第一章 二次函数【单元基础自测卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙江地区九年级二次函数单元基础自测卷，120分钟120分，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识点，结合中考真题与情境探究题，适配单元复习，培养数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移（如第6题中考真题）|基础概念辨析，融合多地阶段检测题| |填空题|6/24|解析式转化（第12题）、图像与坐标轴交点（第14题）|注重性质应用，含图像旋转创新题（第15题）| |解答题|7/66|解析式求解（第17题）、利润最值（第20题）、种植园面积探究（第23题）|分层设计，压轴题结合几何情境，体现数学建模与推理能力，贴合中考命题趋势|

第一章 二次函数【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．（2026·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）若二次函数上两点，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】先根据点，，的纵坐标相等可知两点关于抛物线的对称轴对称，再根据中点坐标公式求出对称轴直线即可； 解：点，的纵坐标相等， 故两点关于抛物线的对称轴对称， 故抛物线的对称轴为：， 故选：C． 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，根据题意得出两点关于抛物线的对称轴对称是解答此题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数，根据题意，求解即可. 解：根据题意可得函数图像的对称轴为直线，开口向上的二次函数， 在对称轴的右边随的增大而增大，则， 故选：D． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 7．（2026·广东茂名·三模）二次函数的图像如图所示，下列四个判断：①；②；③；④．其中正确的是（　　）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像性质．根据题意对序号逐个判断即可得到本题答案． 解：∵抛物线开口向上、与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵当时，， ∴结论②正确； ∵抛物线的对称轴在0和1之间，， ∴， ∴， 故结论③错误； ∵当时，， ∴结论④错误； 故选：A． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 9．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点（在的左侧），其中点的横坐标为，一次函数经过、两点，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点式即可求得点的坐标，利用抛物线的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求解． 解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为， ， 由图可得：，则的取值范围是或．    故选：B． 【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数化成的形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 解： ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上性质是解题的关键．首先将代入求出二次函数解析式，确定最值，再分别讨论，0，2时y的最值即可． 解：把代入中， 得， 解得， 二次函数解析式为， 由可知顶点坐标为， ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出自变量为时的函数值即可得到二次函数的图象与轴的交点坐标． 解：把代入得：， 该二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 15．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 16．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的图象与性质可依次排除选项，然后问题可求解． 解：根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称， ∴，即，故①正确； ∵为抛物线上纵坐标相同的两点， ∴轴，故②正确； ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴根据轴对称的性质可知：，故③正确； 由图象可知：当时，则有，故④错误； ∵抛物线过原点， ∴当时，则，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（24-25九年级上·吉林·阶段检测）若二次函数的图象经过，两点，求该二次函数的解析式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用待定系数法进行求解即可． 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴． 18．（8分）（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数． （1）把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 【答案】（1），顶点坐标为，对称轴为直线；（2）当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即把一般式转化为顶点式，再根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． （1）解：， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为直线， ∴当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小． 【点拨】本题考查将二次函数一般式改为顶点式，求二次函数图象的顶点坐标和对称轴，二次函数的图象和性质．熟知二次函数的顶点式是解题关键． 19．（8分）（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）二次函数的解析式为． （1）求证：无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）当时， ①求抛物线与轴的两个交点的坐标； ②当函数值大于0时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则， ∵，，，    ∴， ∴方程有实数根， ∴无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）①，；② 【分析】（1）证明抛物线总与轴有交点，即证明判别式始终大于等于0，将、、代入其中计算解得，所以证明成立； （2）①求抛物线与轴的两个交点的坐标，即可先求，再解得的两个值，进而得到两个交点坐标； ②当函数值大于0时，已求得抛物线与轴的两个交点的坐标，根据开口方向向下，由图像可得的取值范围为． 解：（1）略． （2）①当时， 令，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴抛物线与轴的两个交点的坐标分别为、； ②当时 令，则 解得，， 要求函数值大于，即求，此时，抛物线开口向下， ∴，的取值范围为． 【点拨】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式等知识点，把二次函数交点问题转化为解一元二次方程问题是解题的关键． 20．（10分）（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； （3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 【答案】（1）；（2）30吨；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用： （1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． （1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 解得， 设销售收入为P（万元）， ， 令， 解得，（舍去）， 原料的质量为30吨时，销售收入为300万元． （3）解：设销售总利润为W（万元）， ， ， 当时，W有最大值为， 原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 21．（10分）（2026·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的表达式及点B的坐标； （2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2）满足条件的点D的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合 （1）用待定系数法求二次函数的解析式，另可求出B的坐标； （2）求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． （1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为．        在中， 当时，则， 解得， （2）如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ．        当时，， 当时，， 解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，， 解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 22．（12分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数． （1）若当时，该函数有最小值，求k的值； （2）若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值； （3）若，当时，y随着x的增大而增大，求m的范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）当时，随着的增大而增大． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的性质． （1）先二次函数的解析式化为一般式，写出抛物线的对称轴方程，利用二次函数的性质得到，然后解方程即可； （2）写出平移后的抛物线解析式，再利用判别式的意义得到，然后解关于的方程； （3）利用和二次函数的性质得到当时，随着的增大而增大，从而得到． （1）解：由题得：， ∵当时，函数有最小值， ∴， 解得：； （2）解：由题得：由题平移后， 抛物线， ∵此时与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或； （3）解：由题得：当时，抛物线对称轴为： ， ∵当时，y随着x的增大而增大，且抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴． 23．（12分）（2026·浙江衢州·一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】（1）方案1中，方案2中，矩形种植园面积最大为（2）图示如下： 同（1）过程，可分别求得： 方案1：∵，则． ∴（）． ∴当时， ． 方案2： （） ∴当为12时，达到最大，最大值是48． 可见矩形种植园面积最大为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意，列出二次函数关系式，然后再求最值即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：根据题意得出面积的函数关系式，然后利用其性质求解即可；方案2：设，然后确定相应函数关系式求解即可； （2）同（1）方法类似，确定函数关系式求解即可． 解：（1）方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，， 方案2：设，则， ∴， ∵， 当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）若二次函数上两点，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数的图象，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·广东茂名·三模）二次函数的图像如图所示，下列四个判断：①；②；③；④．其中正确的是（　　）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点（在的左侧），其中点的横坐标为，一次函数经过、两点，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）当______时，函数是二次函数． 12．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）二次函数化成的形式是_________． 13．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 14．（24-25九年级上·上海·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标是______． 15．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 16．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（24-25九年级上·吉林·阶段检测）若二次函数的图象经过，两点，求该二次函数的解析式 18．（8分）（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数． （1）把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 19．（8分）（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）二次函数的解析式为． （1）求证：无论取何值，抛物线总与轴有交点； （2）当时， ①求抛物线与轴的两个交点的坐标； ②当函数值大于0时，请直接写出的取值范围． 20．（10分）（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； （3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 21．（10分）（2026·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． （1）求二次函数的表达式及点B的坐标； （2）若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 22．（12分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数． （1）若当时，该函数有最小值，求k的值； （2）若将二次函数的图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值； （3）若，当时，y随着x的增大而增大，求m的范围． 23．（12分）（2026·浙江衢州·一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 学科网（北京）股份有限公司 $