1.3勾股定理的应用同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册数学勾股定理应用同步练习，以基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，覆盖平面到立体情境，强化从单一到综合的问题解决能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择/填空）|平面图形（长方形、直角三角形）、简单实际情境（梯子、旗杆）|直接应用勾股定理计算，如长方形对角线、梯子高度，夯实基础运算能力| |综合应用层（解答题）|立体图形展开（长方体、圆柱）、折叠问题、动态情境（两球相遇）|结合图形变换与方程思想，如长方体表面最短路径、折叠后线段长度，培养推理能力| |拓展层（附加题）|规律探究（直角三角形斜边规律）、多周圆柱侧面展开|通过探究规律与复杂建模（如绕2周圆柱装饰带），发展创新意识与空间观念|

八年级上册数学 1.3 勾股定理的应用 同步练习 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 北师大版 · 满分 100 分 · 建议用时 45 分钟 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．一辆配送车从仓库出发，先向东行驶 6 km，再向北行驶 8 km。若可沿直线返回仓库，则最短返回路程为（　　） A．8 km B．10 km C．12 km D．14 km 2．某校园有一块长方形草坪，长 12 m、宽 5 m。小明从草坪的一个顶点到对角顶点，若沿草坪边缘走需 17 m，改走连接两点的直线路径，则可以少走（　　） A．2 m B．4 m C．6 m D．8 m 3．如图，将一根长 20 cm 的细木棒放入长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、12 cm 的无盖长方体盒中。细木棒露在盒外的部分最短为（　　） A．5 cm B．7 cm C．8 cm D．13 cm 4．等腰三角形的一腰长为 13 cm，底边长为 10 cm，则这个三角形的面积为（　　） A．30 cm² B．60 cm² C．65 cm² D．120 cm² 5．一个长方体的长、宽、高分别为 6 cm、6 cm、7 cm，则一条体对角线的长为（　　） A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．13 cm 6．一个圆柱的底面周长为 8 cm，高为 6 cm。一条细线从圆柱底面圆周上一点出发，沿侧面绕圆柱 1 周到达正上方对应点。将侧面展开后，细线的最短长度为（　　） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm 7．一根旗杆上的绳子比旗杆长 1 m。把绳子下端从旗杆脚水平拉开 5 m 后，绳子恰好拉直，则旗杆高为（　　） A．10 m B．12 m C．13 m D．15 m 8．如图，∠AOB=90°，OA=36 m，OB=12 m。甲球从 A 沿 AO 向 O 匀速运动，乙球同时从 B 沿直线 BC 匀速运动，两球速度相同并恰好在 C 点相遇，则乙球运动的路程 BC 为（　　） A．16 m B．18 m C．20 m D．24 m 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 9．在平面直角坐标系中，点 A（1，2）、B（7，10）之间的距离 AB=________。 10．一根长 13 m 的竹竿斜靠在竖直墙面上，竹竿底端离墙脚 5 m，则竹竿顶端离地面的高度为________m。 11．一个直角三角形花坛的斜边长为 25 m，一条直角边长为 7 m，则另一条直角边长为________m。 12．一扇长方形门的高为 2.4 m，宽为 0.7 m，则门框一条对角线的长为________m。 13．在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则点 A 到边 BC 的距离为________。 三、解答题（共 56 分） 14．（10 分）如图，小明站在距教学楼 5 m 的 D 处，将无人机从与眼睛等高的 C 点沿直线飞到楼顶 A。已知 AC=13 m，小明眼睛离地 CD=1.6 m，且 CD⊥BD，AB⊥BD。 （1）求 AE 的长； （2）求教学楼 AB 的高度。 15．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9 cm，BC=12 cm。将直角边 AC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处。 （1）求斜边 AB 的长； （2）求 CD 的长。 16．（12 分）如图，一个长方体的长、宽、高分别为 6 cm、4 cm、3 cm，一只蚂蚁从顶点 A 沿长方体表面爬到与 A 相对的顶点 B。 （1）将蚂蚁经过的两个相邻面展开为一个长方形，写出三种不同的长、宽组合； （2）分别求三种展开方式中 A、B 间的最短距离； （3）确定蚂蚁沿长方体表面从 A 到 B 的最短路程。 17．（12 分）如图，铁路上 A、B 两点相距 25 km，村庄 D、C 位于铁路同一侧，且 DA⊥AB，CB⊥AB，DA=15 km，CB=10 km。现要在铁路 AB 上建收购站 E，使 DE=CE。 （1）设 AE=x km，用含 x 的式子分别表示 DE²、CE²； （2）求 AE 的长，并说明点 E 是否在线段 AB 上。 18．（12 分）如图，一架长 13 m 的梯子斜靠在竖直墙面上，最初梯脚 B 距墙脚 A 5 m。后来梯子顶端沿墙下滑 4 m 到另一位置，梯子长度不变。 （1）求梯子顶端最初离地面的高度； （2）求下滑后梯脚到墙脚的距离； （3）梯子顶端下滑 4 m 时，梯脚是否也恰好水平滑动 4 m？请通过计算说明。 四、附加拓展题（选做，不计入总分） 19．