周测01 勾股定理及其逆定理 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷聚焦勾股定理及其逆定理，通过梯子靠墙、绿化带捷径等8类现实情境题，融合《周髀算经》文化素材与赵爽弦图探究，实现基础计算、规律探究及综合应用的梯度考查，适配八年级周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|逆定理判断、实际应用（如学生靠墙开灯）|情境真实（如正方形地砖三角形判断）| |填空题|6/18|圆柱表面路径、勾股数规律（罗士琳法则）|跨学科（石柱云纹路径）与文化渗透| |解答题|6/58|四边形面积、秋千绳索计算、等直三角形定义应用|探究性（勾股数公式推导）与思想性（总统证法证明勾股定理）|

2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测01 勾股定理及其逆定理 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 3．（25-26八年级下·四川广安·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 7．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【分析】过点C作于点E，利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A距地面的高度为米，人高米， 如图②，过点C作于点E，则人离墙的距离为，则米， ∴（米）， 当人离传感器A的距离米时，灯发光， 在中，根据勾股定理可得，米， 故一个身高1.5米的学生要走到离墙4米远的地方灯刚好发光 8．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中）已知直角三角形两条直角边长分别为8和15，该三角形斜边长度为__________． 【答案】17 【详解】解：由勾股定理得该三角形斜边长度为． 10．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 12．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 【详解】 ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 13．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 14．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴；………………3分 （2）解：∵， ∴，………………5分 ∴， ∴，………………6分 ∴ ．………………8分 16．（8分）（25-26八年级上·甘肃·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ，………………2分 设，则， 在中，，，，，………………4分 由勾股定理得， 即，………………6分 解得， 故绳索的长为．………………8分 17．（8分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，，………………2分 ∴， ∴是直角三角形，且，………………4分 ∴， 在中，，………………6分 ∴．………………8分 18．（10分）（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形；………………3分 （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形，………………5分 ∴，………………6分 设，则， 在中，根据勾股定理得，………………8分 解得， ∴．………………10分 19．（12分）（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，；………………2分 （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦；………………6分 （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股；………………10分 （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=．……………12分 20．（12分）（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)CH＝8 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即；………………4分 （2）解：设， ， 在中，，即，………………6分 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米；………………8分 （3）解：设，则， 在中，， 在中，， ，即，………………10分 解得， ．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测01 勾股定理及其逆定理 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 3．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0．3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【答案】D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出直角顶点，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵， ∴根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，， ∵三角形内角和为， ∴． 6．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 8．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，正确识别直角三角形的斜边是解题关键，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边是斜边， 根据勾股定理得， 将，代入得：． 9．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（9分）（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 【答案】(1)2.94 (2)3.5 (3)1.68 【分析】（1）根据三角形面积计算即可． （2）根据勾股定理计算即可． （3）根据三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：．…………2分 （2）解：∵在中，， ∴．…………5分 （3）解：∵， ∴， ∴．…………9分 12．（10分）（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接，…………2分 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得，…………4分 ，，， ，解得，…………6分 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为．…………9分 13．（12分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：，…………2分 且，…………4分 ， ．…………5分 （2）解：由题意设， ， ．…………6分 ， ． 在中， …………8分 在中， ，…………9分 解得，…………10分 ， ． ．…………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测01勾股定理及其逆定理 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下·云南玉溪期中)一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是 () A.15 B.8 C.6 D.4 2.(25-26八年级下·浙江台州期末)《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅 相去适一丈.问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽 各是多少？(1丈=10尺)如果我们假设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为() A.x2+(10-x)}=6 B.x+(x+6)}=102 C.x+102=(x+6 D.x+6=(10-x2 3.(25-26八年级下·甘肃庆阳期末)如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C 的面积为() A B A.1 B.5 C.7 D.25 4.(25-26八年级上河南南阳期末)下列各组数据是勾股数的是() 111 A.0.30.40.5 B.6810 C.91625 D.121620 5.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)在△ABC中，若AC2+AB=BC2,则∠B+∠C的度数为() 114 A.30° B.45° C.60° D.90 6.(25-26八年级下·贵州遵义·期中)如图，A,B两点相距26m,机器狗由A点出发，沿北偏东70°方向 行走24m到达C点，然后从C点行走l0m到达B点，此时机器狗位于C点的() 北 北 B 上东 A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26八年级下·云南曲靖期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,AB= 8.(25-26八年级上浙江湖州阶段检测)在△ABC中，已知∠B=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是 a,b,c,且a=5,b=l2,则c的长为 9.(25-26八年级下·甘肃临夏期中)若7,24，x是一组勾股数，则x的值为 10.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，在△ABC中，点D在AC边上，BEI‖lAC,DE交AB于点 M.若点M是AB边的中点，，AC=16,BC=12,AB=20,则四边形BCDE的面积等于 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(9分)(25-26八年级下河南安阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,点D为垂足， AC=2.1,BC=2.8.求： B 214 (I)△ABC的面积： (2)斜边AB的长： (3)斜边AB上的高CD的长. 12.(10分)(25-26七年级上山东烟台期中)如图，有一块四边形草地ABCD,其中∠B=∠D=90°， AB=15m,BC=20m,CD=7m,求这块草地的面积. B 13.(12分)(25-26七年级下·云南昭通期中)赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时 提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期.