1.3 集合的基本运算讲义（9个核心题型归纳）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、补集的文字语言、符号语言、图形语言及运算性质，通过Venn图直观呈现集合关系，构建从基础定义到性质再到9类题型（如运算求解、参数范围、容斥原理等）的递进式学习支架。 该资料以知识梳理与题型汇编结合为特色，借助Venn图培养几何直观（数学眼光），通过参数范围问题分类讨论发展逻辑推理（数学思维），用符号与图形语言表达集合关系提升数学表达能力（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后例题与练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.3 集合的基本运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．集合的并集与交集： 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地，由所有属于集合A_或__ 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 ___ (读作“A并B”) _或__         ，，，， 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地，由所有属于集合A_且__属于集合B的元素 组成的集合，称为集合A与B的交集，记作___ (读作“A交B”) ___         ，，，，， 2．补集： 文字语言 对于一个集合A，由全集U中_不属于__集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 =_且__    图形语言     运算性质 ⊆U，=⌀，=U，()=A，A∪()=U，A∩()=⌀ 3．在数学中，经常用平面上封闭曲线的__内部_代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.    题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 交集的概念及运算 基础知识 核心知识 交集定义___     交集取两个集合的公共元素 方法技巧 有限集合直接找出同时属于两个集合的元素 数集运算借助数轴找公共重叠部分 看清条件“且”代表同时满足两个集合约束 数轴重点核对区间端点开闭 交集为空代表两个集合没有公共元素 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则______． 【答案】 【分析】利用集合的交集定义即可求解. 【详解】因或 则 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，，根据交集的定义求解即可． 【详解】集合，，所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合，再由交集得到结论. 【详解】由可得，所以， 则． 故选：C． 【巩固练习2】（24-25高一下·广东汕头·阶段检测）设集合，，则________． 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 【巩固练习3】（24-25高一下·河北保定·阶段检测）（多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 【题型2】 并集的概念及运算 基础知识 核心知识 并集定义_或 并集取两个集合全部元素重复元素只保留一份 方法技巧 有限集合合并元素之后做好去重处理 数集借助数轴把两个集合覆盖全部范围合并 看清条件“或”代表满足任意一个集合约束 注意端点取值不要重复书写 并集运算结果元素不可重复 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（1）已知集合，，求，； （2）已知集合，，求，. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）先用列举法表示出集合A，B，然后根据交集、并集的定义解决问题. （2）根据集合交集、并集运算求解. 【详解】（1）由，得，由，得， 所以，. （2）因为，， 所以. 【巩固练习2】（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 【巩固练习3】（24-25高一下·河北保定·阶段检测）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 【题型3】 补集的概念及运算 基础知识 核心知识 全集包含研究范围内全部元素 补集=_且__    方法技巧 做补集运算首先明确全集 在全集范围内剔除集合的全部元素得到补集 有限集合直接在全集里面划掉中元素 数集借助数轴取全集去掉对应的区间 注意补集永远依托全集脱离全集谈补集没有意义 典型例题 【例题1】（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 【例题2】（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 【巩固练习2】（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由题设，则 ． 故选：A. 【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃定西·开学考试）设集合.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）先求，再结合补集运算求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，则， 所以或. 【题型4】 由venn 图求集合 基础知识 核心知识 Venn图用封闭图形表示集合 图形重叠区域代表交集 图形合并整体区域代表并集 全集方框内部除去对应圆的区域代表补集 方法技巧 分清每一块图形区域对应的集合运算 重叠部分只提取公共元素 分开区块代表互不相交的部分 可以把图中每一块对应元素全部标注 读懂图形再转化成集合表达式 典型例题 【例题1】设全集，，， (1)求；；；. (2)能否根据（1）的结论，猜想与，与的关系？尝试用Venn图进行分析说明. 【答案】(1)或；；；或. (2) 根据（1）的结论，猜想① ，② ， 在韦恩图中，表示集合之外的部分，表示集合之外的部分， 所以表示之外的部分，也就是①图阴影部分，即； 表示既在之外，又在之外的部分，也就是②图中阴影部分，即. ①图   ；②图  . 【分析】（1）根据交集、并集、补集的概念计算；（2）猜想① ，② ，并结合韦恩图中与表示的区域进行说明. 【详解】（1）因为，所以或； 因为，所以； 因为，，所以，， 所以；或. 【例题2】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·阶段检测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析图中阴影部分表示的集合是，再由集合的运算，分别算出对应集合即可得出答案. 