08二次函数与幂函数题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，系统梳理二次函数解析式、图象性质、闭区间最值及幂函数定义、图象性质等内容，构建知识内在逻辑体系。通过知识梳理、题型归纳（如二次函数图象与根的分布）、分层练习（基础夯实与能力提升）等环节，帮助学生突破重点难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出数学思维与应用意识培养，如二次函数根的分布问题从判别式、对称轴、区间端点函数值三方面指导分析，培养推理能力。设置基础到能力的分层练习，配合归纳总结与技巧点拨，确保高效复习。助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

二次函数与幂函数 一、知识梳理 1. 二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 一般式: ; 顶点式: ; 零点式: . 2. 二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 递增区间 递减区间 对称性 函数的图象关于直线 对称 3. 知识拓展 二次函数 在闭区间 上的最大 (小) 值 1. 当 时,最小值为 ,最大值为 ; 2. 当 时,最小值为 ,最大值为 ; 3. 当 时,最小值为 ,最大值为 ; 4. 当 时,最小值为 ,最大值为 . 4. 幂函数 1. 幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量, 是常数. 2.几个常用幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减,在 上单调递增 在 上单调递增 在 上单调递增 在 和 上单调递减. 5. 知识拓展 函数 的定义域、值域与图象 图象 定义域 值域 二、练习题 1.判断正误. (对的打“√”，错的打“✗”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现. ( ) (2)当幂指数 时，幂函数 是减函数. ( ) (3)当 时，幂函数 在 上是增函数. ( ) (4)二次函数 不可能是偶函数. ( ) 2. 已知二次函数 ,当 ___时，函数图象的顶点在 轴上；当 ___时，函数图象的顶点在 轴上； 当 ___时，函数图象经过原点. 3. 已知幂函数 的图象过点 , 则 ___. 4. 若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 ___. 题型一 二次函数的图象及性质 角度 1 二次函数的图象与解析式 5. 已知函数 ,若 ,且 ,则函数 的图象可能是 ( ) A B C D 归纳总结 研究二次函数图象的关键点: (1)二次项系数的符号；(2)图象的对称轴；(3)图象经过的特殊点. 6. (多选) 下列结论正确的是 ( ) A. 若二次函数的图象过点 ，则二次函数的解析式为 B. 若抛物线的顶点为 ,且过点 , 则此抛物线方程为 C. 若二次函数的图象与 轴交于点 和 ，且过点 ，则二次函数的解析式为 D. 若抛物线 经过点 ,其顶点的纵坐标为 6,则这个抛物线的方程为 角度 2 一元二次方程根的分布 7. 已知关于 的方程 的两根分别在区间 内,则实数 的取值范围为 ___. 技巧点拨 解决一元二次方程根的分布情况, 确定方程中参数的取值范围，主要从以下三个方面出发. (1)判别式的符号. (2)对称轴与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 8. 若方程 的两根都大于 2，则实数 的取值范围是___. 题型二 幂函数的图象及性质 9. (多选) 已知函数 是幂函数，对任意 , ,且 ,满足 . 若 ,且 的值为负值,则下列结论可能成立的有 ( ) A. B. C. D. 10. 已知幂函数 是定义域上的奇函数,则 ( ) A. 或 3 B. 3 C. D. 11. 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 归纳总结 1. 对于幂函数 的图象,根据 确定图象在第一象限的位置,其余象限部分由奇偶性决定. 2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择恰当的函数，借助其单调性进行比较. 考点 1 二次函数 12. 若函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 , 则 的值 ( ) A. 与 有关,且与 有关 B. 与 有关,但与 无关 C. 与 无关，且与 无关 D. 与 无关，但与 有关 13. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率 与加工时间 (单位: 分钟) 满足函数关系 ( 是常数),如图,记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据, 可以得到最佳加工时间为 ( ) A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 14. 已知 是平面直角坐标系中的点集. 设 是 中两点间的距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则( ) A. B. C. D. 15. 已知 ，函数 若对任意 , 恒成立,则 的取值范围是 ___. 考点 2 幂函数 16. 设函数 ,则 ( ) A. 是奇函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减 C. 是偶函数，且在 单调递增 D. 是偶函数，且在 单调递减 17. 已知 是奇函数， 当 时， ，则 的值是 ___. 18. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 :___ ① ; ②当 时， ③ 是奇函数. 基础夯实 19. 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 ( ) A. B. C. D. 20. 已知函数 ， 则 “ ” 是 “ 在 上单调递增” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21. 已知函数 ,若对任意的 ,总存在 ,使得 , 则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 以上都不对 22. 给定函数 . 用 表示 , 中的较小者,记为 , ,则 的最大值为 ( ) A. B. 1 C. 0 D. 2 能力提升 23. (多选) 下列命题正确的是 ( ) A. 的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点 C. 函数 的图象过点 ,若 ,则 D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限 24. (多选) 已知不等式 的解集为 ,则 ( ) A. B. C. D. 25. (多选) 已知函数 下列关于函数 的结论正确的是 ( ) A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 若 ,则 D. 的图象与直线 有一个交点 26. 已知幂函数 是偶函数，且在区间 上为严格减函数， ，则 ___. 27. 已知幂函数 在 上单调递减，则 的值为___. 28. 请写出一个满足以下条件的幂函数 : ① 定义域为 ; ② 为增函数; ③对任意的 ,都有 ,则 ___. 参考答案与解析 1. (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2. 4；2 或 14； 3. 4. 5. 选 D. 由 且 ,得 ,所以函数图象开口向上,排除 ; 又 ,所以排除 . 故选 D. 6. 选 AB. 选项 A,设 . 将 , 代入 ,得 解得 所以二次函数解析式为 , A 正确; 选项 B,设 . 因为抛物线 的顶点为 ,且过点 , 所以 解得 所以抛物线方程为 , 故 B 正确; 对于 ,将 代入 ,得 ,故 错误; 对于 ,将 代入 ,得 ,故 错误. 故选 AB. 7. 填 解析 令 ,根据题意得 即 则 的取值范围为 . 8. 填 解析 令 , 可得 即 解得 . 9. 选 BC. 因为函数 为幂函数, ,解得 或 . 当 时, ,当 时, . 对任意 ,且 ,满足 , 函数 在 上为增函数, 故 . 易得 ,从而函数 是定义在 上的单调递增的奇函数. 又因为 ,即 ,得 ,所以 ,排除 . ①当 时， ，故 ； ② 当 时， ，故 ，故 ； ③ 当 时，由 知， ，故 或 或 ，即 或 或 . 综上可知, ,且 或 或 . 故选 BC. 10. 选 D. 由函数 是幂函数, 得 ,解得 或 , 当 时, 是 上的偶函数,不符合题意, 当 时, 是 上的奇函数(奇 偶 = 奇)，符合题意，所以 . 故选 D. 11. 选 D. . 易知幂函数 在 上单调递增,且 , ,即 ,故选 D. 12. 选 B. 因为最值在 中取, 所以最值之差一定与 无关,与 有关,选 B. 13. 选 B. 由已知得 解得 当 时, 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟. 故选 B. 14. 选 C. 对于 , 当 时, ,此时函数图象为线段 ; 当 时, ,此时函数图象为曲线段 ,如图所示. 又对任意 ,函数 在 上单调递增, . 因此 表示的图形为曲线段 ,线段 和线段 之间的曲边三角形 , 易得 , 中两点间距离的最大值为 表示的图形的面积为 ,即 . 故选 C. 15. 填 解析 ① 当 时，因为 恒成立，所以 ,参变量分离得 ,令 ,所以当 或 时, 取得最小值,为 2,所以 . ② 当 时，因为 恒成立，所以 ,参变量分离得 ,令 ,所以当 时, 取得最大值,为 ,所以 . 由①②可得 . 16. 选 A. 函数 的定义域为 ,关于原点对称, ,故 是奇函数,排除 选项. 在区间 上单调递增. 故选 A. 17. 填 -4 解析 因为 是奇函数,且当 时, ,所以 18. 填 (答案不唯一) 解析 因为 ,所以 是幂函数; 当 时， ，所以函数 在 上是增函数；因为 是奇函数，所以 是偶函数. 因此函数 可以是 故答案为 (答案不唯一). 知识拓展 常见的抽象函数模型 1. 一次函数 型,特征式为 . 2. 指数函数 ( 且 ) 型,特征式为 或 3. 对数函数 型,特征式为 . 4. 幂函数 型,特征式为 . 19. 选 D. 由选项设 ,由第一象限的图象知: ,又函数图象关于原点对称，即函数 是奇函数，因此 正确. 故选 . 20. 选 A. 当 时，函数 在 上单调递增， 则 时，一定有 在 上单调递增，而 在 上单调递增,不一定满足 ,故 “ ” 是 “ 在 上单调递增” 的充分不必要条件. 故选 A. 21. 选 A. 对任意的 ,总存在 ,使得 ,(不等式恒成立与有解问题转化为函数的最大 (小) 值问题) ,当且仅当 时取等号, , 当 时, 在 上为增函数, ,解得 ; 当 时, 在 上为减函数, ,解得 , 当 时, 成立. 综上所述， 的取值范围为 . 故选 A. 22. 选 A. 令 ,得 , 所以 当 时, ,则 ; 当 时,由于 图象的对称轴为直线 , 开口向下,因此 时, 时, . 综上, . 故选 A. 23. 选 BCD. 对于 ,因为 ,所以点 不在 的图象上,故 的图象不是一条直线,故 A 错误; 对于 ,幂函数的图象都经过点 ,故 正确; 对于 ,因为函数 的图象过点 ,所以 ,解得 ,所以 ,若 ,则 ,故 正确; 对于 D, 幂函数的图象不可能出现在第四象限, 故 D 正确. 故选 BCD. 24. 选 BCD. 由题意可得 和 是方程 的两根,且 , ,所以 即 ,故 错误; 因为 ,所以 ,所以 ,即 ,故 B 正确; ,故 C 正确; 因为 ,且 , 所以 ,即 ,故 正确. 故选 BCD. 25. 选 BCD. 对于 的定义域是 ,故 错误; 对于 ,当 时, ,当 时, 5,所以 的值域是 ,因此 正确; 对于 ,由 的分析可知,若 ,则 解得 , 因此 C 正确; 对于 ,画出 的图象如图所示,由图可知,选项 正确. 故选 BCD. 26. 填 1 解析 因为幂函数在区间 上为严格减函数, 所以 ,解得 , 又 ,所以 , 因为幂函数是偶函数，所以 是偶数， 所以 是奇数，所以 ， 此时函数为 ,符合题意. 27. 填 5 解析 因为幂函数 在 上单调递减，所以 解得 . 28. 填 (答案不唯一) 解析 由题意可知 的定义域为 ,且 在 上为增函数. 下面证明该函数满足③: 取任意的 , 则 ,当且仅当 时取等号, 即 ,即 满足③,故答案为 . 学科网（北京）股份有限公司 $