图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长 都为a,较长的直角边长都为b,斜边长都为C,大正方形的面积可以表示为c,也可以表示为 4×ab+(口-b,由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为ab,斜边长为c, 则a2+b2=c2. D b 图① A图②B K图③ (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90°，请你利用图② 推导勾股定理。 (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积.如图③， 己知△HMN中，HM=13,MN=15,HN=14,作MK⊥HN,就可以计算出△HMN的面积.请你完善 解答过程，求出△HMN的面积. 314 4/42026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测01勾股定理及其逆定理 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级上广东茂名期中)如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的 底部B到墙底端C的距离为l.5m,则梯子的顶端距地面为() A.1.5m B1.8m C.2m D.2.5m 2.(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正 方形，以BC为边向外作面积为125的正方形，则AB=() C 125 100 B A.5 B.10 C.15 D.25 3.(25-26八年级下·四川广安·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的 数学著作《周髀算经》中，如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走 “捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了()m路，却踩伤了花草 路 3m 4-4m A.1 B.5 C.2 D.7 117 4.(25-26八年级下·福建厦门期末)以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是() A.2,2,2 B.3,4,5 C.3,5,7 D.4,4,5 5.(25-26八年级上：河南郑州期中)如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构 成一个三角形，则这个三角形是() B A,直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 6.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，公园里有一块草坪，已知AB=3米，BC=4米， CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC,这块草坪的面积是() D A.24平方米 B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 7.(25-26八年级下·甘肃庆阳·期末)如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙 上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5米的学生要走到离 墙多远的地方灯刚好发光？() 4.5m 4.5m 图① 图② A.4米 B.3米 C.5米 D.7米 8.(25-26八年级下·北京期中)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,E为线段BD上一动 点，F为边AB上一动点，若AB=5,BD=4,AD=DC=3,则AE+EF的最小值为() 217 E B 24 A.4 B.6 C.10 D.5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26八年级下·新疆昌吉·期中)已知直角三角形两条直角边长分别为8和15，该三角形斜边长度为- 10.(25-26八年级上河南南阳期末)如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有 一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C,B为AC的中点），石柱 刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为米. 11.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.由此法则 写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…根据上述规 律，写出第⑤组勾股数为一 12.(25-26八年级下·四川南充期末)一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口0出发，如图所示， 轮船从港口O沿北偏东30°的方向行30海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40海 里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船从港口O出发的方向为一 317 北 B 13.(25-26八年级下·甘肃平凉期末)某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走 的路径，机器人从点P处先往西走l3m,又往北走4m,遇到障碍后又往东走6m,再转向北走8m后 往西拐.走了2m就到达点Q,则P、Q两点之间的距离为_m. 8m 6m 4m 13m 14.(25-26八年级上：广东茂名·期中)如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，己知位于中间的正方形 的面积为，两边的正方形面积分别是， 5,,则+8= S2 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分)(25-26八年级下·北京期中)如图，在四边形ABCD中， AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,∠B=90°. 417 (I)连接AC,求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积 16.(8分)(25-26八年级上甘肃期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代 数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着 人们，更因为应用广泛而使人入迷， 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推2m至C处时，即 水平距离CD=2m,踏板离地的垂直高度CF=1.5m,它的绳索始终拉直，求绳索AC的长， 17.(8分)(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，△ABC是王奶奶家的一块菜地，中间用小路AD隔 开，分别种植不同的蔬菜，经测量，AB=25m,AC=17m,AD=15m,CD=8m.求△ABD区域 的面积.（小路AD的宽度忽略不计） 18.(10分)(25-26八年级下·江西抚州期中)定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为 两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线 段叫做这个三角形的等直分割线段.例如：如图1，在△ABC中，：AD⊥BC于D,且AD=DC, △ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段. 517 D D 图1 图2 (I)定义理解：直角三角形一定 等直三角形（填“是”或“不是”）： (2)定义应用：如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的等直分割线段，AC=4,BC=8,求 AD的长 19.(12分)(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期 的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的 直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”，值得自豪的是，世界上第一次 给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中. 【探究1】 观察345).(5,12,13)（亿，24,25） ,可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 并且匀为3时服4=×0-)，弦5-×9+)：勾为5时服12=×25-)，弦13=×25+)：请 1 仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股24= 一，弦25= (2)如果用n(n≥3，且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股= ，弦 【探究2】 观察68,10），（&，15,17）.（0,24,26)(ab,82 ,…,可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 6起也没有间断过. 3)a=」 b= 4)如果用2m(为正整数且m≥3)表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股= 弦= 20.(12分)(25-26八年级下·广东广州阶段检测)【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个 直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为C),大正方形的面积可以 617 表示为。，他可以表示为4×b+(口-b,由此推导出重要的匀服定理：如果直角二角形两条直角边 长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. A/H b 个 E 图① 图② 图③ (I)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：一，也 可以表示为： 一，由此可以推出a2+b2=c2: (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点AB, AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取 水点H(AH、B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH1AB.测得CH=0.8千米， HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ )【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法.他是这样思考的， 在第(2)问中若AB≠AC时，'CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB=21,设AH=x,可以求CH的值， 请帮小明写出求CH详细完整的过程， 7/7