第1章 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格梳理常见几何体展开图构成与核心公式，以步骤化解题思路构建“展开图→几何体→表面积/体积计算”的知识体系，明确正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图与棱长、半径等参数的对应关系，突出空间形式与数量关系的内在联系。 讲义亮点在于分层设计的例题与变式训练，如长方体包装盒展开图求侧面积、正方形纸板折无盖纸盒算体积等真实情境题，培养几何直观与空间观念。解题思路强调“判类型-找对应-算参数-验完整”的推理过程，基础题巩固公式应用，综合题提升创新意识，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积讲义 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积讲义 考点目录 由展开图计算几何体的表面积 由展开图计算几何体的体积 考点一 由展开图计算几何体的表面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 几何体的表面展开图，是将几何体的所有外表面展开到同一平面得到的平面图形；展开图的总面积等于几何体的全面积（表面积）。 · 表面积（全面积）= 侧面积 + 所有底面的面积 · 注意：无盖、无底的几何体，表面积需对应减去缺失的底面面积。 1. 常见几何体的展开图构成与表面积公式 几何体 展开图构成 核心对应关系 表面积公式 正方体 6个完全相同的正方形 每个正方形的边长=正方体的棱长 长方体 6个长方形（3组相对的面分别全等） 三组边分别对应长方体的长、宽、高 圆柱 1个长方形（侧面）+ 2个全等的圆（底面） 长方形的长=底面圆周长，长方形的宽=圆柱的高 圆锥 1个扇形（侧面）+ 1个圆（底面） 扇形的弧长=底面圆周长，扇形半径=圆锥母线长 二、解题思路 1. 判类型：根据展开图的形状，判断对应的几何体类型（柱、锥、多面体）。 1. 找对应：建立展开图尺寸与几何体棱长、半径、高、母线的对应关系： · 正方体/长方体：通过公共棱长度相等，确定长、宽、高； · 圆柱：利用“侧面长方形的长=底面周长”，由侧面长计算底面半径； · 圆锥：利用“扇形弧长=底面周长”，由弧长计算底面半径。 1. 算面积 · 方法一：分别计算展开图每个部分的面积，求和得到总表面积； · 方法二：还原几何体后，直接代入对应表面积公式计算。 1. 验完整：检查底面数量是否正确（无盖、无底需对应减底面积），验证侧面与底面的边长/弧长是否匹配。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 例2．（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 【答案】 的 【分析】根据正方体相对面的特征和正方体的表面积公式进行解答即可． 【详解】解：“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“的”， 如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是． 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2)18 【分析】本题考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，六棱柱的侧面积等于六个矩形的面积． （1）根据几何体的表面展开图，可得出几何体是六棱柱； （2）由图可得侧面积等于六个矩形的面积． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是六棱柱； （2）解：侧面积为：． 例4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 【答案】(1)， (2) 画图如下： (3) 【分析】（）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）求出几何体的表面正方形个数，进而即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示的几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体， 故答案为：，； （2）略 （3）解：从前后看各有个正方形，从左右看各有个正方形，从上下看各有个正方形， ∴几何体的表面共有个正方形， ∴几何体的表面积为， 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2) 【分析】本题考查了六棱柱．熟练掌握六棱柱的表面展开图，侧面积计算，是解题的关键． （1）根据表面展开图有2个正六边形作底面，6个长方形作侧面，判断包装盒形状； （2）运用长方形面积公式计算侧面积． 【详解】（1）解：∵文创礼品的包装盒的表面展开图由2个大小相同的正六边形，6个大小形状相同的长方形组成， ∴这个包装盒形状是六棱柱． （2）解：六棱柱的侧面积 （）， 答：这个几何体的侧面积． 变式4．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由棱长都为的小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)求出该几何体的表面积（包括底面）． 【答案】(1) 由题意，画图如下： (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，求几何体的表面积： （1）画出从前往后，从左往右，从上往下看到的图形即可； （2）用一个小正方形的面积，乘以6个面的小正方形的总个数进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）几何体的表面积为． 考点二 由展开图计算几何体的体积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 解题核心 体积计算无法直接从展开图面积得出，必须先还原几何体的形状，根据展开图与几何体的尺寸对应关系，推导出体积公式所需的核心参数（底面积、高、棱长等），再代入公式计算。 1. 常见几何体的体积公式 · 正方体： · 长方体： · 圆柱： · 圆锥： 1. 