第1章 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积专项训练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦展开图与几何体转化，通过表面积和体积双维度训练，构建“平面还原立体→数据提取→公式应用”的逻辑体系，发展空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由展开图计算几何体的表面积|4例+4变式|选择/填空/解答，涉及直棱柱、圆柱、组合体表面积，含实际应用（如树体涂白、包装盒）|展开图还原几何体→确定底面周长/棱长→应用侧面积/全面积公式，体现从平面到立体的转化| |由展开图计算几何体的体积|4例+4变式|选择/解答，涉及长方体、圆柱、四棱柱体积，含折叠问题（如无盖纸盒）|展开图分析棱长关系→计算底面积与高→应用体积公式，强化空间想象与推理意识|

由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积专项训练 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积专项训练 考点目录 由展开图计算几何体的表面积 由展开图计算几何体的体积 考点一 由展开图计算几何体的表面积 例1．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 例2．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·河南·期末）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直八棱柱形笔筒（无盖）． (1)这个直八棱柱形笔筒共有 面， 条棱， 个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积之和； (3)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 例4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 变式1．（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 变式3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 变式4．（25-26七年级上·四川达州·期末）把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 考点二 由展开图计算几何体的体积 例1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 例3．（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 例4．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示． (1)写出该几何体的名称___________． (2)根据图中标注的尺寸（单位：），求这个包装盒的体积． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 变式2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 变式3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 变式4．（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体的名称是________； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积专项训练 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积专项训练 考点目录 由展开图计算几何体的表面积 由展开图计算几何体的体积 考点一 由展开图计算几何体的表面积 例1．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 例2．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 例3．（25-26七年级上·河南·期末）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直八棱柱形笔筒（无盖）． (1)这个直八棱柱形笔筒共有 面， 条棱， 个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积之和； (3)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)9，24，16 (2)这个棱柱的侧面积之和是 (3)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察八棱柱即可解答； （2）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量8个即可解答； （3）由八棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）解：这个直八棱柱形笔筒（无盖）有9个面，24条棱，16个顶点． 故答案为：9，24，16； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 例4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 【答案】(1) 解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， (2)216 【分析】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积再减去底面面积即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的表面积是， 故答案为：216． 变式1．（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图中，甲的表面积（   ）乙的表面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题是考查表面积的区别和求法．根据表面积是指物体所有面的总面积．根据表面积的意义，可知甲的表面积等于乙的表面积． 【详解】解：甲的表面积等于乙的表面积都等于24个小正方形的面积． 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 变式4．（25-26七年级上·四川达州·期末）把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 【答案】(1) 解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的图形如下： (2)共需要60克漆． 【分析】本题主要考查了从不同方向看、立体图形的表面积等知识点，正确计算立体图形的外露面是解题的关键． （1）从正、左、上方向观察，确定每层每列正方形数量，画出平面形状． （2）统计露出的面数，求总面积后结合用漆量计算总用量． 【详解】（1）略 （2）解：∵小正方体的棱长为， ∴正方体每个面的面积为， 由图可知，7个正方体共有个面， 其中被重叠遮挡的有个面， ∴外露面数为个，即该立体图形表面（含底面）的面积为， 需要漆的克数为克． 答：共需要60克漆． 考点二 由展开图计算几何体的体积 例1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的体积计算问题，解答时一定要清楚长方体展开图的特征，以及长方体体积计算的公式． 、的长度均为8的一半，可得长方体的长或宽；6减去的长度值再除以2可得长方体的高，6减高的2倍可得长方体的宽或长；求得长方体的长、宽、高后，进而按“长方体的体积长宽高”求出体积即可． 【详解】解：由题意可得，的长度：（）， 长方体的高：（） 长方体的宽：（） 长方体的体积：（） 答：原长方体的体积是． 故选B． 例2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 例3．（25-26七年级上·广东佛山·期中）图①为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图②所示． (1)从图①展开至图②，一共剪开了几条棱？ (2)若被剪开的棱的棱长和为，则这个四棱柱的体积是多少？ 【答案】(1)7条棱 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． （1）根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可； （2）根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】（1）解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱． （2）解：， ． ∴这个四棱柱的体积是． 例4．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示． (1)写出该几何体的名称___________． (2)根据图中标注的尺寸（单位：），求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题主要考查了根据展开图识别几何体，求长方体的体积，熟知长方体的展开图是解题的关键． （1）根据展开图的特点即可得到该几何体为长方体； （2）根据题意可得该长方体的长，宽，高，再根据长方体体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，该几何体是长方体； （2）解：由题意得，该长方体的长为，宽为，高为， ∴这个包装盒的体积为． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 变式2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 变式3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 【答案】任务1：； 任务2：①如图所示： ② 【分析】本题考查长方体的容积，立体图形的展开图，掌握知识点是解题的关键． 任务1：根据长方体的容积公式计算即可； 任务2：①根据长方体的展开图解答即可； ②根据长方体的容积公式计算即可． 【详解】解：任务无盖长方体纸盒底面为正方形， 底面边长为，高为， 容积为， 答：无盖长方体纸盒的容积为． 任务2：①略 ②新无盖长方体纸盒底面为正方形，边长为，高为， 容积为， 答：新无盖长方体纸盒的容积为． 变式4．（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体的名称是________； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体（或四棱柱） (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，掌握相应的定义是关键． （1）根据展开图可知该几何体有6个面，4个侧面，2个底面，即可得出几何体的名称； （2）根据展开图可知是一个长为6，宽为2，高为6的四棱柱，再根据体积公式得出答案． 【详解】（1）解：根据图形可知，几何体有6个面，4个侧面，2个底面， ∴几何体是长方体（或四棱柱）． 故答案为：长方体（或四棱柱）； （2）解：几何体的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $