开式中所有项的系数之和为． 故选：C． 11．如图，某种两端挂起的电缆下垂时的形状近似为抛物线，在一个坡度为的斜坡上架设两塔柱，塔柱之间的水平距离为50米，塔柱上固定电缆的位置，到坡面上的点，的距离均为20米，在此情况下，下垂的电缆的最低点与坡面的竖直距离为（　　） A．12.75米 B．13.75米 C．14.75米 D．16.75米 【答案】C 【解析】如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 设此时抛物线的解析式为， 由于斜坡的坡度为，且米，∴米， 而米， ∴，又因为， 所以将，两点坐标分别代入解析式中，得， 解得，故， ∴抛物线的顶点的坐标为，过点作轴于，交于， ∵坡度为，，∴米，∴米． 故选：C． 12．已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设公共实数根为，则，，， ∴三式相加，得，即， ∵，∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，共24分） 13．因式分解：        ． 【答案】 【解析】． 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为        ． 【答案】且 【解析】由方程有两个实数根，可得，解得且． 故答案为：且． 15．图①是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗框重合．如图②，，当窗户推开角度时，支撑窗扇的杆子长为        ．（结果精确到0.1，，） 【答案】 【解析】如图，过点作于点， 在中，∵，，，∴， 由勾股定理得， ∵，∴， 在中，由勾股定理得，∴． 故答案为：． 16．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是        ． 【答案】 【解析】连接，∵，∴， 设，则，∵是的直径，∴， ∴，∵，由图可知， ∴，解得，∴， ∵，∴，∴． 故答案为：． 17．在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现外接圆半径为的正十二边形和边长为的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．记正十二边形的面积为，小正方形的面积为，则        ． 【答案】 【解析】如图，过作于， 易知， ∵，∴，∴， ∴正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为，∴． 故答案为：． 18．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，，则的最小值为        ． 【答案】 【解析】如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，得到， ∵的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， ∴的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当，，三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∵是的中点，∴，∴， 由旋转得，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（16分）（1）解关于的方程：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由完全平方公式，可得， ∴原方程可化为， 设，则方程变形为，解得，， 当时，，即，，∴该方程无实数根； 当时，，即，解得， 经检验，是原方程的根，∴原方程的根是； （2） ． 20．（12分）学校需要培养“德、智、体、美、劳”全面发展的学生．我区某学校提出一个前卫的办学理念“人人会”：“3”指的是该校师生必须会3个技能：“人人会演讲”、“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”、“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动分为四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有_______人，在扇形统计图中的值为________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数． 【答案】（1）200，40；（2）条形统计图见解析；（3）1120人． 【解析】（1）被抽查总人数为人， 篮球类占比为，则； （2）由题意可得，象棋类的人数为：人， 则条形统计图如图所示： （3）估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数为人． 21．（12分）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划安装甲、乙两种型号的充电桩共30个，且总成本不超过39万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 【答案】（1）每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元； （2）10个． 【解析】（1）设每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元， 由题意知，解得， 所以每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元； （2）设安装甲型充电桩个，则安装乙型充电桩个， 所以，解得， 故最多能安装10个甲型充电桩． 22．（12分）如图1，为平行四边形的边上一点，连接，，使，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，，∴，∴， 在和中，，∴； （2）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，，∵四边形为平行四边形，∴，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， 由（1）知，∵，，∴，∴，∴四边形是菱形． 23．（12分）如图，已知点，是在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． （1）求点的坐标； （2）点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或． 【解析】（1）过点作于点， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∵点在第一象限，∴设， ∵点在上，∴，∴或（不合题意，舍去）， ∴，∴，∵轴，∴设， ∵点在上，∴，∴，∴； （2）， 设，则，， ∵是等腰三角形，∴或或， 当时，，即， 解得或（与点重合，舍去），∴； 当时，，即， 解得或，∴或； 当时，，即， 解得，∴． 综上，点的坐标为或或或． 24．（12分）如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连接． （1）若，求证：； （2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长； （3）连接，若的延长线经过点，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）． 【解析】（1）证明：∵为直径，∴， 在和中，，∴； （2）∵与相切，∴，∴，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴，∵，∴，∴， 在中，∵，∴，∴， 由于是以为腰的等腰三角形，所以分两种情况： 1）当时，，∵， ∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设，则，∴， ∵，∴，解得，∴； 2）当时，，∵， ∴，∵，， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 综上，若是以为腰的等腰三角形，则满足条件的的长为或； （3）∵为圆的直径，∴， 在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，， ∴，∴，，∴， ∴，∵，∴，∴为的中位线， ∴，∴， 设，则，∴， 取的中点，连接，如图： 则为梯形的中位线，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动的过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）是定值，为6． 