1.3 用反比例函数解决问题【基础通关】-同步检测，2026-2027学年苏科版教学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦反比例函数应用，通过基础选择、概念填空、综合解答三层设计，实现从单一知识点到跨学科情境应用的巩固路径，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |选择题（10题）|反比例函数概念及简单应用|结合近视眼镜度数、溶液配制等生活情境，考查函数关系判断与图象识别| |填空题（6题）|反比例函数表达式及性质|融入物理（电流电阻）、化学（消毒含药量）情境，深化概念理解与计算| |解答题（9题）|综合应用与问题解决|设置长方形面积、压强计算等实际问题，涉及函数建模与多步推理，提升应用能力|

2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.3 用反比例函数解决问题「同步学习自测卷•基础通关」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（    ） A．0米米 B．米 C．0米米 D．米 2．学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 4．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 7．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 8．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 9．在实验课上，小明做了一个实验，如图①在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入水的质量 通过描点连线得到如图②所示的，关于的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A．是关于的反比例函数 B．是关于的反比例函数 C．随的增大而减小 D．的图象向下平移个单位可得的图象 10．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 12．金属的延展性是指金属可被拉成细丝或压成薄片的特性，其中金的延展性在金属中表现尤为突出．现将某颗金豆拉成金丝，已知金丝的横截面积S（单位：）是长度L（单位：m）的反比例函数．当时，．若最终金丝的横截面积变为，则此时金丝的长度为_____m． 13．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 14．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间x分钟成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物20分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能呆在教室里． 15．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． (1)求关于x的函数关系式； (2)y与x是什么函数关系？ 18．（本题6分）某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 19．（本题6分）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． (1)求与的函数表达式； (2)若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 20．（本题6分）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 21．（本题6分）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 22．（本题6分）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 23．（本题8分）如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24．（本题8分）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 25．（本题10分）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册同步自测卷 1.3 用反比例函数解决问题「同步学习自测卷•基础通关」 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（    ） A．0米米 B．米 C．0米米 D．米 【答案】B 【思路引导】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【规范解答】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 2．学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用． 利用已知条件时，，从而得到 w 与 n 的反比例关系式． 【规范解答】解：设， 由题意可得时，，代入可得， ， 解得， 故函数关系式为， 故选：A． 3．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【规范解答】解：设， 根据题意得：， 解得：， 当时，． 故选：A 4．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【思路引导】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【规范解答】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 6．如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 【规范解答】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 7．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【思路引导】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了，再分别求出反比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．代入数值进行计算，即可作答． 【规范解答】解：没加热前的水温是， 则 ∴加热4分钟时水温上升了， 故A选项不符合题意； ∵在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系 ∴设解析式为，把代入， 得 解得， ∴， 当时，则， ∴， 故B选项不符合题意； 茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系， ∴设解析式为 把代入， 得， ∴ ∵在时饮用口感最佳． ∴ ∴ 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ∵该种茶水在时适宜饮用， ∴ ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项符合题意； 故选：D． 8．某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【思路引导】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【规范解答】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 9．在实验课上，小明做了一个实验，如图①在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入水的质量 通过描点连线得到如图②所示的，关于的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A．是关于的反比例函数 B．是关于的反比例函数 C．随的增大而减小 D．的图象向下平移个单位可得的图象 【答案】A 【思路引导】先根据杠杆平衡原理，验证与的乘积为定值，得出是关于的反比例函数，即可判断A；再由推导的表达式，判断其不是反比例函数，即可判断B；接着分析与的一次函数性质，即可判断C；最后根据“上加下减”法则判断图象平移单位长度，即可判断D． 【规范解答】解：选项A：根据杠杆平衡原理，左边力矩固定，因此右边总重量与距离的乘积为定值， 代入表格数据验证：，即，可化为，故是关于的反比例函数， ∴A正确，该选项符合题意； 选项B：加入水的质量（容器质量为），代入得，反比例函数不含常数项，因此不是关于的反比例函数； ∴B错误，该选项不符合题意； 选项C：由可知，与是一次函数关系，且，因此随的增大而增大， ∴C错误，该选项不符合题意； 选项D：函数图象平移遵循“上加下减”原则，的图象向下平移个单位才能得到的图象，而非个单位， ∴D错误，该选项不符合题意． 10．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【规范解答】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 【答案】 【思路引导】利用待定系数法求出电流与电阻的函数关系式，再把代入关系式中求出I的值即可． 