专题10 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算8大题型64道题，以题型为载体系统提炼运算技巧，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数运算8大题型|64道题含各地期中/模拟题|拆项法、运算律应用、错位相减、新运算定义、规律归纳|从加减乘除基础运算到乘方、混合运算，延伸至简便计算与规律探究，形成“概念-运算-技巧-应用”递进逻辑|

专题10 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）计算： 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 8．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题． （1）﹣5+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫做拆项法． （2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算：． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 11．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）“作差法”比较和大小． 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 13．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)    ； (8)； (9)． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 16．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)小明误将后面的“”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 18．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）计算： 20．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26七年级上·全国·期中）规定两数，通过“”运算得到，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 23．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 24．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）简便运算：． 26．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 27．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 28．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 32．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 34．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 38．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 39．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 40．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 42．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：． 43．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 44．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 45．（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 46．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 47．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）简便计算：．            50．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）能简便计算的要进行简便计算： (1) (2) 52．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）用简便方法计算． (1) (2) 53．（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）计算下面各题，能简便的要简便． (1)； (2)； (3)； (4)． 54．（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 55．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算： ． 56．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律进行简便计算： 利用运算律进行简便计算： 例1  ； 例2   (1)； (2)． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某数学兴趣小组发现：，，…，按此规律： (1)直接写出：____________； (2)计算：． 58．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若，…，按照此规律回答下列问题 (1)_____． (2)计算：． (3)计算：． 59．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算．联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，）？从它们可以总结什么规律？ （1）；    （2）． 60．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 61．（25-26七年级上·广东广州·期中）求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 62．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 63．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知一些两位数相乘的算式： 62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11． （1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果． 64．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 有理数及其运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，利用加法的交换律和结合律先将同号相加可以简化计算．根据有理数加法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 2．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）计算： 【答案】1023 【分析】本题考查整数的加法运算，令，则，两式相减，即可得出结果． 【详解】解：令，则， 两式相减得：； 故． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，加法运算律，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律，把正数和负数分别相结合进行计算； （2）根据加法交换律和结合律，把能够凑整的，互为相反数相结合进行计算． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． 5．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 【答案】(1)7 (2)0 (3)3.8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法法则运算即可． （2）先去括号，再进行加法运算即可． （3）先去括号，再进行加法运算即可． （4）根据有理数的加法法则运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5)0 (6) 【分析】本题考查有理数加法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．各题按照有理数加法运算法则计算即可．有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值，任何数与0相加仍得这个数，进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 8．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题． （1）﹣5+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫做拆项法． （2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030． 【答案】﹣2 【分析】根据（1）中的拆项法将原式转换为，然后进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）]+4030+[（﹣）+（﹣）+（﹣）] ＝﹣4030+4030+[（﹣）+（﹣）+（﹣）] ＝﹣2． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，根据题意理解拆项的方法是解本题的关键． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（2026七年级上·四川泸州·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据绝对值的意义和有理数的减法法则进行计算即可 ． 【详解】解： ． 11．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）“作差法”比较和大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用作差法得到，即可判断． 【详解】解： ． 12．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 13．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； 本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)    ； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键； （1）根据有理数的减法法则，即可求解． （2）根据有理数的减法法则，即可求解． （3）根据有理数的减法法则，即可求解． （4）根据有理数的减法法则，即可求解． （5）根据有理数的减法法则，即可求解． （6）根据有理数的减法法则，即可求解． （7）根据有理数的减法法则，即可求解． （8）根据有理数的减法法则，即可求解． （9）根据有理数的减法法则，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 16．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)小明误将后面的“”看成了“+”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法和减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入减法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得被墨水污染的减数为； （2）解：． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】解：． 18．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先计算出每个括号内的减法运算，再根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)120 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． （1）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算； （3）按有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】此题考查有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右依次计算； （2）按照从左到右依次计算； （3）按照乘法运算法则计算； （4）根据0乘以任何数都等于0计算． 【详解】（1）解：； ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．