【解析】（1）将点，代入，得， 解得，∴抛物线的解析式为； （2）∵点，，∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点在轴上方，且点与点在直线同侧时， 设与轴交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴，∵，∴， ∴，，设， 则，，∴， ∵点在抛物线上，∴， 解得：（舍去）或，∴； 如图所示，当点在轴上方，且点与点在直线异侧时，此时点与点重合， 设直线与轴交于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，∴； 如图所示，当点在轴下方，且点与点在直线同侧时， 设与轴交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴， ∵，∴，∴，， 设，则，，∴， ∵点在抛物线上，∴， 解得：（舍去）或，∴； 如图所示，当点在轴下方，且点与点在直线异侧时，此时点与点重合， ∵，是等腰直角三角形，且，∴，∴， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，，∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则， ∴， ∴为定值． 第10页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域。 一、单选题（本题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．据国内某平台统计，2026年基础设施支出预计达4500亿美元．将数据4500亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．绵阳是党中央、国务院批准建设的“中国唯一科技城”，其中的“中”如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．估计的计算结果在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．小明和小华参加有奖答题活动，活动采取5局3胜制，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 6．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 8．小明投篮投中与投不中的概率均为，且各次投中与否互不影响，现小明连续投篮3次，他恰好投中2次的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，，点在的延长线上，且．连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则的长为（　　）． A． B． C． D． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 11．如图，某种两端挂起的电缆下垂时的形状近似为抛物线，在一个坡度为的斜坡上架设两塔柱，塔柱之间的水平距离为50米，塔柱上固定电缆的位置，到坡面上的点，的距离均为20米，在此情况下，下垂的电缆的最低点与坡面的竖直距离为（　　） A．12.75米 B．13.75米 C．14.75米 D．16.75米 12．已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，共24分） 13．因式分解：        ． 14．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为        ． 15．图①是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗框重合．如图②，，当窗户推开角度时，支撑窗扇的杆子长为        ．（结果精确到0.1，，） 16．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是        ． 17．在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现外接圆半径为的正十二边形和边长为的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．记正十二边形的面积为，小正方形的面积为，则        ． 18．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，，则的最小值为        ． 三、解答题（本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（16分）（1）解关于的方程：； （2）化简：． 20．（12分）学校需要培养“德、智、体、美、劳”全面发展的学生．我区某学校提出一个前卫的办学理念“人人会”：“3”指的是该校师生必须会3个技能：“人人会演讲”、“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”、“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动分为四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有_______人，在扇形统计图中的值为________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数． 21．（12分）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划安装甲、乙两种型号的充电桩共30个，且总成本不超过39万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 22．（12分）如图1，为平行四边形的边上一点，连接，，使，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 23．（12分）如图，已知点，是在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． （1）求点的坐标； （2）点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 24．（12分）如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连接． （1）若，求证：； （2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长； （3）连接，若的延长线经过点，且，求的值． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动的过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第4页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $绵阳南山中学2026年高一新生入学考试 数学答题卡 班级 姓名 座位号 注意事项 准考证号 1.答题前请将姓名、班级、考场、座 号和准考证号填写清楚。 [0] 0] [0] [0] [0] [0 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂， 1] 1] [1] [1 27 [2] [2 修改时用橡皮擦干净。 3] 3 3 [3] [3] [3] [3] 3 [3 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 41 4 4] 4] [4] 4] [4] [4 [4 4.必须在题号对应的答题区域内作 5] 51 51 51 5] [5] [5] [5] [5] [5J [5] 答，超出答题区域书写无效。 6 6 6 [6] 6] 6] [6] [6] 67 [6 [6 5.保持答卷清洁完整。 7 7] [7] 7 [71 [7 7] [7] [8] [8 [8] [8 [8 [8 [8j 8 [8 [8] [8 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 正确填涂■ 错误填涂 考生禁填 (由监考老师填涂) 缺考☐ 违规☐ 选择题 1 ABC]D 5 A BCD 9 A B CD 2 ABC D 6 ABCD☑ 10 A▣B☑ w ABCD 7 ABCD 11 A□B]CMDI 4 A[B]C]D 8 AB][CD] 12 AB]CD 填空题 13 14 15、 16 17、 18 解答题 19.(16分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 20.(12分) 被抽查学生最喜欢的课外活动 被抽查学生最喜欢的课外活动 种类的条形统计图 种类的扇形统计图 其他类 人数八 20% 演讲类 6 60 象棋类 28 篮球类 m% 演讲类篮球类象棋类其他类种类 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 21.(12分) 22.(12分) 图2 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 23.(12分) B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 24.(12分) 0 0 G 备用图 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 25.(14分) A 图1 图2 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页