周末学情自测05 二次根式 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式核心知识，融合生活情境与规律探究，梯度设计适配八年级周测需求，通过实际问题与创新定义考查运算能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|最简二次根式、二次根式计算、数轴与二次根式化简|结合几何图形（如等腰直角三角形面积）考查空间观念| |填空题|6/18|二次根式运算、规律探究（如根式化简规律）、网格中线段长度计算|通过正方形面积关联考查模型意识| |解答题|6/58|二次根式混合运算、代数式求值、实际应用（风筝高度测量、文化长廊面积计算）、新知探究（算术与几何平均数）|以生活情境（风筝放飞、长廊刷涂料）考查应用意识，通过新定义运算与规律探究发展创新意识|

2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测05 二次根式 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义以及实数的混合运算，根据对应运算法则逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：、表示的算术平方根，算术平方根为非负数， ∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意； 、根据立方根的性质，负数的立方根是负数， ∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西安康·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，此项不是最简二次根式； B、，此项不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，此项不是最简二次根式． 3．（25-26七年级下·云南昭通·期中）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 5．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1．5 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可． 【详解】解：在中，， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）新定义运算：，，是任意实数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可得，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，故该选项错误，不符合题意； B、，与不一定相等，故该选项错误，不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； D、∵，， ∴两式不相等，故该选项错误，不符合题意． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是________． 【答案】 【分析】化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 10．（25-26八年级下·广东广州·期末）正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，，， ． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）若，则代数式的值为 __________ ． 【答案】 【详解】解： ， 当时，原式 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（26-27八年级上·四川达州·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平方差公式和完全平方公式展开，去括号合并常数项化简； （2）根据二次根式乘除法则分别计算，分式部分先化简分子根式再约分，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ．……………………4分 （2）解：原式 ．……………………4分 16．（8分）（25-26八年级下·天津北辰·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴；……………………4分 （2）解：∵，， ∴， ∴……………………8分 17．（8分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 ……………………2分 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米；……………………4分 （2）解：……………………6分 （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米．……………………8分 18．（10分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.7米． (1)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度的长； (2)若风筝沿方向下降了12米到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】(1)21.7米 (2)8米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）设此时风筝下降到点M，勾股定理求出的长，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得，（米），……………………2分 （米）， 答：风筝的高度CE为21.7米；……………………4分 （2）解：设此时风筝下降到点M， 由题意得，（米），……………………6分 在中，由勾股定理得，（米），……………………8分 （米）， 答：此时要回收8米的风筝线．……………………10分 19．（12分）（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较与的大小 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：；……………………2分 （2）解：，……………………4分 ……………………6分 ∵ ∴ ∴……………………8分 （3）解： ……………………10分 ∴ ……………………11分 ∴ ．……………………12分 20．（12分）（25-26八年级下·江苏扬州·期末）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： 、的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的______； ②根据表格，猜想与的大小关系（     ） A． B． C． D． ③当、满足条件：_________时，； (2)【理解应用】 ①已知，当_______时，代数式取得最大值是________． ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①； ②C； ③； (2)①；．② 【分析】（1）①由，再代入计算即可； ②由表格信息总结归纳可得答案； ③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值； ②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①；……………………1分 ②当，时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，……………………3分 ③当时，，， ∴当，满足条件时，；……………………5分 （2）解：①∵， ∴，， ∴结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ∴，……………………6分 最大值为；……………………8分 ②在中，，， ∴， ∴，……………………9分 ∴当最大，则最大， ∵，结合（1）中结论可得，，……………………10分 ∴当时，最大，最大值为， 此时，， ∴周长的最大值为：．……………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测05二次根式 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26七年级下·山东德州期中)下列计算正确的是() 11 A.V25=±5 82 c.20-o=10 D.4-5=1 2.(25-26八年级下·陕西安康·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 1 A.-V5 B.V0.2 C.6 D.万 3。（25-26七年级下云南昭通期中)若2 是整数，则正整数“的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.12 4。(25-26八年级下安微合肥阶段检测D在1BC中，8C=5,若4BC的面积为55，则8C边上的 高为() A.0 B.2V1ò D25 5.(25-26八年级下内蒙古兴安期末)实数a在数轴上的位置如图所示，化简a-l+V(a-2=（) a 0 2+ A.2a-3 B.1 C.-3 D.-1 6.(25-26八年级下广东广州期末)如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 AB=3 则图中阴影部分的面积为(） 115 A.1.5 B.2 C.3 D23 7.(2526人年级下浙江丽水期末)新定义运算：a*6=V匠+F,“,力是任意实数，则下列结论正 确的是() A.3*5=34 B.2*a=2a C.a*b=b*a D.2*(a+b)=2*a+2*b &。(2526八年级下河南安阳期未)如图，正方形4,8，C的边长分别为2+5,1和2-万 ,则图中 阴影部分的面积为() A B A.6+22 B,V2+4 C.6-42 D.5V2-3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)计算 2W18-V32 的结果是 10.(25-26八年级下广东广州期末)正方形的边长为a,它的面积与一个长为12、宽为4的长方形的面 积相等，则a的值为一· 1.(25-26八年级下广东广州期末)已知x=V6+1,y=V6- ,则代数式+少+2灯的值等于 12.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、 AB C都在格点上，则c的值为 215 13,(2526七年级下四川达州期末)若x=6-反，则代数式6-+(+5(x-5)的值为 456大个级术东台集本小百资数学想时，发现5.2写-2得 4 b b 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分)(26-27八年级上四川达州开学考试)计算： )2w5-7)25+7)-(5-3: aDx厚而+ss 2 16.(8分)(25：26八年级下天津北辰期中)已知：a=5-?,6=5+2 分别求下列代数式的值： I)(a+B) ②ab-ab 17.(8分)(25-26八年级下陕西商洛期中)实验中学有一块长方形的文化长廊ABCD(如图)，该文 化长廊的长AB为55+2)m,宽4D为4m,现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，辰台 的边长为(Ni⑧-V3)m 除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料· 315 A B 展舍 D C ()这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 18.(10分)(25-26八年级下·辽宁抚顺期末)假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段BC),勘测 组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离BD的长为15米， 风筝线BC的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离BA的长为1.7米. (I)根据测量所得数据，求风筝离地面的垂直高度CE的长； (2)若风筝沿CE方向下降了12米到达点M,BD的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 1 19.(12分)(25-26八年级下山东德州期末)已知a=2+V5,求2a-8a+1的值.小明是这样解答的： 因为25B同2-5，m以-25 1 2-5 所以a-2y=3,即a2-4a+4=3,所以a2-4a=-l 所以2a-8a+1=2(g2-4a)+1=2x(-1)+1=-1 请根据小明的解答过程，解决下列问题： 1 0)化简：2+1 (2)比较 10-V9与9-的大小 415 1 3)若3+2V5,求3a2-18a+1的值. 20.(12分)(25-26八年级下江苏扬州期末)按要求解答问题： (1)【新知探究】 a+b 对于正数a、b,我们称2为a、b的算术平均数，称√ab为a、b的几何平均数.请观察下面的 表格，并解答下面的问题： a+b a、b的值 ab 2的值 的值 a=2.b=8 5 4 a=4.b=4 × a=6,b=2 m a=5,b=1 J √5 ①表格中的m= ②根据表格，猜想a+b与2Va品】 的大小关系() A a+b>2B.a+b<2画c.a+b≥2励D.a+bs2面 ③当a、b满足条件： 时，a2+b2=2ab: (2)【理解应用】 ①己知6<x<16,当=时，代数式红-616-取得最大值是 ②如图，己知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8,求△ABC周长的最大值. B 5152026-2027学年度北师大版数学八年级上册周测 周测05二次根式 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级上河南南阳期末)下列属于最简二次根式的是() A.10 B.√12 c.V2 D.迈 2.(2026山东青岛中考真题)下列计算正确的是() A.V4=±2 而-5 B.2 C.3+V5=3V5 D.6x5=50 3.(25-26八年级下·云南玉溪期中)一个三角形的三条边长分别为， 为，5,2，这个三角形的面积为 () 5 A.2 B.1 C.5 D.25 4.(25-26八年级下·云南红河期末)在如图所示的网格中，小正方形的边长为2，A,B,C三点均在 正方形的顶点上，则下列结论不正确的是() B A.AC⊥AB 的周长为10+65 B.△AB 1/4 C.A到直线BC的距离为4 D.BC=2AC 5.(25-26八年级下·广东江门期末)如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为27cm和75cm的两 个小正方形，则剩下部分的面积为() 27 75 A.48cm2 B.78cm2 C.90cm2 D.102cm2 1 6(2526八年级F新蛋哈密期中)已知45+2，b=V及-5，则a与力的关系是《) A.a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(2526八年级下天津和平期未)计算N7+22-V7)的结哭为 8.(25-26七年级下四川绵阳阶段检测)若3-a+b-5+c+2=0,则代数式b+e= 9.(25-26八年级下辽宁辽阳期末)对于任意两个正数a、b,新定义一种运算“⑧”如下， a⑧b=V√a×Vb2⑧6= ,则 10.(2026广东广州·中考真题)我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜 求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系.其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为 a'b'c(a≥b2c)面积为s’则2 。+-B=Vc-4灯.已知一个三角形的最长边是7：最短边 是，面积是6，那么它的第三边长为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 214 11.(8分)(25-26七年级下河南开封期末)计算： 4v25-(-2}2+/27 ②9+-2+8-22 12.(8分)(25-26八年级下·吉林四平·期末)有一块长方形木板ABCD,木工甲采用如图的方式，将木 板的长4D增加5cm,宽4B增加63cm,得到一个面积为l147cm的正方形4EFG G (I)正方形AEFG的边长为cm;(填最简二次根式) 2)求长方形木板ABCD的面积. 13.(14分)(25-26九年级下·山东淄博·期末)阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的 式子可以化成另一式子的平方.如：5+26=(2+3)+22x3-(2)+(5+22×V5=(2+, 7+210=(2+5)+22x5=(2)+(5+22×5=(2+5 (1)填空： 4-25=1+3)-2x3=P+(☐-2x1x5=(-5, 3+2√40 (2)请你仿照小明的方法化简 【拓展提升】 3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面积分别为 5cm'和（32-6⑤)cm,求剩余部分的面积。 314 t/t N a H 2026-2027学年度北师大版数学八年级上册 周测 周测05 二次根式 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 2．（2026·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵与不能合并，， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，斜边长为，两条直角边长分别为，， ∴面积为． 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，，然后逐项进行验证即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， ， ∵， ∴为直角三角形，， ∴，故A正确，不符合题意； 的周长为，故B正确，不符合题意； 设点A到的距离为h，则， 即， 解得：， 即点A到的距离为4，故C正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故D错误，符合题意． 5．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 6．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26八年级下·天津和平·期末）计算的结果为__________________ ． 【答案】 【分析】观察式子符合平方差公式的形式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）若，则代数式______． 【答案】 【分析】几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出，，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵ 算术平方根、平方数、绝对值都是非负数，且 ∴ 每个非负数都等于，可得： ，解得 ，解得 ，解得 将，，代入得： 9．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 10．（2026·广东广州·中考真题）我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 【答案】 【分析】根据，确定最长边，最短边，所求第三边为，将已知条件代入给定公式求解，舍去负根即可． 【详解】解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26七年级下·河南开封·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式；………………4分 （2）解：原式 ．………………4分 12．（8分）（25-26八年级下·吉林四平·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为_____；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积． 【答案】(1) (2)长方形木板的面积为 【详解】（1）解：由题意，∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为，………………2分 （2）解：由题意得， ∴， ………………4分 ， ………………6分 ． 答：长方形木板的面积为．………………8分 13．（14分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)； (2)见详解 (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解：………………4分 （2）………………8分 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，，………………10分 ∴，，………………12分 剩余部分的面积为：．………………14分 / 学科网（北京）股份有限公司 $