（25-26七年级上·全国·期中）规定两数，通过“”运算得到，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算：是解决问题的关键． （1）直接由新定义运算：代值求解即可得到答案； （2）直接由新定义运算：代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，， ； （2）解：由题意可知，， ， 则． 23．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）简便运算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．先将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 26．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分数的化简，有理数的除法，熟练掌握分数的化简法则是解题的关键； （1）根据分数化简，计算即可求解； （2）根据分数化简，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 27．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 28．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 30．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】 解：不正确，正确的计算过程如下： ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先计算括号内的，再根据有理数的除法法则计算． 【详解】略 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 32．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了有理数的乘方后，他就琢磨着使用乘方这一数学知识，脑洞大开的定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为零）的除法运算叫做除方．如类比有理数的乘方记作记作． (1)直接写出计算结果：______；______； (2)计算． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算、新定义运算的理解与应用，熟练掌握“除方”的定义并将其转化为乘除运算求解是解题的关键． （1）根据“除方”的定义，将转化为个连续相除的运算，再计算结果； （2）先根据“除方”定义分别表示出各表达式，再转化为乘方运算，最后按四则运算规则计算． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：4；； （2）解：∵ ， ， ， ， ∴ ． 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 【答案】． 【分析】本题考查了二进制数的加法运算以及二进制数到十进制数的转换．正确掌握二进制加法“逢二进一”的规则和二进制转十进制按位权展开求和的方法是解题的关键． 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制即可求解． 【详解】解：， 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制可得： ． 34．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解决本题的关键是准确识别底数中是否含负号. （1）直接利用乘方运算求解. （2）先计算乘方，再取负. （3）先计算乘方，再取负. （4）分子先进行乘方运算，再取负. （5）分母先进行乘方运算，再取负. （6）分别计算和，再进行乘法运算. （7）分别进行乘方运算，再进行乘法运算. 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键在于计算时符号的确定与理解乘方的意义，从而简便运算. （1）先算乘方，再算乘法. （2）由乘方的意义拆分第一项，再简便运算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 38．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 【答案】(1)①，；②， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． （1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； ②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； （2）由（1）归纳规律即可； （3）由（2）中规律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：①，； ②，． 故答案为：①，；②，． （2）解：观察（1）可得，当n为正整数时，， 故答案为： （3）解： ． 39．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．令，然后两边同乘以6，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：令， 则 ， 所以， 即， 所以， 即． 40．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，分别算出两部分的结果后再相加即可得到最终答案． 【详解】解： ． 42．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 43．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 44．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】首先把每个分数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ． 45．（25-26七年级下·贵州安顺·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 46．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 47．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据有理数加减混合运算法则，结合加法的交换律和结合律，进行简便运算即可． 【详解】解：                      ． 50．（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 51．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）能简便计算的要进行简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及带分数乘法的简便计算，解题的关键是（1）掌握“有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数”，将减法转化为加法后简便计算；（2）将带分数拆分为整数与真分数的差，利用“乘法分配律”简化运算． （1）先根据有理数减法法则，将式子中的减法转化为加法，即；再分别合并正数项和负数项，最后计算两者的和； （2）先将带分数拆分为；再利用乘法分配律，将其与分别相乘，再将所得的两个积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 52．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）用简便方法计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用有理数的乘方法则进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 53．（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）计算下面各题，能简便的要简便． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算顺序和运算法则，以及加法运算律在有理数范围依旧适用． 54．（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 55．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键．运用加法交换律和乘法结合律进行化简，再算乘法最后算加法即可． 【详解】解： 56．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律进行简便计算： 利用运算律进行简便计算： 例1  ； 例2   (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某数学兴趣小组发现：，，…，按此规律： (1)直接写出：____________； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据题干所给式子找出规律即可； （2）根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，…， 可知， 则． 故答案为：，； （2）解： ． 58．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若，…，按照此规律回答下列问题 (1)_____． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． （2）根据题意发现的规律，将算式中的各项化简，利用裂项相消法进行计算即可． （3）根据题意发现的规律，将算式中的各项化简，利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 59．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算．联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，）？从它们可以总结什么规律？ （1）；    （2）． 【答案】 （1）（2）中的式子都成立由此可以总结出：分子，分母以及分数这三者中的符号，改变其中两个，分数的值不变． 【分析】先计算前面除法的结果，根据结果判断（1）（2），并总结规律． 【详解】， ， （1）（2）中的式子都成立由此可以总结出：分子，分母以及分数这三者中的符号，改变其中两个，分数的值不变． 【点睛】本题考查了有理数的除法，根据前面的算式总结出规律，是解决本题的关键． 60．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 61．（25-26七年级上·广东广州·期中）求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，． 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：(1) ＝，＝； (2) ＝，＝； (3)(－1)4×24＝，(－1×2)4＝； (4)(－5)2×42＝，(－5×4)2＝． 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即am·bm＝(ab)m(m为正整数)． ×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 62．（25-26七年级上·河北·单元复习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知一些两位数相乘的算式： 62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11． （1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征； （2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律； （3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果． 【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825． 【分析】（1）确定因数为11的算式； （2）计算并发现规律； （3）根据发现的规律找算式即可． 【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11， 这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘． （2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594， 规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积． 或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数． （3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825， 【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题． 64．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】(1) 连线如图所示， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $