阶段检测1 勾股定理及其逆定理（1.1～1.2）第一周周末作业 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理及其逆定理，通过基础巩固、情境应用、拓展探究三层设计，实现从概念辨析到综合运用的知识进阶，适配周测学情检测需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数判断、直角三角形判定、简单计算|以选择/填空题为主，如勾股数辨析（第1题）、直角三角形边长计算（第3题），强化概念理解与基本运算能力| |中档|实际情境应用、综合计算|结合《九章算术》木柱问题（第5题）、荷花倾斜问题（第4题），培养几何直观与模型意识，提升知识迁移能力| |提升|规律探究、跨知识整合|通过赵爽弦图面积计算（第7题）、勾股树规律总结（第10题），发展推理能力与创新意识，深化知识综合运用|

· 阶段检测1 勾股定理及其逆定理（1.1~1.2） · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一周周末作业 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．3，4，5 D．5，12，11 2．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在中，，，，则以为边的正方形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 4．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 5．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，根据勾股定理，可以列出方程（   ） A． B． C． D． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 7．我国汉代数学家赵爽验证勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．48 B．96 C．24 D．20 8．如图，四边形中，，且，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 9．如图所示，已知在中，平分，平分，且交于，若，则的值是（   ） A．25 B．64 C．81 D．144 10．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在中，． （1）若，则_______； （2）若，则_______； （3）若，则_______． 12．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 13．如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则__________． 14．如图，中，，点是上的点，若，，则的值为______．    15．在中，，若点P在边上移动，则的最小值是_______． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 17．如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 18．如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 20．（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C C A B D B B 1．C 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，利用勾股数定义进行判断即可． 【详解】解：A、，2，3，5不是勾股数，故不符合题意； B、，则7，8，9不是勾股数，故不符合题意； C、，则3，4，5是勾股数，故符合题意； D、，则5，12，11不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．∵，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意； B．∵，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查勾股定理，能运用勾股定理求边长是解题的关键. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴以为边的正方形的周长是， 故选C. 4．C 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，可列方程为． 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式的应用，由勾股定理可得，由完全平方公式可得，求出，即可得解． 【详解】解：由图可得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立等式，结合，得到的值，利用，即可解题． 【详解】解：记交于点，如图所示： ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定，根据角平分线的定义得出，然后由勾股定理得出，即可得解，证明是解此题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，，即， ，平分，平分， ，， ， ， 由勾股定理得：， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 11． 5 6 13 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，弄清楚直角边和斜边成为解题的关键． （1）（2）（3）直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，． （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则． 故答案为：5，6，13． 12．4.2 【分析】设尺，则尺，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案. 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴折断处离地面的高度是尺. 13．4 【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．由勾股定理得出，得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理分别求出与，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理得，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，三角形的面积公式等，掌握垂线段最短是解题的关键． 由题意知：当时，最小，过A点作，根据等腰三角形底边三线合一的性质求出长，再利用等面积转换列出等式即可求解． 【详解】解：由题意知：当时，最小， 如图：过A点作， 又， , 由勾股定理得：, , 即, ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 18．(1) 解：为直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴根据勾股定理得：， 在中，， ∴为直角三角形． (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理：解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先求出，再根据，得出结论即可； （2）代入数据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 19．(1)米 (2)他应该放出8米 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理可得：放出后米，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴根据勾股定理可得（米）， 由题可知，米， ∴米； （2）解：根据勾股定理可得：放出后（米）， 即他应该放出8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 20．（1）；（2），； （3）证明：在图4中， 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简得：． （4） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）图二：； 图三：； 故答案为：，； （3）略 （4）在中， ， ∴由勾股定理，得：， ， ， ， ． 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $