2.1.1 认识实数（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“认识实数”展开，涵盖无理数概念、有理数与无理数区分、实数分类及与数轴关系等核心知识点。课堂导入先回顾有理数分类，通过“两个边长为1的小正方形剪拼大正方形”活动，引导学生发现边长a满足a²=2且a非有理数，搭建从有理数到无理数的学习支架。 其亮点在于以动手操作和问题链驱动探究，通过计算a是否为整数、分数及用计算器探索小数部分，培养推理能力（数学思维）。用表格对比有理数与无理数特征、实例辨析（如√2、π）强化概念（数学语言），小结系统梳理知识脉络。学生能在探究中发展创新意识，教师可通过随堂练习和当堂检测高效落实教学目标。

北师大版数学八年级上册2.1.1认识实数专项练习题 考查知识点：实数的概念与分类、有理数与无理数辨析、实数的相反数、绝对值、实数大小比较、实数与数轴的对应关系 答题说明：满分100分，答题时间30分钟，认真审题，规范作答 一、基础选择题（每题4分，共40分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A. 0 B. -3.14 C. √2 D. 22/7 2. 下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 带根号的数都是无理数 D. 整数都是无理数 3. 实数√5的相反数是（） A. √5 B. -√5 C. 1/√5 D. 5 4. 绝对值等于√3的数是（） A. √3 B. -√3 C. ±√3 D. 3 5. 在实数-2，0，√3，-π中，最小的数是（） A. -2 B. 0 C. √3 D. -π 6. 下列实数中，是有理数的是（） A. 2.1313313331…（相邻两个1之间3的个数依次加1） B. π C. √9 D. √7 7. 实数与数轴上的点的对应关系是（） A. 一一对应 B. 实数对应数轴上部分点 C. 无序对应 D. 无对应关系 8. 化简|3-π|的结果是（） A. 3-π B. π-3 C. 3+π D. -3-π 9. 介于2和3之间的无理数是（） A. √2 B. √5 C. √9 D. 3.5 10. 下列分类正确的是（） A. 实数分为正实数和负实数 B. 有理数分为整数、分数和0 C. 无理数分为正无理数和负无理数 D. 小数都是有理数 二、基础填空题（每题4分，共24分） 11. 把实数分为________和________两大类。 12. 无理数的核心特征是________小数。 13. √6的绝对值是________，相反数是________。 14. 比较大小：√7________3（填“>”“<”或“=”） 15. 在0，-√3，π，3.14，1/3中，无理数有________个。 16. 若|x|=√2，则x=________。 三、基础解答题（18分） 17. 将下列各数填入对应的集合中：-5，0，√8，π/2，3.1416，2/3，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）（18分） 有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …} 四、能力提升题（18分） 18. 已知实数a在数轴上对应点的位置在1和2之间，化简|a-1|+|a-2|。（9分） 19. 写出所有大于-√5且小于√3的整数。（9分） 五、参考答案及解析 选择题答案：1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B 10.C 核心解析：无限不循环小数是无理数，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数；π≈3.14，故3-π＜0，绝对值化简为相反数；√4＜√5＜√9，故√5在2、3之间。 填空题答案：11.有理数、无理数 12.无限不循环 13.√6、-√6 14.＜ 15.2 16.±√2 解答题答案：17.有理数：-5，0，3.1416，2/3；无理数：√8，π/2，0.1010010001… 18.由1＜a＜2，得a-1＞0，a-2＜0，原式=a-1+2-a=1 19.-√5≈-2.24，√3≈1.73，符合条件的整数：-2，-1，0，1 总结：本节核心重难点为实数分类、无理数判定、绝对值化简与实数大小比较，解题关键是牢记无理数定义，结合数轴数形结合分析，区分无限循环与无限不循环小数，规避“带根号就是无理数”“无限小数都是无理数”等常见误区。（全文1236字） 北师大版（新教材）数学八年级上册 2.1.1 认识实数 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 实数 学习目标 通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力． 通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知 通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神． 有理数进行分类： 正整数 零 负整数 正分数 负分数 有理数 分数 整数 有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？ 情境导入 请大家先准备两个边长为 1 的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形. 1 1 思考探究，获取新知 1 1 探究新知 方法一： 1 1 1 1 探究新知 方法二： 1 1 1 1 1 1 1 1 探究新知 1 1 1 1 1 1 （1）设大正方形的边长为 a，a 满足什么条件？ a2 = 2 探究新知 （2）a 可能是整数吗？说说你的理由。 a2 = 2 12 = 1 22 = 4 32 = 9 …… a 不是整数 越来越大 探究新知 （3）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。 a2 = 2 …… 结果都是分数 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数 探究新知 尝试·思考 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ b 正方形的面积 = 直角三角形的斜边的平方 = 12 + 22 = 5 （2）设该正方形的边长为b， b 满足什么条件？ （3）b 是有理数吗？ b2 = 5 b 不是有理数 探究新知 （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 1 1 2 2 a a S=a2=2 1 < a < 2 S=12=1 S=22=4 面积为2 思考·交流 探究新知 （2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？······借助计算器进行探索. 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 探究新知 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 （3）小明将他的探索过程整理如下： 还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？ 探究新知 是一个无限不循环小数. 探究新知 （4）面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？b 可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 b b S = b2 = 5 b = 2.236067977··· 是一个无限不循环小数. 探究新知 如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？ h2 = 22－12 = 3 h 不可能是整数，也不可能是分数. 随堂练习 【教材P26 随堂练习】 1 探究新知 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 不是有理数的数都是无限不循环小数吗？ 3， ， ， ， 。 4 5 5 9 5 9 2 11 = 0.8 = 0.5 · = 0.18 · · = －0.17 · 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 3 = 3.0 探究新知 结 论 如圆周率 π = 3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数. 再如 0.585 885 888 588 885…（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1）也是无理数. 而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数. 无限不循环小数称为无理数. 探究新知 无理数和有理数的区别： 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 都能写成分数的形式（整数可以写成分母是 1 的分数） 是无限不循环小数 不能写成分数的形成 探究新知 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 2）. 例 有理数 无理数 有理数和无理数统称实数 探究新知 知识点1 非有理数的发现 1.若,则 为( ) D A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不是 返回 举一反三 21 2.在中， ，,,所对的边分别为,, 。 （1）①当，时， ___； ②当，时， ____； ③当，时， _____。 3 16 0.64 （2）通过（1）中计算出的的值，我们知道：是整数的是____； 是分数的是____； 既不是整数，也不是分数的是____。（填序号） ② ③ ① 返回 举一反三 22 3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 2）. 尝试·思考 （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 探究新知 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ ①按概念分类： ②按性质符号分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 实数 正实数 负实数 正有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 正有理数 负无理数 0 正无理数 探究新知 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义完全一样。 名称 表示 性质 相反数 绝对值 倒数 实数 a 的相反数是 －a a，b互为相反数 a+b=0 实数 a 的绝对值表示为 |a| （2）|a| ≥ 0 （3）| a | = | －a | a与 互为倒数（其中 a ≠ 0） 1 a （1）|a|= a（a>0） 0（a=0） －a（a<0） （2）正数的倒数是正数，负数 的倒数是负数，0没有倒数 （1）ab互为倒数 ab=1 探究新知 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 探究新知 4.已知在中， ，，，则 的值在 ( ) B A.3.0与3.1之间 B.3.1与3.2之间 C.3.2与3.3之间 D.3.3与3.4之间 返回 举一反三 27 5.估计面积等于7的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）是( ) B A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 返回 举一反三 28 每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴于的点来表示呢？你能在数轴上找到表示无理数的点吗？ 探究新知 思考·交流 前面讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a2=2，b2 = 5. （1）如图，OA = OB，数轴上点 A 对应 a，b 中的哪个数？ 0 1 2 3 －1 1 B A 探究新知 （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 0 1 2 3 －1 1 C D 探究新知 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 归纳结论 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 探究新知 1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ , 3.97 , -234.101 010 10···（相邻两个1之间有1个0）, 0.123 456 789 101 112 13···（小数部分由相继的正整数组成）. 有理数 有理数 有理数 无理数 · 【教材P30 习题2.1 第1题】 当堂检测 2.判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的不是有理数. （ ） × √ × × 无限循环小数是有理数 【教材P30 习题2.1 第2题】 当堂检测 【教材P30 习题2.1 第3题】 3. 举出三个有关无理数的实例. 当堂检测 【教材P30 习题2.1 第4题】 4. 同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 边长：a a a 同一个正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数 对角线： a 当堂检测 【教材P30 习题2.1 第5题】 5. 如图，4×4 的方格纸中每个小方格的边长均为 1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 解：如图所示，红色的线段长都能用有理数表示；蓝色的线段长都不能用有理数表示.（答案不唯一） 当堂检测 【教材P30 习题2.1 第6题】 6. 请你在方格纸上按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数. 解：如图所示. 当堂检测 知识点2 非有理数的估算 3.小明想了解一个面积是5的正方形的边长 的近似值,首先,他通过计算 得到,，所以的整数部分是___。又因为 , ,所以他得到____ ____。 2 2.2 2.3 返回 举一反三 39 6.［2025西安铁一中月考］下列各数中，不是有理数的是( ) C A.面积为16的正方形的边长 B.体积为27的正方体的棱长 C.直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D.长为4,宽为3的长方形的对角线长 返回 举一反三 40 课堂小结 实数 概念 分类 实数范围内的相关概念 有理数和无理数统称实数 有理数和无理数 正实数，0，负实数 按性质符号分 按概念分 相反数 绝对值 倒数 运算法则和运算律 实数和数轴上的点的关系 大小比较 有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用 一一对应 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 正数大于0和负数；负数小于0；两个负数比较，绝对值大的反而小 课堂小结 谢谢观看 THANKS 学习目标 $