2.3.1二次根式及乘除运算法则 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的定义、双重非负性、两大基础公式及乘除运算法则，通过复习旧知（直角三角形斜边、正方形边长计算）和创设情境（归纳根式共同特征）导入，衔接算术平方根旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过计算实例猜想验证乘除法则发展推理意识，例题与变式训练强化运算能力和模型意识。如带系数乘除计算、分式分母二次根式有意义条件等实例，助力学生提升数学表达与应用能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.3.1二次根式及乘除运算法则 第二章 实数 2.3.1 二次根式及乘除运算法则 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、二次根式的定义 一般地，形如 $$\sqrt{a}$$（$$a\ge0$$）的式子叫做二次根式，其中 $$a$$ 叫做被开方数，“$$\sqrt{\ \ }$$”为二次根号，根指数为2，可省略不写。 二次根式必备两个条件（缺一不可）： 1. 带有二次根号 $$\sqrt{\ \ }$$； 2. 被开方数 $$a\ge0$$，保证式子有意义。 二、二次根式双重非负性（核心考点） 二次根式恒具备双重非负性，是考试高频考点： 1. 被开方数非负：$$a\ge0$$； 2. 根式结果非负：$$\sqrt{a}\ge0$$。 拓展题型：若几个非负数（二次根式、绝对值、平方数）的和为0，则每一项都为0。 三、二次根式两大基础公式 公式1：$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$ 释义：先开方、后平方，结果等于被开方数本身，仅适用于非负数。 公式2：$$\sqrt{a^2}=|a|$$ 释义：先平方、后开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简：正数和0直接去绝对值，负数变相反数。 化简规则：$$\sqrt{a^2}=\begin{cases}a & (a\ge0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$ 四、最简二次根式标准（化简依据） 满足以下两个条件的二次根式，为最简二次根式： 1. 被开方数不含分母、小数； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 解题要求：所有二次根式计算结果，必须化为最简二次根式。 五、二次根式乘除运算法则（本节重点） 1. 乘法法则 $$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ \ (a\ge0，b\ge0)$$ 释义：两个非负二次根式相乘，等于被开方数相乘后再开方。 推广：$$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}$$，系数、根式分开运算。 2. 除法法则 $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\ge0，b>0)$$ 释义：两个二次根式相除，等于被开方数相除后再开方，分母被开方数不能为0。 推广：$$\dfrac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$。 六、基础例题精讲 例1 基础计算 （1）$$\sqrt{3}\times\sqrt{12}$$ （2）$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}$$ 解：（1）原式$$=\sqrt{3\times12}=\sqrt{36}=6$$ （2）原式$$=\sqrt{48\div3}=\sqrt{16}=4$$ 例2 带系数乘除计算 计算：$$2\sqrt{5}\times3\sqrt{10}$$ 解：原式$$=(2\times3)\times\sqrt{5\times10}=6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$$ 七、高频易错点 1. 忽略取值范围：乘除公式仅适用于 $$a\ge0、b\ge0$$，负数不能直接套用公式； 2. $$\sqrt{a^2}$$ 化简漏写绝对值，负数化简出错； 3. 计算结果不化简，保留可开方因数，不符合最简二次根式要求； 4. 除法中忽略分母不能为0，出现无意义式子。 八、本节核心总结 1. 二次根式核心：有根号、被开方数非负、结果非负； 2. 两大基础公式区分：平方去根号直接得原数，开方平方必须加绝对值； 3. 乘除口诀：根式相乘除，被开方数相乘除，系数单独算； 4. 所有运算最终必须化为最简二次根式。 了解二次根式的概念. 掌握二次根式的乘除法法则. 会运用二次根式进行乘除运算，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力。 复习旧知，导入新课 用带有根号的式子填空： （1）如果一个直角三角形的两直角边长分别为 2 和 1，则斜边为_____. （2）面积为11的正方形的边长为______，面积为 7.2 的正方形的边长为______. （3） 的算术平方根可表示为______；(c + b)(c－b) 的算术平方根可表示为____________.（其中 c > b > 0） 它们都含有开平方运算(根指数都为 2) 被开方数都是非负数 创设情境，导入新课 这些式子有什么共同特征呢? 一般地，形如 ( a ≥ 0 ) 的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数. a可以是数，也可以是式 概 念： 二次根式两个必备特征 内在特征：被开方数a ≥ 0 外貌特征：含有“ ” 5 【拓展训练】 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x － 3 ≥ 0 x ≥ 3 答：当 x ≥ 3 时， 在实数范围内有意义. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0. 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【变式训练】 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ 尝试·思考 6 6 20 20 2 3 2 3 5 7 5 7 （2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。 与 与 二次根式的乘法法则和除法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 结 论 积的算术平方根也可以拓展到被开方数是两个以上的因数（或因式）相乘： 拓 展 计算： 例 1 （1） ； （2） 。 解：（1） ； （2） 。 计算： 例 2 （1） ； （2） ； 解： （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2. 二次根式 有意义，则x的值可以为(　A　) A. 7 B. 6 C. 0 D. －1 A 随堂练习 3. 计算：2 × ＝(　D　) A. 12 B. C. D. 2 D 4. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范 围为 ⁠. x≥0且x≠1　 5. 填空： (1) × ＝ 　 　；(2) ÷ ＝ ⁠. 　 6　 随堂练习 6. 计算： (1) × ； 解：原式＝3.式＝30 . (3) × ÷ ； 解：原式＝10. 解：原式＝3. 解：原式＝30 . 解：原式＝10. 原式＝3. (2)5 ×6 ； 解：原式＝30 . 解：原式＝10. (4)(－2)2. 解：原式＝7－4 . 解：原式＝7－4 . 随堂练习 知识点1 二次根式的定义 1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　) A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个 返回 C 基础提优题 返回 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非. • • • 基础提优题 2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　) A.　　 B.－　　 C.3　　 D.2 返回 C 基础提优题 知识点2 二次根式的乘法 3.计算×的结果是(　　) A.6　　　 B.4　　　 C.2　　　 D.1 返回 C 基础提优题 4.［2026重庆期末］估算×(＋)的结果在(　　) A.5和6之间　　　 B.6和7之间　 C.7和8之间　　　 D.8和9之间 返回 【点拨】×(＋)＝×＋×＝＋＝6＋.因为＜＜，所以2＜＜3，所以8＜6＋＜ 9，故选D. D 基础提优题 5. 若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　　　　　　　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π). 返回 120π 基础提优题 课堂小结 一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a可以是数，也可以是式. $