【规范解答】解：设电流与电阻的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，． 12．金属的延展性是指金属可被拉成细丝或压成薄片的特性，其中金的延展性在金属中表现尤为突出．现将某颗金豆拉成金丝，已知金丝的横截面积S（单位：）是长度L（单位：m）的反比例函数．当时，．若最终金丝的横截面积变为，则此时金丝的长度为_____m． 【答案】10000 【思路引导】求出反比例函数的解析式，进而求出对应的自变量的值即可. 【规范解答】解：设， 由题意，， ∴， 当时，. 13．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 14．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间x分钟成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物20分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能呆在教室里． 【答案】80 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设出燃烧后的函数关系式，并利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出函数值为4时自变量的值即可得到答案． 【规范解答】解：设燃烧后的函数关系式为， ∴， ∴， ∴燃烧后的函数关系式为， 在中，当时，， ∴从消毒开始，至少需要经过80分钟后，学生才能呆在教室里， 故答案为：80． 15．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】200 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【规范解答】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， ， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了200度． 故答案为：200． 16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，用待定系数法求出反比例函数解析式，当时，代入解析式求出的值，进而计算即可，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由题意设关于的函数图像解析式为， ∴， ∴关于的函数图像解析式为， 当时，， ∴近视眼镜的度数减少了（度）， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共62分） 17．（本题6分）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． (1)求关于x的函数关系式； (2)y与x是什么函数关系？ 【答案】(1) (2)反比例函数关系 【思路引导】用长方形的面积建立和的关系式，即可求得函数关系式，根据关系式即可确定函数关系． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴ ∵墙长，靠墙边为， ∴，即 ∴ ∴； （2）∵符合反比例函数的形式， ∴y与x是反比例函数关系． 18．（本题6分）某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 【答案】(1) (2)至少为才能安全通过 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压力及受力面积之间的关系． （1）设p与S的函数表达式为，由图可知，当时，，利用待定系数法即可求解； （2）令压强小于等于，求得面积即可． 【规范解答】（1）解：设p与S的函数解析式为，由图可知，当时，， 所以有， 解得：， 即：p与S的函数解析式； （2）解：根据题意得，， ∴， 解得， 即若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为才能安全通过． 19．（本题6分）推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． (1)求与的函数表达式； (2)若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 【答案】(1) (2)施工时地面受力面积至少为． 【思路引导】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设，代入，， 得， 所以； （2）解：当时，解得， ∵在中，当时，p随S增大而减小， 所以当时，， ∴施工时地面受力面积至少为． 20．（本题6分）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 【答案】(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； (2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡． 【思路引导】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，后根据题意代入求出和即可； （2）由题意可知当时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可． 【规范解答】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：， 将和分别代入两个关系式得： 解得：， ∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为， 小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； （2）把分别代入两个函数得： 解得：， （L），（L）． 答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡． 21．（本题6分）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 【答案】(1) (2)托盘与点之间的距离是 (3) 应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【思路引导】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． （3）略 22．（本题6分）在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【思路引导】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【规范解答】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越小，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③； （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米． 23．（本题8分）如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)10 (2) (3)见解析 (4)13分钟 【思路引导】（1）根据“升温速率=总温差÷总时间”计算即可， （2）设反比例函数解析式为，根据图象过点，利用待定系数法求出值即可， （3）根据求出的反比例函数解析式，取为800的因数且的整数值，计算对应的值，描点画图， （4）水温不低于包含两个阶段：加热阶段和降温阶段。分别令加热时的函数值和降温时的函数值，求出对应的时间范围，计算时间差． 【规范解答】（1）解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． （2）解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． （3）解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： （4）解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 24．（本题8分）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设在移动前托盘中的砝码质量为，则在移动前托盘与点的距离为，根据当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据图象可知是关于的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：设在移动前托盘中的砝码质量为， 由题意得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 25．（本题10分）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【思路引导】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【规范解答】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $