2.3.1二次根式及乘除运算法则（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的定义、有意义条件、乘除法则及化简，通过直角三角形斜边、正方形边长等实例导入，连接算术平方根旧知，构建从具体到抽象的学习支架，引导学生发现二次根式特征。 其亮点是以情境探究为核心，通过计算实例猜想乘除法则培养推理意识，结合中考真题和分层练习提升运算能力。小结清晰梳理定义与法则，帮助学生形成知识结构，教师可利用系统资源高效教学，学生在探究中发展抽象能力和应用意识。

北师大版数学八年级上册2.3.1二次根式及乘除运算法则专项练习题 考查知识点：二次根式的定义、二次根式有意义的条件、最简二次根式、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则、根式化简、简单二次根式乘除计算 答题说明：满分100分，答题时间30分钟，牢记二次根式被开方数非负的核心性质，熟练运用乘除法则化简计算，规范解题步骤。 一、基础选择题（每题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于二次根式的是（） A. $$\sqrt{-2}$$ B. $$\sqrt[3]{5}$$ C. $$\sqrt{3}$$ D. $$\frac{1}{\sqrt{-4}}$$ 2. 二次根式$$\sqrt{x-2}$$有意义，则x的取值范围是（） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（） A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{2}}$$ 4. 计算$$\sqrt{2} \times \sqrt{8}$$的结果是（） A. 4 B. 8 C. $$\sqrt{10}$$ D. $$2\sqrt{2}$$ 5. 二次根式乘法法则正确的是（） A. $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$$ B.$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a>0,b>0)$$ C. $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=ab$$ D. $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a+b}$$ 6. 计算$$\sqrt{27} \div \sqrt{3}$$的结果是（） A. 3 B. 9 C. $$\sqrt{9}$$ D. $$3\sqrt{3}$$ 7. 化简$$\sqrt{\frac{4}{9}}$$的结果是（） A. $$\frac{2}{3}$$ B. $$\pm\frac{2}{3}$$ C. $$\frac{4}{9}$$ D. $$\sqrt{\frac{2}{3}}$$ 8. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{3} \times \sqrt{3}=3$$ B. $$\sqrt{2} \times \sqrt{3}=\sqrt{5}$$ C. $$\sqrt{16} \div \sqrt{4}=4$$ D. $$\sqrt{5} \div \sqrt{10}=\sqrt{2}$$ 9. 若$$\sqrt{a} \times \sqrt{6}=\sqrt{18}$$，则a的值为（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 10. 下列说法错误的是（） A. 二次根式被开方数必须是非负数 B. 最简二次根式不含分母 C. 二次根式除法可转化为根式内相除 D. 所有根式都是二次根式 二、基础填空题（每题4分，共24分） 11. 形如________（a≥0）的式子叫做二次根式。 12. 二次根式除法法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=$$________（a≥0，b＞0）。 13. 化简：$$\sqrt{18}=$$________，$$\sqrt{20}=$$________。 14. 计算：$$\sqrt{5} \times \sqrt{20}=$$________。 15. 使$$\sqrt{3-x}$$有意义的x的取值范围是________。 16. 最简二次根式需要满足被开方数不含________和不含________。 三、基础解答题（18分） 17. 计算下列二次根式乘除运算：（1）$$\sqrt{6} \times \sqrt{24}$$ （2）$$\sqrt{48} \div \sqrt{3}$$ （3）$$\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$$（18分） 四、能力提升题（18分） 18. 先化简再计算：$$\sqrt{12} \times \sqrt{\frac{1}{3}} \div \sqrt{2}$$。（9分） 19. 已知长方形的长为$$\sqrt{32}\mathrm{cm}$$，宽为$$\sqrt{8}\mathrm{cm}$$，求长方形的面积。（9分） 五、参考答案及解析 选择题答案：1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.D 核心解析：二次根式核心前提是被开方数a≥0，区别于立方根；二次根式乘除法则可统一为根式内实数直接乘除，再化简结果；最简二次根式两大标准：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，是根式化简的核心依据，也是高频考点。 填空题答案：11.$$\sqrt{a}$$ 12.$$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ 13.$$3\sqrt{2}$$、$$2\sqrt{5}$$ 14.10 15.x≤3 16.分母、开得尽方的因数 解答题答案：17.