1.2 集合间的基本关系（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理空集、Venn图、子集、真子集、集合相等的概念及传递性，结合子集个数公式，构建从基础概念到题型应用的学习支架，覆盖判断包含关系、求子集等六大核心题型。 资料以数学眼光通过Venn图和表格直观呈现知识，用数学思维指导解题方法如有限集列举、数轴分析，通过例题与分层练习培养数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升集合问题解决能力。

1.2 集合间的基本关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空集： 定义 不含任何元素___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集___ 2．Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把__元素____写在封闭曲线的内部． 3．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_子集__ ，记作___ (或__ __)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作_A⫋B__ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 4．传递性 若，，则________；若，，则________. 5．如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为_____，所有非空真子集的个数为________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断两个集合的包含关系 基础知识 核心知识 子集定义若集合中任意一个元素都属于集合则称 真子集定义且存在元素属于但不属于记作 集合相等同时则 符号用于集合与集合之间 用于元素与集合之间两类符号不可混用 方法技巧 有限集合可以列举全部元素逐一比对判断 数集类集合借助数轴画图观察范围 小范围集合是大范围集合的子集 区分子集与真子集真子集要求范围严格更小 做题严格区分和不要写混 典型例题 【例题 1】．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 【例题2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【巩固练习3】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【题型2】 求集合的子集（真子集） 基础知识 核心知识 子集：集合的全部部分元素构成的集合包含空集与集合本身 真子集：集合的子集中去掉集合本身之后剩余集合 空集是任意集合的子集 空集是任意非空集合的真子集 方法技巧 写子集从空集开始书写再依次写单元素集合双元素集合直至全集 写真子集不要把原集合本身写入 列举时按照元素个数由少到多的顺序避免漏写 有限集合列举完成后可以用个数公式检验是否写全 注意不要漏掉空集 典型例题 【例题1】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2) 所有子集有：，，，，，，，. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 【例题2】已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用可求出，再验证合理性，进一步确定值； （2）利用子集的概念作答即可 【详解】（1）因为，且， 所以或，解得或或， 当时，，集合中出现两个0，故舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴实数的取值的集合 （2）因为，所以集合的子集有： 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合 （1）用列举法表示集合； （2）写出集合的所有真子集. 【答案】（1）；（2），，，，，， 【解析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式组即可. （2）根据集合写出真子集即可. 【详解】（1） ①，又因为，所以. ②，又因为，无解. 综上. （2）集合的所有真子集为：，，，，，，. 【点睛】本题第一问考查集合的列举法，第二问考查集合的真子集，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题. 【巩固练习2】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 【巩固练习3】（辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由 ， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【题型3】 求集合的子集，真子集个数 基础知识 核心知识 若一个集合含有个元素 子集个数为 真子集个数为 非空子集个数为 非空真子集个数为 公式只对有限集合生效 方法技巧 先求出集合中元素的真实个数再代入公式 看清题目问的是子集真子集非空子集还是非空真子集 集合内有重复元素要先去重再统计元素个数 无限集合不能使用该套计数公式 选择填空直接套用公式提速大题可以简单说明依据 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 【例题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）满足 条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 【巩固练习3】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【题型4】 空集的概念及其辨析 基础知识 核心知识 空集不含任何元素 空集是任意集合的子集 空集是任意非空集合的真子集 不是空集该集合里面有一个元素为 三者含义互不相同 方法技巧 看到子集类含参题目优先考虑空集情况 区分与与 分清符号与在空集相关题目的使用 条件出现必须先讨论 不要错误认为空集含有数字0 典型例题 【例题1】（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】BCD 【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断 【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：. 【例题2】（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）下列写法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于AB，因为集合中只有一个元素， 所以，，故A错误，B正确； 对于CD，是不含任何元素的集合， 所以，，故CD错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，， ，不是的子集，故ABD错误，C正确. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 【题型5】 方程类的子集关系 基础知识 核心知识 若集合代表集合内所有解全部都是集合的解 集合为方程解集要考虑解集为空集的情况 含参一次二次方程要讨论最高次项系数 二次方程需要结合判别式判断解的情况 方法技巧 优先讨论的情况 对应方程无实数解 二次方程退化为一次方程要单独分类 求出方程的解之后将解代入另一个集合满足条件 得到参数之后一定要回代检验集合是否满足子集关系 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【例题2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【巩固练习2】（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）设集合，，若，则的值为______． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由 可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 【题型6】 不等式类的子集关系 基础知识 核心知识 数集以不等式形式给出代表集合对应的区间完全落在集合区间内部 区间端点要仔细分析注意开闭情况 端点能否取到直接决定参数能否取等号 方法技巧 画出数轴把两个集合对应的区间标在数轴上 子集对应的区间整体被另一个区间包裹 重点检验端点处等号是否成立 含参题目不能漏掉集合为空集的情形 算出参数范围后代回验证端点是否符合题意 典型例题 【例题1】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【例题2】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·全国·单元测试）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】分类讨论与两种情况，利用集合包含关系得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集进行讨论，即可得出实数m的取值范围为． 【详解】解不等式可得， 由可知是的子集， ①当时，， 所以； ②当时，即时， 且， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． 【巩固练习3】（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 3．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由 ，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 4．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 6．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的意义和常用集合的意义逐一判定. 【详解】选项 A：空集 是一个集合，而 是一个数集，因此错误 ,故该选项错误. 选项 B： 满足 ，因此 ，故该选项错误. 选项 C： 满足 ，因此 ，故该选项正确. 选项 D： 表示自然数集（ ），集合 包含非整数元素， 如 （满足 ，故 )，但 ，因此 不是 的子集，故该选项错误. 故选：C 7．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的含义进行判断可得. 