【详解】集合 ， ∴图中阴影部分表示的集合为： 故选：B 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北·期中）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【巩固练习3】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 【题型5】 由交集的运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 代表两集合存在公共元素 代表两集合没有公共元素 含参集合需要考虑集合为空集的可能性 数集结合数轴分析区间位置关系 方法技巧 条件为交集为空优先考虑集合为空集情况 画出数轴移动含参区间判断有无重叠 仔细检验端点等号能否成立 求出参数候选范围后回代原题检验 有限集合可以联立方程寻找公共元素 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 【例题2】（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据并集、交集的运算可得结果； （2）根据，分别讨论和的情况得到结果. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 综上所述：的取值范围是或. 【巩固练习2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【详解】（1）当时，又， 所以，； （2）当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用补集的运算求出，从入手求出的范围，再从反面即可求解； （2）从入手，得出，列不等式组求出的范围，再从反面即可求解条件下的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴或． 若，则， 解得：， ∴当时，的取值范围为或． （2）解：若，得， ∴或，得或， ∴当时，的取值范围为． 【题型6】 由并集运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 等价于 等价于 并集等于其中一个集合转化为子集关系解题 子集问题要讨论集合为空集情形 方法技巧 看到优先翻译成 含参集合一定要讨论空集 数轴画出区间满足被包含关系 重点验证端点的等号取舍 参数求出之后带回原式验证并集结果 典型例题 【例题1】（24-25高一上·四川广安·阶段检测）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据B为空集和不为空集，即可根据并集的性质和定义求解. 【详解】当时，集合B为空集，满足题意； 当时，若要满足，必有，所以，故. 综上，实数a的取值范围是． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）解不等式得到，并根据，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由，得，分和，得到不等式，求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，得或． 又，，则． 结合数轴，可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． （2）由，得． 当时，，即，满足． 当时，结合数轴，如图（1）（4），可得或 解得或． 则实数的取值范围是或． 【巩固练习2】（24-25高二下·山东滨州·阶段检测）设集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值集合． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求集合A，再根据并集结果分析运算； （2）由题意分析可得，根据包含关系分析运算. 【详解】（1）由题意可得：， 若，则， 可得，解得， 此时，可得，即符合题意， 故实数a的值为3. （2）由（1）可知， 对于方程，解得或， 若，则， 当时，则，满足，符合题意； 当时，则，可得； 综上所述：或. 故实数a的取值集合为. 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，，，则实数_____，____，_____． 【答案】 6 9 8 【分析】由，可得，可求出，从而可求出集合，再结合可得，所以可得方程有两个相等的根为3，从而可求出 【详解】， 由，解得. 由，解得， 故． 所以方程有两个相等的根为3， 所以，且， 解得，. 综上知，.， 故答案为：6，9，8 【题型7】 由补集的运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 等价于且 补集运算永远不能脱离全集 全集发生改变补集结果随之改变 方法技巧 第一步锁定全集的范围 把补集条件转化为集合的交并条件 数集借助数轴在全集内分析集合区间 参数求解完成要检验元素是否属于全集 避免出现元素超出全集的错误解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 【例题2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【详解】（1）因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. （2）因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 【巩固练习3】（23-24高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【答案】(1)，集合的所有子集为：、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）分析可知，，，求出、的值，可求出集合、，再结合题意进行检验，利用并集的定义可求出集合. 【详解】（1）解：若，， 所以，集合的所有子集为：、、、. （2）解：因为，所以，，因为，所以，， 所以，，解得， 则， ， 所以，，，满足题意， 因此，. 【题型8】 由交并补的混合运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 集合运算优先级没有硬性规定优先算括号内部运算 德摩根定律 混合运算可以借助Venn图拆解区域 方法技巧 有括号先计算括号内集合运算 可以利用德摩根定律转换运算简化题目 Venn图划分区块辅助理解复杂条件 含参问题不要遗漏空集分类讨论 算出参数全部结果后回代检验混合运算结果 典型例题 【例题1】（24-25高一上·广东江门·阶段检测）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】. 