周末学情自测02 勾股定理的应用 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理应用为核心，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，构建从单一知识到跨学科实践的进阶路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理直接应用|以古代数学题（如《算法统宗》问题）、梯子靠墙等经典情境，强化概念理解与运算能力| |中档层|实际情境综合应用|通过折叠问题、动态行程（如甲乙两人运动）等，提升空间观念与推理能力| |拔高层|跨学科与探究应用|结合物理实验（滑块与定滑轮）、圆柱表面最短路径探究，发展创新意识与数学表达能力|

2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测2 勾股定理的应用 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 10．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 的最小值为． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接，………………1分 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆；………………3分 （2）解：∵，，， ，，………………5分 ∴， ∴是直角三角形，，………………6分 ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．………………8分 12．（8分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为；………………3分 （2）解：设， ∴， 在中，， ∴，………………6分 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．………………8分 13．（14分）（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴，………………2分 ，………………3分 ，………………4分 ， 即；………………5分 （2）解：，，， ，………………7分 ，， ， ，………………8分 ， 答：阴影部分面积为24；………………9分 （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即，………………11分 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米．………………14分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测2 勾股定理的应用 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 4．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键； 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径， 故选：B． 5．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0．4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 7．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将长方体木条的侧面展开，把问题转化为平面上两点间的最短路径问题，再利用勾股定理计算出最短路径的长度． 【详解】解：如图，将长方体木条的侧面及地面展开，得到新的长方形，其长为，宽为． 蚂蚁从点爬到点的最短路径为展开图中线段的长度，， 由勾股定理得： ， ∴一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走． 8．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 【答案】10 【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知在展开图中A点和B点连接的线段即为需要爬行的最短路径，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接，，其中， 由题意可知：， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路径是． 10．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 11．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要______________元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 13．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离_____． 【答案】/1000米 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理解三角形，作A关于的对称点，连接与，，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．然后结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作A关于的对称点，交于点M，连接，，，如图所示：    根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵，河岸的长度为， ∴，， ∴（米）， ∴牧童从处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（6分）（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，，………………2分 ∴， ∴，………………4分 ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行．………………6分 16．（8分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)见解析 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，．………………3分 （2）解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴，………………5分 ∵，………………7分 ∴， 即该车符合安全标准．………………8分 17．（10分）（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 【答案】(1) ①②如图所示即为所求； ………………4分 (2)平行；、、 【分析】题目主要考查利用网格画图，勾股定理解三角形，余角的定义等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据网格特点画图即可；②根据网格特点画图即可； （2）先根据网格及勾股定理得出为等腰直角三角形，确定，再由平行线的判定即可得出；再利用余角的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴；………………7分 ∵为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的所有余角为、、，………………10分 故答案为：平行；、、． 18．（10分）（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即；………………3分 (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于，………………5分 ， ，………………8分 ， 海港受台风影响．………………10分 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 19．（12分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：，………………2分 ， 答：绳子的总长度为．………………4分 （2）由题意得：， ，………………6分 绳子的总长度为， ，………………8分 在中，由勾股定理得：，………………10分 ， 答：滑块向左滑动的距离为．………………12分 20．（12分）（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）画图………………1分 解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米，………………2分 ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，………………4分 （2）解：，………………5分 ∵， ∴表格中b表示的大小关系是；………………7分 （3）解：根据题意可得，………………9分 即， ∴，………………11分 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测2勾股定理的应用 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B和C重 合，AB=6,AC=8,求CE的长.设CE=x,则所列方程正确的是() B D A.x+(8-x)2=6 B.6+x2=(8-x}2 C.62+(8-x2=x2 D.x+(6-x=82 2.(25-26八年级下四川绵阳·期中)如图，一圆柱体的底面周长为l0cm,高AB为12cm,BC是直径， 一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为() A.17cm B.13cm C.12cm D 2v61cm 3.(25-26八年级下·辽宁葫芦岛期中)一块三角形沙地三边长分别为6m,8m,10m,则这块沙地的面积为 () A.24m2 B.48m2 C.60m2 D.80m2 1/5 4.(25-26八年级下·广东珠海·期中)如图所示，一轮船以6海里时的速度从港口A出发向东北方向航行， 另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 () 北 西 东 南 A.20海里 B.10海里 C.30海里 D.25海里 5.(25-26八年级上·福建漳州期末)“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融 合发展的综合性经济形态.某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直 起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C.若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是 () B C A.400米 B.450米 C.500米 D.600米 6.(25-26八年级上江苏泰州期末)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2n+1(n为任意 正整数)表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是() A.n B.2n2 C.2n+1 D.2n2+2n 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26八年级下福建南平·期中)如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠，使点D 与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=8，,则AE的长为一 215 8.(25-26八年级下·云南昆明期中)如图，长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的 距离为0.7m,梯子顶端到地面的距离为 m 2.5m 0.7m 9.(25-26八年级上四川成都期末)平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵强风吹 过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面.此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上 移动了3尺.由此可知水池的深度是尺 10.(25-26八年级下·湖北期中)如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为 4cm,3cm,12cm 16cm .现有一长为“的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为 hcm,则h的最小值为一cm. 三、解答题：本题共3小题，共30分。 315 11.(8分)(25-26八年级下·河南洛阳期中)为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图 所示的四边形ABCD空地改造成校园劳动实践基地.为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据， 经测量，AD=6米，AB=8米，BC=24米，CD=26米，∠A=90° A B ()为方便分区管理，学校计划在B、D两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆. (②)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持， 12.(8分)(25-26八年级下·广西南宁·期中)如图，在一条东西走向的街道1上有两个快递投放点B, C.快递投放点C的正北方向3km处有一小区A,小区A到快递投放点B的距离为5m. (1)求快递投放点B,C之间的距离： (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道1上增设一个快递自提柜D,并且使得自提柜 D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离. 13.(14分)(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期末)根据以下素材，探索完成任务. ⊙ a E b D 图1 图2 图3 板块 内容 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改 背景 造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的 阐述 相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中 素材 ∠A=∠D=90°，Rt△ABE≌Rt△DEC、两块三角尺的直角边分别为ab,斜边 为C,拼接在直线AD上(A、E、D共线)· 4/5 素材 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得AD⊥CD,AB=13,BC=12 二 AD=4,CD=3 计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草， 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C,岸边原有取水点AB,现决定在河边 素材 三 新建取水点H(A、H.B在同一直线上)，并新修一条路CH,使CH⊥AB(如 图3)，测得CA=1.3千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米。 (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：a2+b2=c2: (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； 3)任务三：请计算素材三中新修道路CH的长度（单位：千米）· 5/52026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测2勾股定理的应用 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·河南商丘期中)我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨 日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩，设长方形田 的宽为x步，则可列方程为() A.30+x=50-x B.302+(50-x)}=x2 c.302+r2=(50-x)月 D.x2+(50-x}=30 2.(25-26八年级上河南周口阶段检测)如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m,如果梯 子的顶端下滑4m,那么梯子的底端将滑动() B 以6 A.4m B.6m C.8m D.10m 3.(25-26八年级上·江苏常州期中)如果梯子的底端离建筑物5m,那么长13m的梯子可以达到该建筑物 的高度是() A.11m B.12m c.13m D.14m 4.(25-26八年级上广东梅州期中)某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6km后，再 向北飞行1.2km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行. 若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为() 117 个北 社区配送点 仓库 A.1.8km B.2.0km C.2.1km D.3.0km 5.(2026黑龙江佳木斯三模)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D在BC上，将 △ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，则CD的长() E D A.4 B.3 c.5 D.6 6.(25-26八年级下·安徽合肥期中)如图，东西方向上有A,C两地相距5千米，甲以8千米/时的速度 从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相 距3千米时，最短用时是() 甲 北 y C D A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时 7.(25-26八年级下·山东临沂阶段检测)如图，四边形ABCD是长方形地面，在它中间有一长方体木条. 若AB=10cm,AD=5cm,MN=lcm,一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间的木条，则它至少 要走()cm. M B A.11 B.12 C.13 D.14 217 8.(25-26八年级上江苏常州期中)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90,AB=3,AC=5.沿过点 A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC 的交点为E,则AE的长是() B D E A 11 16 10 7 B.5 C.3 D.5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26八年级下四川广安期中)如图，圆柱的底面周长是16cm,高是6Cm,一只蚂蚁在A点想吃到 B点的食物，需要爬行的最短路径是cm 10.(25-26八年级上山西晋城阶段检测)如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三 个顶点均在格点上，则△ABC中AB边上的高为 B 11.(25-26八年级上·福建漳州期中)如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米.如果在 楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米.那么购买这种地毯至少需要 元. B 3/7 12.(25-26八年级上：上海浦东新期末)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，点A到MN的直线距 离为l00m.公路PQ上点A处距离点O处300m.如果火车行驶时，周围260m以内会受到噪音的影响， 那么火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为_§. P M A—Q 13.(25-26八年级上江西南昌期末)如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A,B到河岸的距离分别为 AC和BD,且AC=BD=300m,若河岸CD的长度为8O0m,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家， 最短距离一· D河 B 14.(25-26八年级下·安徽池州期末)某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在 BC上有一处古建筑，使得BC的长不能直接测出，于是工作人员在BC上取一点D,测得AD=120米， BD=50米后，又测得AB=130米，AC=150米，则BC的长为米. B 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(6分)(25-26八年级下·云南昆明·期中)如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同 时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两 船分别位于点A,B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿什么方向 航行？ 417 E 16.(8分)(25-26八年级下广西南宁·期中)图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图.现测得 AB=8dm,BC=9dm,CD=12dm,AD=17dm,其中AB与BD之间由一个固定为9O°的零件连接 (即∠ABD=90°) 图1 图2 (I)求线段BD的长度： 2)安全标准规定：需满足BC⊥CD,请判断该车是否符合安全标准，并说明理由。 17.(10分)(25-26七年级上江苏常州期末)如图.每个小方格均为正方形，A,B,C均为格点（每个 小方格的顶点叫做格点) B (1)按要求画图： ①画线段BD(D为格点)，使BD⊥AB: ②画线段BE(E为格点)，使BE⊥BC: (2)在(1)的条件下，AC与BD的位置关系是一，图中∠ABC的所有余角为 18.(10分)(25-26八年级上：广东茂名·期中)我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿 东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为 300km和400km,且AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. 517 B (1)求证：∠ACB=90°： (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 19.(12分)(25-26八年级下·江西南昌·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将 一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上.初始时， AC⊥BCAC=80cmBC=60cm 绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计. 绳子 绳子 B 图1 图2 (1)求初始状态下细绳的总长度： (2)如图2，若物体C竖直升高70cm,求此时滑块B向左滑动的距离. 20.(12分)(25-26八年级下·广东期末)综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π取3） B 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6c品 直径 高为10cm的圆柱 图1 图2 图3 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物. 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细 线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的， (1)中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 617 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 x>y 4 10 9.85 x>y 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米」 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”）， 此时最短路程是 厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填 空) (②)填空：表格中a的值是 一；表格中b表示的大小关系是 3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r,圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为 r与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 717