【探究规律】依次作直角三角形：第 1 个直角三角形的两直角边长均为 1；从第 2 个开始，每个新直角三角形的一条直角边长为 1，另一条直角边等于前一个直角三角形的斜边。求第 1、2、3、4 个直角三角形的斜边长，并写出第 n 个斜边长。 20．【开放应用】某圆柱形展台的底面周长为 18 m，高为 8 m。装饰带从底面圆周上一点出发，沿侧面绕展台 2 周，到达该点正上方的顶部位置。 （1）画出圆柱侧面展开后的示意图，并标出与装饰带最短路线对应的线段； （2）求装饰带的最短长度； （3）若每米装饰带 25 元，按最短长度购买至少需要多少元？ 参考答案与详细解答 一、选择题 1．答案：B 配送车向东、向北的路程互相垂直，直线返回路程为 √(6²+8²)=√100=10（km）。 2．答案：B 长方形草坪的对角线长为 √(12²+5²)=√169=13（m）。沿边缘走 17 m，走对角线为 13 m，因此可以少走 17-13=4（m）。 3．答案：B 盒内能容纳的最长线段是长方体的体对角线。先求底面对角线 √(4²+3²)=5（cm），再求体对角线 √(5²+12²)=13（cm）。所以露在盒外的部分最短为 20-13=7（cm）。 4．答案：B 底边上的高平分底边，半底边长为 5 cm。高为 √(13²-5²)=√144=12（cm），面积为 10×12÷2=60（cm²）。 5．答案：C 体对角线长为 √(6²+6²+7²)=√121=11（cm）。 6．答案：B 把圆柱侧面展开成长方形，长为底面周长 8 cm，宽为高 6 cm。细线最短长度为 √(8²+6²)=10（cm）。 7．答案：B 设旗杆高为 h m，则绳长为 h+1 m。由勾股定理得 h²+5²=(h+1)²，解得 h=12。 8．答案：C 设 OC=x m。因为两球速度相同、运动时间相同，所以 AC=BC，即 36-x=BC。在 Rt△BOC 中，BC²=x²+12²。因此 (36-x)²=x²+144，解得 x=16，从而 BC=36-16=20（m）。 二、填空题 9．答案：10。两点的横向距离为 7-1=6，纵向距离为 10-2=8，因此 AB=√(6²+8²)=10。 10．答案：12。墙、地面与竹竿组成直角三角形，高为 √(13²-5²)=√144=12（m）。 11．答案：24。另一条直角边为 √(25²-7²)=√576=24（m）。 12．答案：2.5。门框对角线长为 √(2.4²+0.7²)=√6.25=2.5（m）。 13．答案：8。底边上的高平分 BC，所以半底边为 6。所求距离为 √(10²-6²)=8。 三、解答题 14．解： （1）由题意，CE∥BD，所以 CE=BD=5 m，且 AE⊥CE。在 Rt△ACE 中，AC=13 m，CE=5 m。 AE=√(AC²-CE²)=√(13²-5²)=√144=12（m）。 （2）四边形 CDBE 为长方形，所以 BE=CD=1.6 m。 因此 AB=AE+BE=12+1.6=13.6（m）。答：教学楼高 13.6 m。 15．解： （1）在 Rt△ABC 中，AB=√(AC²+BC²)=√(9²+12²)=15（cm）。 （2）由折叠可知 AE=AC=9 cm，DE=DC。于是 BE=AB-AE=15-9=6（cm）。 以 C 为原点，CB 所在直线为 x 轴，CA 所在直线为 y 轴，则 C（0，0），B（12，0），A（0，9）。设 CD=x cm，则 D（x，0）。因为 AE∶AB=9∶15=3∶5，所以 E（7.2，3.6）。由折叠可知 DE=DC=x，因此 x²=(x-7.2)²+3.6²。化简得 14.4x=64.8，解得 x=4.5。答：CD=4.5 cm。 16．解： （1）把相邻两面展开，三种长、宽组合分别为：10 cm 与 3 cm；9 cm 与 4 cm；7 cm 与 6 cm。 （2）对应的最短距离分别为： √(10²+3²)=√109（cm）；√(9²+4²)=√97（cm）；√(7²+6²)=√85（cm）。 （3）因为 85<97<109，所以 √85<√97<√109。故蚂蚁沿表面爬行的最短路程为 √85 cm。 17．解： （1）设 AE=x km，则 BE=25-x km。 在 Rt△ADE 中，DE²=AD²+AE²=15²+x²=x²+225； 在 Rt△BCE 中，CE²=BC²+BE²=10²+(25-x)²。 （2）因为 DE=CE，所以 DE²=CE²。 x²+225=(25-x)²+100。 化简：x²+225=625-50x+x²+100，得 50x=500，所以 x=10。 因为 0<10<25，所以点 E 在线段 AB 上。答：AE=10 km。 18．解： （1）梯子长 13 m，最初梯脚距墙 5 m。设梯顶高度为 h m，则 h=√(13²-5²)=√144=12。答：最初梯顶离地 12 m。 （2）梯顶下滑 4 m 后，高度变为 12-4=8（m）。设此时梯脚到墙脚的距离为 x m，则 x=√(13²-8²)=√105（m）。 （3）梯脚水平滑动的距离为 √105-5（m）。因为 √105≈10.25，所以 √105-5≈5.25（m），不等于 4 m。 答：梯顶下滑 4 m 时，梯脚并不是水平滑动 4 m。 四、附加拓展题 19．解：第 1 个斜边长为 √(1²+1²)=√2；第 2 个斜边长为 √[(√2)²+1²]=√3；依次得到第 3、4 个斜边长分别为 2、√5。 一般地，若第 n 个斜边长为 cₙ，则 cₙ²=cₙ₋₁²+1，且 c₁²=2，所以 cₙ²=n+1，故 cₙ=√(n+1)。 20．解： （1）把圆柱侧面展开。绕 2 周后，展开图中水平方向的总长度为 2×18=36（m），竖直方向为 8 m；装饰带最短路线就是这个长方形的对角线。 （2）最短长度为 √(36²+8²)=√1360=4√85（m）。 （3）至少需要 25×4√85=100√85（元），约为 922 元（按实际购买计价规则可向上取整）。 汪老师编写 · 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $