2027届高考一轮复习§3.5 幂函数与二次函数·复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按定义、图像、性质及综合应用构建题型体系，通过考点梳理、方法提炼、题型突破的教学流程，帮助学生系统掌握幂函数图像规律、二次函数最值分类等关键问题，实现难点突破与能力提升。 资料以数学思维与几何直观为核心，创新设计“指大图低”图像规律总结、二次函数闭区间最值分类讨论等策略，设置基础巩固与能力提升分层练习，培养学生推理能力与应用意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题与应考能力。

§3.5 幂函数与二次函数·复习讲义 目录 题型1：幂函数的定义及其图像 4 题型2：幂函数性质的综合应用 7 题型3：二次函数的图像 11 题型4：二次函数的单调性 14 题型5：二次函数的最值 17 题型6：二次函数有关的恒成立问题 21 1. 幂函数的图像与性质 解析式 图像 图像特征 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记为“指大图低”；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 提醒 同时满足以下三个条件才是幂函数： ① 的系数为 1；② 的底数是自变量；③指数为常数. 2. 二次函数的图像与性质 (1) 二次函数的三种形式 一般式： . 顶点式：，顶点坐标为(m，n). 双根式：，x1，x2为f(x)的零点. (2) 二次函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 对称轴 值域 单调性 时是减函数 时是增函数 时是减函数 时是增函数 最值 当时， 当时， 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 (3) 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数，闭区间为： ①当时，最小值为，最大值为； ②当时，最小值为，最大值为； ③当时，最小值为，最大值为； ④当时，最小值为，最大值为. 题型1：幂函数的定义及其图像 方法提炼 (1) 幂函数的系数为1，底数是自变量，指数为常数. (2) 确定幂函数的定义域，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断. (3) 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内直线、直线，直线分第一象限为六个区域.根据的取值确定位置后，其余象限由奇偶性决定. 【例1.1.】 已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.63 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 【例1.2.】 幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的定义和图象的性质可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得. 故答案为：. 【例1.3.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求与幂函数有关的复合函数定义域、并集的概念及运算 【分析】结合函数定义域与几何并集的定义计算即可得. 【详解】由，可得，即， 解得，故， 则. 故选：C. 【例1.4.】 已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 【例1.5.】 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 【例1.6.】 在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 题型2：幂函数性质的综合应用 方法提炼 (1) 若幂函数在上单调递增，则，若在上单调递减，则. (2) 幂函数单调性的应用 ①利用单调性比较两个幂的大小； ②利用单调性解不等式. (3) 幂函数的奇偶性 【例2.1.】 已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【难度】0.75 【知识点】对数的运算、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 【例2.2.】 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【难度】0.66 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 【例2.3.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 【例2.4.】 比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）根据幂函数的单调性，判断函数值大小即可得出结果； （2）根据幂函数的奇偶性与单调性，判断函数值大小即可得出结果； 【详解】（1）由幂函数性质可知，在上单调递减，所以. （2）由幂函数性质可知，在上单调递增，且是R上的偶函数， 则，所以，即. 【例2.5.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 【例2.6.】 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式． 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 【例2.7.】 已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 题型3：二次函数的图像 方法提炼 识别二次函数图象应学会“三看” 【例3.1.】 （多选）如图，这是二次函数图象的一部分，则下面四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据图象与轴交于两点，对称轴，开口方向，结合图象对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，因为图象与轴交于两点，所以，即，故A正确； B选项，对称轴为直线，即，则，故B错误； C选项，结合图象，当时，，即，故C错误； D选项，根据抛物线开口向下，知，所以，即，故D正确。 故选：AD 【例3.2.】 （多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别 【分析】根据图象开口朝向，可得a的正负，根据对称轴公式，可得b的正负，根据图象与y轴交点的位置，可得c的正负，结合条件，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在负半轴，所以，此时，符合题意，故A正确； 选项B：图象开口向下，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故B正确； 选项C：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，不符合题意，故C错误； 选项D：图象开口向上，所以，对称轴，所以， 又图象与y轴交点在正半轴，所以，此时，符合题意，故D正确. 故选：ABD 【例3.3.】 （多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 题型4：二次函数的单调性 【例4.1.】 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 所以，. 则实数的取值范围是. 【例4.2.】 已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 . 故选：D 【例4.3.】 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性求参数值、与二次函数相关的复合函数问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【例4.4.】 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性解不等式、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 故答案为：. 【例4.5.】 已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数奇偶性的应用 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 题型5：二次函数的最值 方法提炼 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间.其解题的关键是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，需讨论的情况有：（注意是否需要讨论开口方向）①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系）. 【例5.1.】 已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由题意可得为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）分，和三种情况，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，所以为方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）由于的对称轴为， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上单调递增， 此时； 当时，即时， 在区间上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在区间上单调递减， 所以， 综上所述：. 【例5.2.】 当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，此时为开口向上的二次函数，其对称轴为. 由题意知：，解得. 故选：C. 【例5.3.】 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值、根据充分不必要条件求参数 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 【例5.4.】 关于对称，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的解析式、根据二次函数的最值或值域求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】先对进行因式分解，利用关于对称，得出的值，最后用换元法将转换为二次函数求最值即可. 【详解】，因关于对称， 故的根应为和，所以，得，，即. 令，则，代入得： ，令，，函数开口向上， 对称轴为，，因此，函数的最小值为. 故选：B 【例5.5.】 记函数在上的最大值为，则的最小值为____________，此时____________． 【答案】 / / 【难度】0.15 【知识点】分段函数的值域或最值、求二次函数的值域或最值 【分析】令，分，，，四种情况，分析的值域，从而求得的最大值，分析的单调性质即可得到其最小值，及取最小值时的的值.或利用单峰非平口函数的性质求解.或利用切比雪夫最佳逼近线所得结论得解. 【详解】解法一（分类讨论）：令，则的对称轴是. (1)当时，即时，在单调递增，所以. 此时，所以； (2)当时，即时，在单调递减，所以. 此时，所以； (3)当，即时，，即. 此时. 在上单调递增，所以. 当即时，. 因为单调递减，所以，即； 当，即时，，且单调递增，所以； (4)当，即时，，即. 此时，且单调递增，所以. 综上所述，当时，的最小值为． 解法二：此题虽然是二次函数的单峰形式，但左端点为零点，故只能构造对称轴和右端点相等的情况，属于单峰非平口函数，令，且，一定有，即时，的最大值取得最小值，最小值为． 解法三（结论法秒杀）： 破解结论：已知，在求最大值的最小值时，通过切比雪夫最佳逼近线可推导出以下结论：(i)当时，的最小值为，当且仅当时等号成立；(ii)当时，的最小值为，当且仅当时等号成立． 因为根据题意，可得. 所以的最大值的最小值为，此时． 故答案为：；. 题型6：二次函数有关的恒成立问题 【例6.1.】 已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为，在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 【例6.2.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 【例6.3.】 已知函数，对于任意恒有，则实数的取值范围是______． 【答案】或或 【难度】0.4 【知识点】二次函数的图象分析与判断、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】对a分、、三种情况讨论，再结合函数图像平移即可求解． 【详解】当时，显然恒成立，符合； 当时，相对于向左平移a个单位，如图所示，当平移距离大于等于1时，在区间内，恒在下方，也即对任意恒有，所以； 当时，相对于向右平移个单位，只有恰好平移1个单位，才能保证在区间内，恒在下方，如图所示，此时有； 综上所述，实数的取值范围是或或． 故答案为：或或． 【例6.4.】 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求二次函数的值域或最值 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 【例6.5.】 若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.5 幂函数与二次函数·复习讲义 目录 题型1：幂函数的定义及其图像 4 题型2：幂函数性质的综合应用 5 题型3：二次函数的图像 6 题型4：二次函数的单调性 8 题型5：二次函数的最值 8 题型6：二次函数有关的恒成立问题 9 1. 幂函数的图像与性质 解析式 图像 图像特征 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记为“指大图低”；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 提醒 同时满足以下三个条件才是幂函数： ① 的系数为 1；② 的底数是自变量；③指数为常数. 2. 二次函数的图像与性质 (1) 二次函数的三种形式 一般式： . 顶点式：，顶点坐标为(m，n). 双根式：，x1，x2为f(x)的零点. (2) 二次函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 对称轴 值域 单调性 时是减函数 时是增函数 时是减函数 时是增函数 最值 当时， 当时， 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 (3) 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数，闭区间为： ①当时，最小值为，最大值为； ②当时，最小值为，最大值为； ③当时，最小值为，最大值为； ④当时，最小值为，最大值为. 题型1：幂函数的定义及其图像 方法提炼 (1) 幂函数的系数为1，底数是自变量，指数为常数. (2) 确定幂函数的定义域，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断. (3) 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内直线、直线，直线分第一象限为六个区域.根据的取值确定位置后，其余象限由奇偶性决定. 【例1.1.】 已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【例1.2.】 幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 【例1.3.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【例1.6.】 在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型2：幂函数性质的综合应用 方法提炼 (1) 若幂函数在上单调递增，则，若在上单调递减，则. (2) 幂函数单调性的应用 ①利用单调性比较两个幂的大小； ②利用单调性解不等式. (3) 幂函数的奇偶性 【例2.1.】 已知幂函数为偶函数，则______________． 【例2.2.】 已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【例2.3.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【例2.5.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 【例2.7.】 已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：二次函数的图像 方法提炼 识别二次函数图象应学会“三看” 【例3.1.】 （多选）如图，这是二次函数图象的一部分，则下面四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （多选）设，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 （多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 题型4：二次函数的单调性 【例4.1.】 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【例4.2.】 已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【例4.3.】 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 【例4.5.】 已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 题型5：二次函数的最值 方法提炼 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间.其解题的关键是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，需讨论的情况有：（注意是否需要讨论开口方向）①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系）. 【例5.1.】 已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最小值． 【例5.2.】 当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 关于对称，则其最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 记函数在上的最大值为，则的最小值为____________，此时____________． 题型6：二次函数有关的恒成立问题 【例6.1.】 已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【例6.2.】 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知函数，对于任意恒有，则实数的取值范围是______． 【例6.4.】 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $