专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按幂函数定义、图象性质及二次函数解析式、单调性、最值等逻辑层次梳理知识，通过考点解析、方法提炼、真题示例与变式训练，帮助学生构建系统知识网络，突破比较大小、恒成立等难点。 讲义采用分层教学策略，设置7类典型题型，如幂函数图象判断、二次函数最值，结合“指大图低”“三点一轴”等解题技巧，培养学生数学思维与直观想象能力。配套基础到综合的练习题，配合高考真题统计分析，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 幂函数与二次函数 天津卷：第2题，5分 上海卷（春考）：第14题，4分 上海卷（春考）：第15题，5分 命题规律分析 1、幂函数与二次函数 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质。 考点1 幂函数与二次函数 知识点1 幂函数的解题技巧 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点2 二次函数的解题技巧 1．二次函数解析式的求法 (1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式. (2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 2．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 3．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 4．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 【题型1 比较幂值的大小】 【例1】（2026·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【解答过程】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A. 【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D. 【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由幂函数的定义得的值，得，根据对数函数的单调性性质及换底公式得到，再利用幂函数单调性比较大小得到即可. 【解答过程】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 【题型2 幂函数图象的判断及应用】 【例2】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【解答过程】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【解答过程】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【解答过程】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断. 【解答过程】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D. 【题型3 幂函数的图象和性质】 【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【解答过程】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 故选：C. 【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的对称性及单调性逐项判断，即可求解． 【解答过程】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 故选：D. 【变式3-2】（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【解答过程】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【解答过程】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 故选：D. 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【解答过程】注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能，所以，故， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知为二次函数且，，则___________． 【答案】 【解题思路】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【解答过程】设， ， ， ． 又， . 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【解题思路】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【解答过程】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 【题型5 二次函数的图象】 【例5】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【解答过程】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A. 【变式5-1】（2026·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【解答过程】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【解答过程】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 【题型6 二次函数的单调性与最值】 【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的对称性和最值，即可求解. 【解答过程】，函数的对称轴为， 且， 函数在闭区间上有最大值为3，最小值为， 则. 故选：B. 【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性列不等式求解即可. 【解答过程】因为函数是在R上的增函数， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【解答过程】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【题型7 二次函数的恒成立问题】 【例7】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【解答过程】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】或 【解题思路】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数，利用二次函数的性质求解最值即可． 【解答过程】由可得在上恒成立， 整理得在上恒成立， 所以， 令， 因为，所以， 所以当时，函数得最大值，所以，解得或. 故答案为：或. 一、单选题 1．（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【解答过程】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 故选：C. 2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可. 【解答过程】由已知，函数的对称轴为， 又因为函数在区间上不单调， 则必有，即. 故选：C. 3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【解答过程】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】求出函数的解析式，代入可得. 【解答过程】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 故选：D. 6．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解题思路】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【解答过程】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确. 故选：D. 7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知的图象关于直线对称，设，其中，结合已知条件得出，，由题意得出，将两个等式作差可得出关于的不等式，即可求出实数的取值范围. 【解答过程】因为一元二次函数的定义域为，且， 所以函数的图象关于直线对称，设，其中， 由可得，故，根据题意得出 因为函数的图象经过、不同两点， 则，且有， 上述两个等式作差得， 因为，故，即， 可得或，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 8．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 【答案】CD 【解题思路】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可. 【解答过程】对于A，当时，幂函数的定义域为，其图象是直线除去点，故A错误； 对于B，幂函数的图象有三个公共点，这两个函数不相同，B错误； 对于C，幂函数图象一定过点，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称， 则该幂函数图象必过点，C正确； 对于D，幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点，D正确. 故选：CD. 10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【解答过程】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 故选：ACD. 11．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 【答案】ABD 【解题思路】利用韦达定理可得出，，且有，可判断AB选项；利用图象可判断CD选项. 【解答过程】对于AB选项，二次函数的图象交轴于点、， 所以方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，故，， 又因为该二次函数的图象开口向上，故，所以，A对，B对； 对于C选项，由图象可知，关于的二次函数有且只有个零点，C错； 对于D选项，由图可知，关于的一元二次不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为__________． 【答案】 【解题思路】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【解答过程】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. 故答案为：． 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则___________． 【答案】9 【解题思路】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【解答过程】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 故答案为：． 14．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法求解析式； （2）分、和三种情况讨论最值，列不等式求解即可. 【解答过程】（1）设，则， 从而，故. （2）由（1）可知，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 当，即时，在上单调递减， 则，则. 综上，的取值集合是. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【解题思路】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【解答过程】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . （2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . （3）因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 19．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. (1)求的解析式. (2)设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. (3)设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i），；（ii）或 (3)存在，， 【解题思路】（1）设，，由的面积为1，得，即可求得解析式； （2）（i）由，结合是偶函数，是奇函数，化简得，；（ii）利用二次函数的性质分和两种情况即可求解； （3）先求得的表达式，得到在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，且， 即可求得，. 【解答过程】（1）设，其中，设， 因为的面积为1，所以，得， 将A的坐标代入，得，解得， 所以； （2）（i）由①， 得②， 因为是偶函数，是奇函数， 所以由②得③， 由①和③得，，； （ii）由（i）得，， ， ； 当时，， 解得（舍去）或； 当时，， 解得（舍去）或； 故k的值为或； （3）依题意得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 则，即， 解得， 故，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 幂函数与二次函数 天津卷：第2题，5分 上海卷（春考）：第14题，4分 上海卷（春考）：第15题，5分 命题规律分析 1、幂函数与二次函数 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质。 考点1 幂函数与二次函数 知识点1 幂函数的解题技巧 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 知识点2 二次函数的解题技巧 1．二次函数解析式的求法 (1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式. (2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 2．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 3．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 4．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 【题型1 比较幂值的大小】 【例1】（2026·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 幂函数图象的判断及应用】 【例2】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【变式2-3】（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型3 幂函数的图象和性质】 【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知为二次函数且，，则___________． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【题型5 二次函数的图象】 【例5】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式5-3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型6 二次函数的单调性与最值】 【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知是在R上的增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7 二次函数的恒成立问题】 【例7】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________. 一、单选题 1．（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 6．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数的图象经过点，则实数的值为__________． 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则___________． 14．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 19．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. (1)求的解析式. (2)设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. (3)设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $