25.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步训练 2026—2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系直接应用|选择1-5直接求两根和差，填空9-11计算代数式值，夯实概念理解| |中档|公式变形与条件限制|选择6-8结合判别式/根的分布，解答15证明根的存在性，提升推理能力| |提升|跨知识综合与探究|解答16结合直角三角形边长，17构造方程解决非方程问题，发展创新意识|

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步训练苏科版2026—2027九年级数学上册 一、选择题 1．若，是方程的两个根，则（） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（   ） A．0 B． C． D．不能确定 4．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（   ） A．3，6 B．， C．7，14 D．， 8．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 10．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 11．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 三、解答题 13．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 15．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 16．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 17．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．2026 10． 11． 12．2021 13．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 14．【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 15．(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 16．(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 17．【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 18．【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． $