（1）原式=$$\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12$$；（2）原式=$$\sqrt{48\div3}=\sqrt{16}=4$$；（3）原式=$$\sqrt{\frac{1}{3}\times27}=\sqrt{9}=3$$。18.原式=$$\sqrt{12\times\frac{1}{3}\div2}=\sqrt{4\div2}=\sqrt{2}$$。19.长方形面积=长×宽，原式=$$\sqrt{32}\times\sqrt{8}=\sqrt{256}=16\mathrm{cm}^2$$，面积为16平方厘米。 本节总结：2.3.1二次根式及乘除运算法则的核心重难点是二次根式的定义与有意义条件、最简二次根式判定、二次根式乘除运算。解题关键是时刻牢记被开方数非负的隐含条件，熟练运用乘除合并法则简化运算，掌握二次根式的基础化简方法，规避“负数可开二次根式”“根式内外数直接相乘”等常见错误，为后续二次根式加减及混合运算打好基础。（全文1234字） 北师大版（新教材）数学八年级上册 2.3.1二次根式及乘除运算法则 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 实数 学习目标 通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力． 通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想 通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识； 复习旧知，导入新课 用带有根号的式子填空： （1）如果一个直角三角形的两直角边长分别为 2 和 1，则斜边为_____. （2）面积为11的正方形的边长为______，面积为 7.2 的正方形的边长为______. （3） 的算术平方根可表示为______；(c + b)(c－b) 的算术平方根可表示为____________.（其中 c > b > 0） 探究新知 它们都含有开平方运算(根指数都为 2) 被开方数都是非负数 创设情境，导入新课 这些式子有什么共同特征呢? 探究新知 一般地，形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数. a可以是数，也可以是式 概 念： 二次根式两个必备特征 内在特征：被开方数a ≥ 0 外貌特征：含有“ ” 探究新知 5 【拓展训练】 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x － 3 ≥ 0 x ≥ 3 答：当 x ≥ 3 时， 在实数范围内有意义. 探究新知 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0. 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 探究新知 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 探究新知 知识点1 二次根式的定义及其有意义的条件 1.下列各式中，是二次根式的是( ) A A. B. C.2 D. 返回 举一反三 9 2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( ) D A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 10 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ 尝试·思考 6 6 20 20 2 3 2 3 5 7 5 7 探究新知 （2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 与 与 探究新知 二次根式的乘法法则和除法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 结 论 探究新知 积的算术平方根也可以拓展到被开方数是两个以上的因数（或因式）相乘： 拓 展 探究新知 计算： 例 1 （1） ； （2） 。 解：（1） ； （2） 。 探究新知 知识点2 二次根式的乘法 3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ，该运算法则成 立的条件是( ) D A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 16 4.［2024湖南中考］计算 的结果是( ) D A. B. C.14 D. 返回 举一反三 17 5.［2024南通中考］计算 的结果是( ) B A.9 B.3 C. D. 返回 举一反三 18 计算： 例 2 （1） ； （2） ； 解： 探究新知 （3） ； （4） ； 探究新知 （5） ； （6） 。 探究新知 1. 下列各式中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. C 当堂检测 22 2. 计算： (1) ×； (2) (1+)(2-)； 解：(1) ×= = = ； (2) (1+)(2-)= 2-+2-3=-1+； 当堂检测 23 2. 计算： (3) (2-1)2； (4) (+)×； 解：(3) (2-1)2= (2)2-2×2+12 =13-4； (4) (+)×= ×+= +=9+1=10； 当堂检测 24 2. 计算： (5) ； (6) (-)×. 解：(5) = - = -= =3-2=1； (6) (-)×= ×-×=-=3- = - . 当堂检测 25 6.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 26 7.［2024天津中考］计算 的结果为____。 10 返回 举一反三 27 8.［教材P随堂练习T 变式］ 计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 举一反三 28 课堂小结 一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a可以是数，也可以是式. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 学习目标 $