广东省湛江市赤坎区湛江第一中学2025-2026学年第二学期期中综合素养评价八年级级数学科试卷

**基本信息** 融合数学文化与生活实践，梯度设计考查运算能力、几何直观与创新意识，适配初二期中核心知识检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|同类二次根式、函数概念、矩形性质|第10题以《算法统宗》“荡秋千”问题考查勾股定理应用| |填空题|5/15|自变量取值范围、三角形中位线|第15题通过动点恒在直线上考查一次函数解析式| |解答题（一）|3/21|二次根式运算、多边形内角和|基础运算与概念辨析结合，巩固核心技能| |解答题（二）|3/27|勾股定理逆定理、菱形证明|第21题结合柏拉图勾股数公式与《九章算术》史料，渗透数学史| |解答题（三）|2/27|一次函数综合、正方形折叠最值|第23题动态折叠问题，考查几何直观与推理能力，体现创新应用|

湛江第一中学2025-2026学年第二学期期中综合素养评价 初二级数学科试卷 时间：120分钟；满分：120分；命题：DHX；审题：MSY 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列图象不能反映是的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 5．用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（    ） A．cm B．cm C．2cm D．cm 6．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 7．如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ） A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 9．若点，都在一次函数的图象上，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．函数中自变量x的取值范围是______． 12．如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为______． 13．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 14．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 15．无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 三、解答题（一）:本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．计算： （1）2×﹣； （2）÷﹣×＋． 17．如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 18．已知一次函数． (1)图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值； (2)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．如图，已知在中，于点D，，，， (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 20．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 21．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若m表示大于1的整数，试证明是一组勾股数； (3)请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 五、解答题（三）:本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．综合与探究 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．   (1)求点与点的坐标． (2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）． (3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 湛江第一中学2025-2026学年第二学期期中综合素养评价 初二级数学科试卷参考答案 时间：120分钟；满分：120分；命题：DHX；审题：MSY 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：＝2， A、＝3，与属于同类二次根式，故本选项正确； B、＝，与不属于同类二次根式，故本选项错误； C、＝2，与不属于同类二次根式，故本选项错误； D、＝2，与不属于同类二次根式，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 2．在平行四边形中，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 故选：． 3．下列图象不能反映是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别、函数的概念 【分析】根据函数的定义，设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，据此作答即可． 【详解】解：A、当x取一定值时，y有唯一与它对应的值，则y是x的函数，故选项不合题意； B、当x任取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项不合题意； C、当x任取一定值时，y有两个值与它对应，y不是x的函数，故选项符合题意； D、当x任取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项不合题意． 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等， ②矩形的四个角都是直角， ③矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等， ②菱形的对角相等， ③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 5．用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（    ） A．cm B．cm C．2cm D．cm 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，D为边的中点， ∴ 故选：B 6．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 7．如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 8．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． 根据图象得出关键信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，时和时水深最高，故本选项不符合题意； B、由图象可知，时到时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意； C、由图象可知，时的水深，故本选项不符合题意； D、两次最高水深的时间间隔为小时，故本选项符合题意． 故选：． 9．若点，都在一次函数的图象上，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】由利用一次函数的性质可得随的增大而减小，结合即可得出结论． 【详解】解： ∴随的增大而减小， 又 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减大，当时，随的增大而减小”是解此题的关键． 10．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，根据二次根式有意义，则被开方数大于或等于求出x的范围． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如图，对角线、相交于点，为的中点，，，则的周长为______． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．首先证明，再由为中点，推出，然后计算周长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，其对角线、相交于点， ， 为的中点，， ，是中位线， ， 的周长为， 故答案为：． 13．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 14．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 【答案】3 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】利用勾股定理可得出的平方等于另外两个正方形的面积差(大的减小的)，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：． 则， 15．无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 【答案】9 【知识点】求一次函数解析式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，令，则；再令，则．再利用待定系数法求直线的解析式，再根据直线上点的坐标与函数解析式的关系得到，再求代数式的值． 【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上， ∴令，则；再令，则． 设直线l的解析式为， ∴ ，解得 ． ∴直线l的解析式为：． ∵是直线l上的点，∴，即． ∴． 故答案为：9 三、解答题（一）:本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．计算： （1）2×﹣； （2）÷﹣×＋． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 17．如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是多少？ 【答案】这个多边形的边数是8 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，设多边形的边数是，根据题意，列出方程进行求解即可，掌握多边形的内角和公式以及外角和为360度，是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数是， 由题意，得：， 解得：； 故这个多边形的边数是8． 18．已知一次函数． (1)图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值； (2)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据图象与y轴交点在x轴的上方，y随x的增大而减小，据此列不等式组求出m的范围，进而确定m整数的值即可； （2）根据函数图象平行于，即可得到，进而得到m的数值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴m的整数值为：2． （2）解：由题意得：， 解得：，则， ∴． 四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．如图，已知在中，于点D，，，，    (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在中，利用勾股定理求的的长度，再在中求得的长度，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， 在中， ∴ （2）证明：∵，，， ∴，即 ∴是直角三角形， 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 20．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 21．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若m表示大于1的整数，试证明是一组勾股数； (3)请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)答案不唯一，例如，等 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）解：把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）解：表示大于1的整数， ，，都是正整数， ，， 是最大边， ， 是一组勾股数； （3）解：，等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 五、解答题（三）:本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．综合与探究 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．    (1)求点与点的坐标． (2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）． (3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， ； (2)； (3) 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）由于与相交于点，可以求出与的中的，的值，进而确定与的函数解析式，根据一次函数与分别与轴相交于、两点，列出对应的方程，即可求出、两点坐标． （2）通过观察与的函数图象，就能发现当自变量时，． （3）要使，就要找到两个三角形共同的底，即为，设点到的距离是，点到的距离是，通过三角形面积公式的比较，得出，从而得到，最后得到点坐标． 【详解】（1）一次函数与一次函数的图像交于点， ， 解得：， 一次函数的表达式：，． 设点坐标为，点坐标为， 又一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点， ， 解得：， 点坐标为，点坐标为． （2）由函数图象可知，在点时，， 在点右侧，的图象在图象的上方， 即，自变量的取值范围是． （3）如下图，以为底，设点到的距离是，点到的距离是，    ，， ， ， 即点到的距离与点到的距离相等， 点的纵坐标为， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、正方形折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可得，即；②由正方形的性质得到，则．由折叠的性质可得．由全等三角形的性质得到．设，则，， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，过点作交的延长线于点．证明．得到．证明．得到．则．再证明，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②∵四边形是正方形， ∴， 点是BC中点，， ． 由折叠的性质可得． ∵， ． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ． 的长为． （2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ． ． ， ． ． 又∵， ． 由（1）得，在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，， ． ， 即当点在上运动时，点始终在的角平分线上． 当，即时，的值最小． 此时，． ． 在中，，即， ． 的最小值为． 第7页（/共4页） 第8页/（共34页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 $