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【巩固练习3】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 【题型9】 容斥原理及其应用 基础知识 核心知识 两个集合容斥原理 方法技巧 分清题目已知条件对应公式哪一部分 求总元素数量要减去重复计数部分 Venn图标注每一块区域元素数量辅助列式 实际应用题分清只属于某集合和属于交集的区别 选择填空直接套用公式大题可以结合Venn图说明 典型例题 【例题1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 【例题2】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 【答案】A 【详解】依题意，两类改造均完成的企业数量为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 【巩固练习2】（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）某花店统计了连续三天售出鲜花的种类情况：第一天售出种鲜花，第二天售出种鲜花，第三天售出种鲜花，前两天都售出的鲜花有种，后两天都售出的鲜花有种.则该花店第一天售出但第二天未售出的鲜花有____种，这三天售出的鲜花最少有____种. 【答案】 【分析】设三天都售出的鲜花有种，第一天售出第二天未售出且第三天售出的鲜花有种，作出韦恩图，结合题中数据可得出第一天售出但第二天未售出的鲜花种数，根据题意求出这三天售出的鲜花种数为，求出的取值范围，即可得出结果. 【详解】设三天都售出的鲜花有种，第一天售出第二天未售出且第三天售出的鲜花有种， 则三天售出鲜花的种类关系如图所示. 第一天售出但第二天未售出的鲜花种数有. 这三天售出的鲜花种数有, 由题意得，故当时，取最小值， 所以这三天售出的鲜花最少有种. 故答案为：；. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. 2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【详解】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 5．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 6．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合运算得，然后利用元素与集合的关系列不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 7．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图表示集合运算的意义，结合排除法判断各选项，即可得答案. 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 9．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集， ，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由 ，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 三、填空题 10．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 11．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 12．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 14．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 【答案】,,, ． 【详解】，，， ， ， ，， ， . 16．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，且. (1)求的值及集合； (2)设全集，求； (3)设全集，若非空集合，求出所有集合，并求出所有集合的元素之和的总和. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）利用交集的结果代入方程中求出参数的值及集合； （2）先求出，再根据补集的定义求得； （3）先出两个集合的补集，从而得到，再求出前者的子集后可得元素之和. 【详解】（1）因为，所以， 把代入方程，解得， 当时，方程的解为或， 此时集合，符合， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以， 因为非空集合， 所以可能为， 所以所有集合的元素之和的总和为. 17．集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 18．已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 $1.3 集合的基本运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．集合的并集与交集： 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地，由所有属于集合A_或__ 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 ___ (读作“A并B”) _或__         ，，，， 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地，由所有属于集合A_且__属于集合B的元素 组成的集合，称为集合A与B的交集，记作___ (读作“A交B”) ___         ，，，，， 2．补集： 文字语言 对于一个集合A，由全集U中_不属于__集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 =_且__    图形语言     运算性质 ⊆U，=⌀，=U，()=A，A∪()=U，A∩()=⌀ 3．在数学中，经常用平面上封闭曲线的__内部_代表集合，这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.    题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 交集的概念及运算 基础知识 核心知识 交集定义___     交集取两个集合的公共元素 方法技巧 有限集合直接找出同时属于两个集合的元素 数集运算借助数轴找公共重叠部分 看清条件“且”代表同时满足两个集合约束 数轴重点核对区间端点开闭 交集为空代表两个集合没有公共元素 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则______． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·广东汕头·阶段检测）设集合，，则________． 【巩固练习3】（24-25高一下·河北保定·阶段检测）（多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2】 并集的概念及运算 基础知识 核心知识 并集定义_或 并集取两个集合全部元素重复元素只保留一份 方法技巧 有限集合合并元素之后做好去重处理 数集借助数轴把两个集合覆盖全部范围合并 看清条件“或”代表满足任意一个集合约束 注意端点取值不要重复书写 并集运算结果元素不可重复 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）（1）已知集合，，求，； （2）已知集合，，求，. 【巩固练习2】（24-25高二下·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一下·河北保定·阶段检测）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【题型3】 补集的概念及运算 基础知识 核心知识 全集包含研究范围内全部元素 补集=_且__    方法技巧 做补集运算首先明确全集 在全集范围内剔除集合的全部元素得到补集 有限集合直接在全集里面划掉中元素 数集借助数轴取全集去掉对应的区间 注意补集永远依托全集脱离全集谈补集没有意义 典型例题 【例题1】（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·吉林长春·期末）设全集，则（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃定西·开学考试）设集合.求： (1)； (2). 【题型4】 由venn 图求集合 基础知识 核心知识 Venn图用封闭图形表示集合 图形重叠区域代表交集 图形合并整体区域代表并集 全集方框内部除去对应圆的区域代表补集 方法技巧 分清每一块图形区域对应的集合运算 重叠部分只提取公共元素 分开区块代表互不相交的部分 可以把图中每一块对应元素全部标注 读懂图形再转化成集合表达式 典型例题 【例题1】设全集，，， (1)求；；；. (2)能否根据（1）的结论，猜想与，与的关系？尝试用Venn图进行分析说明. 【例题2】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·阶段检测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北·期中）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【题型5】 由交集的运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 代表两集合存在公共元素 代表两集合没有公共元素 含参集合需要考虑集合为空集的可能性 数集结合数轴分析区间位置关系 方法技巧 条件为交集为空优先考虑集合为空集情况 画出数轴移动含参区间判断有无重叠 仔细检验端点等号能否成立 求出参数候选范围后回代原题检验 有限集合可以联立方程寻找公共元素 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 【例题2】（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【题型6】 由并集运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 等价于 等价于 并集等于其中一个集合转化为子集关系解题 子集问题要讨论集合为空集情形 方法技巧 看到优先翻译成 含参集合一定要讨论空集 数轴画出区间满足被包含关系 重点验证端点的等号取舍 参数求出之后带回原式验证并集结果 典型例题 【例题1】（24-25高一上·四川广安·阶段检测）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合或，，若，求实数a的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高二下·山东滨州·阶段检测）设集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值集合． 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，，，则实数_____，____，_____． 【题型7】 由补集的运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 等价于且 补集运算永远不能脱离全集 全集发生改变补集结果随之改变 方法技巧 第一步锁定全集的范围 把补集条件转化为集合的交并条件 数集借助数轴在全集内分析集合区间 参数求解完成要检验元素是否属于全集 避免出现元素超出全集的错误解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【例题2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【巩固练习3】（23-24高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【题型8】 由交并补的混合运算结果求参数范围 基础知识 核心知识 集合运算优先级没有硬性规定优先算括号内部运算 德摩根定律 混合运算可以借助Venn图拆解区域 方法技巧 有括号先计算括号内集合运算 可以利用德摩根定律转换运算简化题目 Venn图划分区块辅助理解复杂条件 含参问题不要遗漏空集分类讨论 算出参数全部结果后回代检验混合运算结果 典型例题 【例题1】（24-25高一上·广东江门·阶段检测）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【题型9】 容斥原理及其应用 基础知识 核心知识 两个集合容斥原理 方法技巧 分清题目已知条件对应公式哪一部分 求总元素数量要减去重复计数部分 Venn图标注每一块区域元素数量辅助列式 实际应用题分清只属于某集合和属于交集的区别 选择填空直接套用公式大题可以结合Venn图说明 典型例题 【例题1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【例题2】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【巩固练习2】（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）某花店统计了连续三天售出鲜花的种类情况：第一天售出种鲜花，第二天售出种鲜花，第三天售出种鲜花，前两天都售出的鲜花有种，后两天都售出的鲜花有种.则该花店第一天售出但第二天未售出的鲜花有____种，这三天售出的鲜花最少有____种. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃金昌·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 5．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集， ，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题 10．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 11．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 12．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 14．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 16．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，且. (1)求的值及集合； (2)设全集，求； (3)设全集，若非空集合，求出所有集合，并求出所有集合的元素之和的总和. 17．集合或.若，求的取值范围； 18．已知集合，若，求实数t的取值范围. $