第2讲：集合间的基本关系【八大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义、符号及图形表示，空集的定义与性质，构建从基础概念到应用题型的学习支架，衔接集合概念与后续运算。 资料亮点在于8类题型分层设计，例题与变式结合，通过参数求解等问题培养数学思维，图形符号结合发展数学眼光，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习查漏补缺。

第2讲：集合间的基本关系 题型一. 求集合的子集（真子集） 2 题型二. 判断集合的子集（真子集）的个数 2 题型三. 判断两个集合的包含关系 3 题型四. 根据集合的包含关系求参数 4 题型五、判断集合相等关系 5 题型六：由集合相等求参数问题 6 题型七、空集的性质应用 7 题型八：集合间的基本关系综合问题 8 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 题型一. 求集合的子集（真子集） 【例1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 【变式1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由 或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 【变式2】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 题型二. 判断集合的子集（真子集）的个数 【例2】．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 【变式1】．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式2】．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 题型三. 判断两个集合的包含关系 【例3】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 【变式2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 题型四. 根据集合的包含关系求参数 【例4】（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【变式1】（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 【变式2】（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 题型五、判断集合相等关系 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简三个集合，再根据集合中元素的关系即可得解. 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A 题型六：由集合相等求参数问题 【例6】设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【变式1】（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 【变式2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 题型七、空集的性质应用 【例7】（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 题型八：集合间的基本关系综合问题 【例8】（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式2】设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，包含符号，不能用来描述元素和集合的关系，故错误； 选项B，数字0是集合中的元素，故正确； 选项C，0是一个单独的元素，是包含数字0作为唯一元素的集合，二者属性完全不同，因此不相等； 选项D，0属于集合{0}，故错误. 2．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 4．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 6．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 8．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 9．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 二、多选题 11．（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 12．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用的定义，以及集合键的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则与的关系为________ 【答案】 【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系. 【详解】由 ， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即. 16（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 17．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 【答案】 【分析】集合中只有个元素，故区间端点相等，可解出的值，再利用进行讨论即可求解. 【详解】因为集合中只有个元素，所以， 所以，解得或， 当时，，此时不符合； 当时，，满足， 综上，. 故答案为：. 18．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 【答案】288 【分析】由知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解. 【详解】当时，， 由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素， 当中有两个元素时，集合可以为，，，，元素总和为：； 当中有四个元素时，集合可以为集合，，，中任取两个的并集， 集合共有6种情况，元素总和为：； 当中有六个元素时，集合可以为集合，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：； 当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素和为：. 故答案为：288. 四、解答题 19．（1.2集合的基本关系课堂例题）观察下列每对集合，你能从元素的角度分析它们的关系吗？ (1)设某校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M. (2)用A表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合. (3)有理数集Q与实数集R. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为某校高一（1）班的女同学组成组成集合M的元素均为全体35位同学组成集合P的元素， 即若，则，所以. （2）由矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形，可知所有的矩形都属于平行四边形， 即若，则，所以. （3）因为实数包含有理数和无理数，所以所有的有理数都是实数， 即若，则，所以. 20．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 21．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 22．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 23．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合，直接写出其对应的集合，； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【详解】（1），由于，，， 故，由于，，， ，，，故． （2）依题意，集合的元素构成有序数对 共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为． (3)，理由如下： 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即，综上，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $第2讲：集合间的基本关系 题型一. 求集合的子集（真子集） 2 题型二. 判断集合的子集（真子集）的个数 2 题型三. 判断两个集合的包含关系 2 题型四. 根据集合的包含关系求参数 3 题型五、判断集合相等关系 3 题型六：由集合相等求参数问题 3 题型七、空集的性质应用 4 题型八：集合间的基本关系综合问题 4 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 题型一. 求集合的子集（真子集） 【例1】．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【变式1】．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 【变式2】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 题型二. 判断集合的子集（真子集）的个数 【例2】．新高一年级数学沪教版）满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式1】．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2】．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 题型三. 判断两个集合的包含关系 【例3】．（第02讲集合间的基本关系（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 题型四. 根据集合的包含关系求参数 【例4】．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、判断集合相等关系 【例5】．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：由集合相等求参数问题 【例6】．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 题型七、空集的性质应用 【例7】．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【变式1】．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【变式2】．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 题型八：集合间的基本关系综合问题 【例8】．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式2】．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 8．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11（26-27高一上·山西运城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 12．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 13．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 三、填空题 14．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则与的关系为________ 16．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 17．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中只有个元素，且，则______. 18．（25-26高一上·上海松江·期中）已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为__________. 四、解答题 19．观察下列每对集合，你能从元素的角度分析它们的关系吗？ (1)设某校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M. (2)用A表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合. (3)有理数集Q与实数集R. 20．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 21．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 22．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 23．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合，直接写出其对应的集合，； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 6 5 学科网（北京）股份有限公司 $