1.1 集合的概念 8题型分类（讲+练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念，系统梳理元素与集合的确定性、互异性、无序性，元素与集合的属于或不属于关系，常用数集（N、N*、Z、Q、R）及表示符号，以及列举法、描述法两种集合表示方法，构建从概念到表示的完整学习支架。 资料以8题型分类为特色，涵盖集合概念理解、元素关系判断、参数求解等，通过实例题（如判断“难题”能否构成集合）培养数学眼光，借助互异性求参数等题型发展数学思维，规范列举法与描述法表达提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，弥补知识盲点。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1集合的概念8题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 2．（2026高一·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 3．（2026高一·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 4．（2026高一·河北·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 【答案】B 【分析】利用集合元素的特征判断. 【详解】A.不具有确定性；故错误； B.符合集合元素的特征，所以所有的正三角形能构成集合，故正确； C.不具有确定性，故错误； D.不具有确定性，故错误； 故选：B 5．（2026高一·全国·课后作业）下列每组对象能构成一个集合是________(填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. 【答案】（2） 【解析】根据集合的概念依次判断即可得到答案. 【详解】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 故“不超过20的非负数”能构成集合； （3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合； （4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合； （5）“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合. 故答案为：（2） 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于简单题. （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 6．（2026高一·重庆·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 故选：B. 7．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 8．（2026高一·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 9．（2026高三·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 题型3：根据元素与集合的关系求参数 10．（2026高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 11．（2026·辽宁·模拟预测）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 12．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 13．（2026高一·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【分析】根据，进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 当时，，集合A中的元素出现重复，故舍去. 当时，得或（舍去）， 当时，，显然满足，所以. 综上可知，. 故答案为：. 题型4：利用集合元素的互异性求参数 14．（2026高一·广东汕尾·竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 【答案】14，15，16，16，17 【分析】分析可知有两条边长度相等，且5个和值的总和必为4的倍数，进而可得相等的和值为62，即可得结果. 【详解】设这个五边形的边长分别为，，，，，任取其中四条边求长度之和共可得5个和值， 但集合中只有4个元素，所以必有两个和值相等，可知有两条边长度相等. 5个和值的总和为，必为4的倍数. 因为， 又因为，，，， 只有为4的倍数，所以相等的和值为62. 所以，. 由，，，， 可得这个五边形的边长分别是14，15，16，16，17. 15．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 16．（2026高一·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【分析】利用集合元素的互异性讨论即可. 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 17．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 18．（2026高二·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 19．用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 20．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法的知识确定正确答案. 【详解】找条件为大于1且小于等于5的自然数，则符合条件的元素为， 所以列举法表示为. （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 21．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 22．（2026高二·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 23．（2026高一·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 24．（2026高一·贵州·阶段检测）集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二元一次方程组的解，即可得解. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 25．（2026高一·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：判断集合中元素的个数 26．（2026高一·陕西榆林·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【详解】根据题意， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 27．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 28．（2026高三·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 29．（2026高二·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 30．（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. 题型8：根据集合元素的个数求参数 31．（2026·湖北孝感·模拟预测）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 32．【多选】（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 33．（26-27高一·全国·初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 1．（2026高一·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（2026高一·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．（2026高一·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 4．（2026高一·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 5．（2026高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，按和分类讨论求解即得. 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 6．已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合中至少有3个元素，即可得到的取值范围. 【详解】解：且集合A中至少有3个元素， . 故选：C. 7．（2026高一·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定出的可取值，然后根据判断出中的元素即可求解出. 【详解】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. 8．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【分析】解出方程，根据集合的描述法、列举法得出答案. 【详解】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 9．【多选】（2026高一·湖北咸宁·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 10．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 11．（2026高一·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是_________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 12．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 13．（2026高一·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】（1）根据题意代入即可得结果； （2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明. 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 14．（2026高一·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 15．（2026高一·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 16．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1集合的概念8题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．（2026高一·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 3．（2026高一·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 4．（2026高一·河北·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．跑得快的运动员B．所有的正三角形 C．接近0的实数 D．著名的科学家 5．（2026高一·全国·课后作业）下列每组对象能构成一个集合是________(填序号). （1）某校2019年在校的所有高个子同学； （2）不超过20的非负数； （3）帅哥； （4）平面直角坐标系内第一象限的一些点； （5）的近似值的全体. （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 6．（2026高一·重庆·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026高一·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型3：根据元素与集合的关系求参数 10．（2026高三·全国·一轮复习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 11．（2026·辽宁·模拟预测）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 13．（2026高一·上海·阶段检测）已知集合，则______. 题型4：利用集合元素的互异性求参数 14．（2026高一·广东汕尾·竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 15．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 16．（2026高一·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 17．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 18．（2026高二·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 19．用列举法表示集合. 20．集合的列举法表示为（    ） A． B． C． D． （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 21．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 22．（2026高二·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·贵州·阶段检测）集合（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：判断集合中元素的个数 26．（2026高一·陕西榆林·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 27．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（2026高三·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 29．（2026高二·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 30．（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 题型8：根据集合元素的个数求参数 31．（2026·湖北孝感·模拟预测）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 32．【多选】（26-27高一·全国·暑假作业）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 33．（26-27高一·全国·初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2026高一·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（2026高一·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 4．（2026高一·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．（2026高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 6．已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 9．【多选】（2026高一·湖北咸宁·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·全国·专题练习）若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 11．（2026高一·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是_________. 12．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 13．（2026高一·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 14．（2026高一·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 15．（2026高一·上海·阶段检测）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 16．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $