第一章 二次函数【单元培优自测卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙江地区九年级二次函数单元培优卷，覆盖定义、图像性质、平移、最值等核心知识，结合商场销售、植物生长等实际情境与探究性问题，适配单元复习培优需求，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像与坐标、平移|结合图像辨析象限（题2）、交点问题（题5），考查几何直观| |填空题|6/24|对称轴应用、面积最值、平行四边形存在性|开心农场面积问题（题13）体现模型意识，综合几何与函数| |解答题|7/66|解析式求解、利润最值、图像翻折与探究|商场利润最值（题21）培养应用意识，植物叶片生长探究（题23）融合几何与创新思维，符合单元复习综合要求|

第一章 二次函数【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）下列平移中，不能使二次函数经过点的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向下平移3个单位 D．向上平移4个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换的知识点，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律以及图象过的特点．根据二次函数平移与坐标的性质得出，左加右减，上加下减分别得出平移后的解析式，再把代入即可得出答案． 解：抛物线， 则当向左平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此A不符合题意； 则当向右平移2个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此B不符合题意； 则当向下平移3个单位，得到， 当时，，抛物线不经过，故此C符合题意； 则当向上平移4个单位，得到， 当时，，抛物线经过，故此D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 6．（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴， 其他选项的值都不确定． 故选B． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数图象与x轴有交点，利用判别式大于等于0求出a的范围，再求出抛物线对称轴，结合开口方向和时，y随x的增大而增大的性质，得到对称轴的限制条件，最后取两个范围的交集得到结果． 解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 又∵当时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴对称轴满足，解得， ∴a的取值范围是． 8．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 9．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据抛物线的解析式，先求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，根据抛物线上有且只有三个不同点满足以为底的三角形的面积相等，判断该三个点中有一个是抛物线的顶点，从而算出m的值． 解：∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴点，点，该抛物线的对称轴是直线， ∴，该抛物线顶点的纵坐标是：， ∵在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m， ∴m8， 故选：B． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点及三角形的面积．解决本题的关键是找到满足使、、的面积相等的一个点． 10．（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点和对称轴可得，，则选项A正确；将点代入二次函数的解析式即可得选项B正确；根据对称性可得点在这个二次函数的图象上，利用增减性即可得选项C正确；求出二次函数的最大值即可得选项D错误． 解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，选项A正确； ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴，即，选项B正确； ∵这个二次函数的图象开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∴点在二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，选项C正确； 将代入二次函数得：， ∴这个二次函数的最大值为， ∵点在二次函数的图象上， ∴，即，选项D错误． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2026·浙江宁波·一模）如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________． 【答案】 【分析】由二次函数图象经过点，对称轴为直线，可以求得其关于对称轴对称点的坐标，即可解答． 解：∵二次函数图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象经过点， ∴， 故答案为： 【点拨】本题主要考查二次函数图象的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 12．（24-25九年级上·广西河池·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与轴的一个交点是，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意利用待定系数法求出的值，再求出二次函数最大值，继而利用图象性质即可得到本题答案． 解：∵与轴的一个交点是， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线最大值为：， ∴根据图象可知，当时，的取值范围：， 故答案为：． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 15．（2026·广西柳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是设，用n表示出的面积． 把点分别代入和，求出b、k的值，设，用n表示出的面积，根据，求出面积的最大值和最小值即可． 解：把点分别代入和得： ，解得：， ，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 点P是线段上一点，设， 把点代入可得， ， ， ，且， 当时，S有最大值，且最大值是2， 当或时，S有最小值，且最小值是， ∴S的取值范围为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … （1）_____________； （2）求该二次函数的表达式； （3）y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． （1）解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； （2）解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． （3）解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． 18．（8分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】（1）证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． （2）的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 解：（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 19．（8分）（2026九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知二次函数． （1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． （2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】（1）是，；（2）0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P （，），利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； （1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 20．（10分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为_____________； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． （1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 21．（10分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】（1）80；（2）当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元；（3）16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 22．（12分）（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的取值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． （1）解：将，代入， 得， 解得，， 故抛物线表达式为． （2）解：联立， 得， 因直线与抛物线只有一个交点， 故， 整理得， 解得． 23．（12分）（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解； （3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解． 解：（1）把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 如图，过点作轴，交直线于点， 将代入中，得：， ∴， ∴， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是关于对称轴直线的一对对称点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴； （3）如图： ∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）下列平移中，不能使二次函数经过点的是（   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向下平移3个单位 D．向上平移4个单位 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 9．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 10．（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2026·浙江宁波·一模）如图，二次函数图象经过点，对称轴为直线x=1，则9a+3b+c的值是__________． 12．（24-25九年级上·广西河池·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，抛物线与轴的一个交点是，当时，的取值范围是______． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 15．（2026·广西柳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    16．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … （1）_____________； （2）求该二次函数的表达式； （3）y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 18．（8分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 19．（8分）（2026九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知二次函数． （1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． （2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 20．（10分）（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为_____________； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 21．（10分）（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 22．（12分）（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的取值． 23．（12分）（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $