第1讲：集合的概念讲义【七大题型+知识归纳+高分练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义、元素与集合的关系（属于或不属于）、集合元素的特性（确定性、互异性）、常见数集符号及集合的表示方法（列举法、描述法），构建从概念到应用的完整知识支架。 资料亮点在于题型设计层层递进，从基础概念辨析（如判断“个子偏高的学生”能否构成集合）到综合应用（如含参数集合问题），结合例题与变式题。通过实例培养学生用数学眼光抽象集合本质，用数学思维推理参数取值，用数学语言规范表示集合。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

第1讲：集合的概念 题型一：集合的概念 1 题型二：元素与集合的关系 3 题型三：集合的三大特性求参数问题 3 题型四：列举法表示集合 4 题型五：描述法表示集合 5 题型六：集合元素的个数问题 7 题型七：集合的基本概念综合问题 8 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 题型一：集合的概念 【例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 【变式1】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 题型二：元素与集合的关系 【例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由于，，，，故②错误，①③④正确. 【变式2】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 题型三：集合的三大特性求参数问题 【例3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【变式1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由，则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以.故选：B 题型四：列举法表示集合 【例4】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. 题型五：描述法表示集合 【例5】 （2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 【变式2】（1.1.1集合及其表示方法（第2课时）课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 题型六：集合元素的个数问题 【例6】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 【变式1】（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论求解即得． 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 题型七：集合的基本概念综合问题 【例7】（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【答案】(1){8} (2) (3) (4) 【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． （2）方程可化为：， 所以，所以方程的解集为． （3）由，得.故不等式的解集为． （4）“二次函数的图象上的所有点”用描述法可表示为． 【变式1】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【变式2】（1.1.1集合及其表示方法（第1课时）课后作业（巩固））已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【答案】B 【详解】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定用大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 2．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 3．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 5．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 6．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 8．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 10．（25-26高一上·福建·阶段检测）非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】CD 【分析】由题意，根据性质一一判断即可. 【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 11．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】由根式与平方意义求解方程即可判断A；解不等式组即可判断B；化简实数，，再结合集合中元素的互异性即可分析求解判断C；根据集合中的元素的特点可得是6的正整数约数，即可求解判断D. 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 三、填空题 12．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 13．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 15．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 16．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 四、解答题 17．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 18．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 20．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1) 证明：依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； (2) 证明：假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：集合的概念 题型一：集合的概念 2 题型二：元素与集合的关系 2 题型三：集合的三大特性求参数问题 3 题型四：列举法表示集合 3 题型五：描述法表示集合 3 题型六：集合元素的个数问题 4 题型七：集合的基本概念综合问题 4 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 题型一：集合的概念 【例1】下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 题型二：元素与集合的关系 【例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型三：集合的三大特性求参数问题 【例3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 题型四：列举法表示集合 【例4】（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 题型五：描述法表示集合 【例5】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【变式1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式2】（1.1.1集合及其表示方法（第2课时）课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 题型六：集合元素的个数问题 【例6】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【变式1】（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 题型七：集合的基本概念综合问题 【例7】（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【变式1】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【变式2】（1.1.1集合及其表示方法（第1课时）课后作业（巩固））已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 2．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 8．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 10．（25-26高一上·福建·阶段检测）非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 11．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 三、填空题 12．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 13．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 15．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 16．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 四、解答题 17．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 18．（第01讲集合的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 2 学科网（北京）股份有限公司 $