【详解】对于A：两个集合不能比较大小关系，只有包含与不包含关系，相等与不相等关系，故A错误； 对于B：集合表示一个包含有序对(1,2)的集合，而是一个包含数字1和2的集合，故不相等，故B错误； 对于C：表示空集，不含任何元素，而表示含有一个元素的集合，故C错误； 对于D：其中表示自然数集（通常包括0），故D正确. 故选：D. 8．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足 B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析可知，集合有且只有个元素，对实数的取值进行分类讨论，当时，直接验证即可；当时，可得出，综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素， 当时，，合乎题意； 当时，则关于的方程有两个相等的实根， 所以，解得. 综上所述，或. 故选：C. 二、多选题 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【分析】先求出集合，再根据分情况讨论集合的情况即可确定的值. 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 11．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 12．（23-24高二上·山西晋中·阶段检测）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 13．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 【答案】或 【分析】首先判断，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】因为或，，且， 显然，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为或. 故答案为：或 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)时，；时， (3)且 【分析】（1）根据条件得，即可求解； （2）分和两种情况，当时，直接求出，当时，根据条件得，即可求解； （3）根据条件得方程有两个不等实数根，即可求解. 【详解】（1）当时，由，即，解得或， 所以，则的所有子集为. （2）时，由，得，此时，符合题意， 时，由，解得， 由，即，解得，此时，符合题意， 故时，；时，. （3）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根， 所以，解得且， 综上，实数的取值范围为且. 16．（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据子集的定义进行求解即可； （2）根据属于关系的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题知，则， 若，则或， 当时，方程无实数解； 当时，，解得:， 此时，，符合题意， 所以m的取值集合为； （2）时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 若，即，无实根，不符合题意． 所以． 17．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． $1.2 集合间的基本关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空集： 定义 不含任何元素___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集___ 2．Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把__元素____写在封闭曲线的内部． 3．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_子集__ ，记作___ (或__ __)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作_A⫋B__ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 4．传递性 若，，则________；若，，则________. 5．如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为_____，所有非空真子集的个数为________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断两个集合的包含关系 基础知识 核心知识 子集定义若集合中任意一个元素都属于集合则称 真子集定义且存在元素属于但不属于记作 集合相等同时则 符号用于集合与集合之间 用于元素与集合之间两类符号不可混用 方法技巧 有限集合可以列举全部元素逐一比对判断 数集类集合借助数轴画图观察范围 小范围集合是大范围集合的子集 区分子集与真子集真子集要求范围严格更小 做题严格区分和不要写混 典型例题 【例题 1】．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 求集合的子集（真子集） 基础知识 核心知识 子集：集合的全部部分元素构成的集合包含空集与集合本身 真子集：集合的子集中去掉集合本身之后剩余集合 空集是任意集合的子集 空集是任意非空集合的真子集 方法技巧 写子集从空集开始书写再依次写单元素集合双元素集合直至全集 写真子集不要把原集合本身写入 列举时按照元素个数由少到多的顺序避免漏写 有限集合列举完成后可以用个数公式检验是否写全 注意不要漏掉空集 典型例题 【例题1】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【例题2】已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合 （1）用列举法表示集合； （2）写出集合的所有真子集. 【巩固练习2】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（辽宁省沈阳市联合体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷）已知集合，写出集合的所有子集． 【题型3】 求集合的子集，真子集个数 基础知识 核心知识 若一个集合含有个元素 子集个数为 真子集个数为 非空子集个数为 非空真子集个数为 公式只对有限集合生效 方法技巧 先求出集合中元素的真实个数再代入公式 看清题目问的是子集真子集非空子集还是非空真子集 集合内有重复元素要先去重再统计元素个数 无限集合不能使用该套计数公式 选择填空直接套用公式提速大题可以简单说明依据 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）满足 条件的集合A的个数为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·湖南·期末）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【巩固练习2】（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【巩固练习3】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【题型4】 空集的概念及其辨析 基础知识 核心知识 空集不含任何元素 空集是任意集合的子集 空集是任意非空集合的真子集 不是空集该集合里面有一个元素为 三者含义互不相同 方法技巧 看到子集类含参题目优先考虑空集情况 区分与与 分清符号与在空集相关题目的使用 条件出现必须先讨论 不要错误认为空集含有数字0 典型例题 【例题1】（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【例题2】（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）下列写法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5】 方程类的子集关系 基础知识 核心知识 若集合代表集合内所有解全部都是集合的解 集合为方程解集要考虑解集为空集的情况 含参一次二次方程要讨论最高次项系数 二次方程需要结合判别式判断解的情况 方法技巧 优先讨论的情况 对应方程无实数解 二次方程退化为一次方程要单独分类 求出方程的解之后将解代入另一个集合满足条件 得到参数之后一定要回代检验集合是否满足子集关系 典型例题 【例题1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【例题2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）设集合，，若，则的值为______． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若 ，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 不等式类的子集关系 基础知识 核心知识 数集以不等式形式给出代表集合对应的区间完全落在集合区间内部 区间端点要仔细分析注意开闭情况 端点能否取到直接决定参数能否取等号 方法技巧 画出数轴把两个集合对应的区间标在数轴上 子集对应的区间整体被另一个区间包裹 重点检验端点处等号是否成立 含参题目不能漏掉集合为空集的情形 算出参数范围后代回验证端点是否符合题意 典型例题 【例题1】（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【例题2】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·全国·单元测试）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 3．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足 B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 11．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 12．（23-24高二上·山西晋中·阶段检测）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 三、填空题 13．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 17．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； $