关键参数推导（展开图→几何体） （1）圆柱展开图求参数 侧面展开为长方形，设长方形的两边长分别为、： - 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； - 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； - 通常以较长的边为底面周长，需结合题目条件或底面圆的尺寸验证。 （2）圆锥展开图求参数 侧面展开为扇形，设扇形半径为（即圆锥母线），弧长为： - 底面半径：由弧长等于底面周长，得 ； - 圆锥的高：母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得 。 二、解题思路 1. 还原几何体：根据展开图确定几何体类型，明确体积公式的形式。 1. 推导核心参数 · 多面体（正方体、长方体）：从展开图中提取长、宽、高； · 圆柱：由侧面周长求底面半径，确定高； · 圆锥：由扇形弧长求底面半径，结合母线用勾股定理求高。 1. 代入公式计算：将参数代入对应体积公式，准确计算。 1. 验证合理性：检查参数是否为正，圆锥母线长必须大于底面半径，尺寸符合几何逻辑。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算．根据图示求出此无盖长方体盒子的长、宽、高，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：由题可知，长方体的高即为减去四个正方形（图中阴影）的边长，即为， 则长方体底面的长为，宽为， 所以长方体的体积为， 故答案为：1000． 例2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是______． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握长方体的表面展开图的特点是解题关键．先根据长方体的表面展开图求出原长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，原长方体的宽为，长为，高为， 则原长方体的体积是， 故答案为：． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)，； (2)这个纸盒的体积为． 【分析】本题主要考查了正方体展开图的折叠以及长方体体积的计算，熟练掌握正方体展开图的特征和长方体体积公式是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒展开图的折叠特征，分析点和边的重合情况． （2）先确定折成的无盖长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体体积公式计算体积． 【详解】（1）解：观察展开图折叠情况，可得与点重合的是点，与边重合的是边, 故答案为：，； （2）解：因为纸盒的长：， 纸盒的宽：， 纸盒的高：， 所以体积：， 答：这个纸盒的体积为． 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长求解即可； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （2）解：根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． ∴长方体纸盒的体积为． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【答案】320 【分析】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 由图可知，长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，然后求体积即可． 【详解】解：根据题意可知长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则制作成底面为正方形的长方体箱子的体积， 故答案为：320． 变式2．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 【答案】400 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为 ， ∴容积为， ， 长方体无盖的容积最大值为， 故答案为：400． 变式3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)写出该几何体的名称：____________， (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号． ①三角形②四边形③六边形④七边形 (3)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③ (3)立方米 【分析】本题主要考查了几何体的表面展开图，几何体的体积，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形， 故答案为：①②③； （3）解：立方米， 所以体积是立方米． 变式4．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 【答案】（1）①⑤⑥；（2）588，294 【分析】本题主要考查立体图形的展开，解题的关键是正确记忆相关知识点． （1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积． 【详解】解：（1）根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系可得： ②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为：， 有盖盒子的长：，宽为：，高为：， 有盖盒子的体积为：， 故答案为：588，294． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积讲义 由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积讲义 考点目录 由展开图计算几何体的表面积 由展开图计算几何体的体积 考点一 由展开图计算几何体的表面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本原理 几何体的表面展开图，是将几何体的所有外表面展开到同一平面得到的平面图形；展开图的总面积等于几何体的全面积（表面积）。 · 表面积（全面积）= 侧面积 + 所有底面的面积 · 注意：无盖、无底的几何体，表面积需对应减去缺失的底面面积。 1. 常见几何体的展开图构成与表面积公式 几何体 展开图构成 核心对应关系 表面积公式 正方体 6个完全相同的正方形 每个正方形的边长=正方体的棱长 长方体 6个长方形（3组相对的面分别全等） 三组边分别对应长方体的长、宽、高 圆柱 1个长方形（侧面）+ 2个全等的圆（底面） 长方形的长=底面圆周长，长方形的宽=圆柱的高 圆锥 1个扇形（侧面）+ 1个圆（底面） 扇形的弧长=底面圆周长，扇形半径=圆锥母线长 二、解题思路 1. 判类型：根据展开图的形状，判断对应的几何体类型（柱、锥、多面体）。 1. 找对应：建立展开图尺寸与几何体棱长、半径、高、母线的对应关系： · 正方体/长方体：通过公共棱长度相等，确定长、宽、高； · 圆柱：利用“侧面长方形的长=底面周长”，由侧面长计算底面半径； · 圆锥：利用“扇形弧长=底面周长”，由弧长计算底面半径。 1. 算面积 · 方法一：分别计算展开图每个部分的面积，求和得到总表面积； · 方法二：还原几何体后，直接代入对应表面积公式计算。 1. 验完整：检查底面数量是否正确（无盖、无底需对应减底面积），验证侧面与底面的边长/弧长是否匹配。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 例2．（26-27七年级上·河北唐山·开学考试）如图，一个正方体展开图的6个面上分别写着“唐”“诗”“里”“的”“中”“国”．与“唐”相对面上的字是“( )”．如果这个正方体的棱长是，那么这个正方体的表面积是( )． 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 例4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 变式2．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 变式3．（25-26七年级上·江西九江·期中）湖口石钟山景区“湖口有礼”文创馆以其独特的文化和创意魅力，生动诠释了“以文塑旅，以旅彰文”的深意，其文创产品都是“设计赋能”的结果，品类多样丰富，文创入手也入心．如图所示的是某个文创礼品的包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积． 变式4．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是由棱长都为的小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)求出该几何体的表面积（包括底面）． 考点二 由展开图计算几何体的体积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 解题核心 体积计算无法直接从展开图面积得出，必须先还原几何体的形状，根据展开图与几何体的尺寸对应关系，推导出体积公式所需的核心参数（底面积、高、棱长等），再代入公式计算。 1. 常见几何体的体积公式 · 正方体： · 长方体： · 圆柱： · 圆锥： 1. 关键参数推导（展开图→几何体） （1）圆柱展开图求参数 侧面展开为长方形，设长方形的两边长分别为、： - 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； - 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； - 通常以较长的边为底面周长，需结合题目条件或底面圆的尺寸验证。 （2）圆锥展开图求参数 侧面展开为扇形，设扇形半径为（即圆锥母线），弧长为： - 底面半径：由弧长等于底面周长，得 ； - 圆锥的高：母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得 。 二、解题思路 1. 还原几何体：根据展开图确定几何体类型，明确体积公式的形式。 1. 推导核心参数 · 多面体（正方体、长方体）：从展开图中提取长、宽、高； · 圆柱：由侧面周长求底面半径，确定高； · 圆锥：由扇形弧长求底面半径，结合母线用勾股定理求高。 1. 代入公式计算：将参数代入对应体积公式，准确计算。 1. 验证合理性：检查参数是否为正，圆锥母线长必须大于底面半径，尺寸符合几何逻辑。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1所示为宽、长30cm的长方形纸板，某同学要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为________． 例2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是______． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 变式2．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积的最大值为_____． 变式3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，这是一个几何体的表面展开图． (1)写出该几何体的名称：____________， (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______填序号． ①三角形②四边形③六边形④七边形 (3)求该几何体的体积． 变式4．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）【拓展探究】某综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①－⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）； 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按两种方式制作长方体纸盒． 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体纸盒，则制作成的无盖长方体纸盒的体积是多少？ 如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来，可制作一个有盖的长方体纸盒，则制作成的有盖长方体纸盒的体积是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $