1.2（3） 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从知识梳理到中考链接梯度递进，覆盖二次函数一般式核心知识点，注重基础巩固与素养提升结合。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念（顶点式、开口方向等）|前置填空梳理知识，夯实基础| |基础达标|基本图象与性质（配方、平移等）|分题型对应考点，如一般式与顶点式互化| |能力提升|综合应用与最值|结合开口方向与对称轴比较函数值，提升推理能力| |素养探究|函数几何综合|菱形面积等问题，体现几何直观与模型意识| |中考链接|中考真题演练|适配阶段测评，强化应用意识与运算能力|

1.2（3） 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】二次函数一般式的基本图象 2 【题型2】一般式函数开口方向与最值判断 2 【题型3】一般式与顶点式互化 3 【题型4】一般式图象平移变换应用 4 三.能力提升 4 【题型1】函数值大小比较综合题型 4 【题型2】一般式与最值问题综合 5 四.素养探究 6 【题型】二次函数图象几何综合探究 6 五.中考链接 7 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理本节二次函数一般式核心知识点： 1. 二次函数一般式为 ，可通过配方转化为顶点式 ，其中对称轴直线为________，顶点坐标为________。 2. 在二次函数 中：当 时，抛物线开口______，顶点为最______点。 当 时，抛物线开口______，顶点为最______点。 3. 二次函数 中， 决定________， 与 共同决定________， 决定抛物线与________轴交点纵坐标。 4. 抛物线与轴的交点坐标为________。 二.基础达标 【题型1】二次函数一般式的基本图象 核心考点：根据 解析式，判断开口方向、对称轴、顶点坐标，掌握一般式基础图象特征。 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数，求顶点坐标．小明的计算过程如下： 解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ 请你认真检查一下，小明是从第（    ）步开始出现错误的． A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26九年级上·广东云浮·期中）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_____ 3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型2】一般式函数开口方向与最值判断 核心考点：结合对称轴位置，求解二次函数最大、最小值。 1．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线，若当时，的最大值是，求当时，的最小值是______． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知函数，当时，函数的最小值为_________． 【题型3】一般式与顶点式互化 核心考点：熟练运用配方法将一般式化为顶点式，能够根据顶点式还原一般式，掌握配方核心步骤。 1．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为______． 3．（25-26九年级下·青海西宁）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型4】一般式图象平移变换应用 核心考点：一般式二次函数平移问题，先配方再结合平移规律解题，掌握平移前后解析式变化规律。 1．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数（m是常数）．把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？ 3．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式． 三.能力提升 【题型1】函数值大小比较综合题型 核心考点：结合开口方向、点到对称轴的距离，比较任意两点函数值大小，灵活运用图象性质解题。 1．（24-25九年级下·福建福州·期末）二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若函数的图象上有两点，，若，则（　　） A． B． C． D．，的大小不确定 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，比较，，的大小，用“＜”按从小到大顺序排列______ ． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小________． 【题型2】一般式与最值问题综合 核心考点：已知自变量求函数值、已知函数值求自变量，夯实一般式基础运算能力。 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 2．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 4．（2026·山东菏泽·一模）定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 四.素养探究 【题型】二次函数图象几何综合探究 核心考点：结合抛物线顶点、交点坐标，求解图形周长、面积，实现函数与几何简单综合应用。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 2．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，拋物线与轴仅有一个公共点，经过点的直线交该抛物线于点 ，交轴于点，且点是线段的中点． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）求直线对应的函数表达式； （3）若点在轴上，且是等腰三角形， 请直接写出点的坐标． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（为任意实数） 3．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 6．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 三、解答题 7．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 9．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（3） 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】二次函数一般式的基本图象 2 【题型2】一般式函数开口方向与最值判断 4 【题型3】一般式与顶点式互化 6 【题型4】一般式图象平移变换应用 8 三.能力提升 10 【题型1】函数值大小比较综合题型 10 【题型2】一般式与最值问题综合 13 四.素养探究 15 【题型】二次函数图象几何综合探究 15 五.中考链接 22 六.自我评价 35 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理本节二次函数一般式核心知识点： 1. 二次函数一般式为 ，可通过配方转化为顶点式 ，其中对称轴直线为________，顶点坐标为________。 2. 在二次函数 中：当 时，抛物线开口______，顶点为最______点。 当 时，抛物线开口______，顶点为最______点。 3. 二次函数 中， 决定________， 与 共同决定________， 决定抛物线与________轴交点纵坐标。 4. 抛物线与轴的交点坐标为________。 【参考答案】 1. ； 2. 向上；低； 向下；高 3. 开口方向与开口宽窄；对称轴位置； 4. 二.基础达标 【题型1】二次函数一般式的基本图象 核心考点：根据 解析式，判断开口方向、对称轴、顶点坐标，掌握一般式基础图象特征。 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数，求顶点坐标．小明的计算过程如下： 解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ 请你认真检查一下，小明是从第（    ）步开始出现错误的． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第③步出现错误． 解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是， 故从第③步开始出现错误， 故选C． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化． 2．（25-26九年级上·广东云浮·期中）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_____ 【答案】 直线 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．正确写出二次函数的顶点式是解题的关键． 由，进行作答即可． 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：直线；． 3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口向下，， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式． 解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【题型2】一般式函数开口方向与最值判断 核心考点：结合对称轴位置，求解二次函数最大、最小值。 1．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真观察函数图象，得抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，；当时，；当时，；故当时，有最小值，最大值2，即可作答． 解：观察函数图象，得出抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， 在对称轴的左边时，随着的增大而增大， 依题意，当时，；当时，； ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，有最小值，最大值2， 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线，若当时，的最大值是，求当时，的最小值是______． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可得顶点在范围内，y的最大值是1，得顶点坐标为，把顶点代入，可得a的值，进而可得y的最小值． 解：∵抛物线， ∴该函数图象的开口向下，抛物线的对称轴为：直线，当时，取得最大值， ∵当时，y的最大值是1， ∴时，，得， ∴， ∵， ∴时，取得最小值，此时， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值，利用二次函数的性质解答． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知函数，当时，函数的最小值为_________． 【答案】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内， 时，为最小值， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系． 【题型3】一般式与顶点式互化 核心考点：熟练运用配方法将一般式化为顶点式，能够根据顶点式还原一般式，掌握配方核心步骤。 1．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 解：， 故选：C． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 解： 故答案为：. 3．（25-26九年级下·青海西宁）已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. （1）解：． （2）略 【题型4】一般式图象平移变换应用 核心考点：一般式二次函数平移问题，先配方再结合平移规律解题，掌握平移前后解析式变化规律。 1．（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，首先把二次函数的解析式写成顶点坐标式，根据抛物线平移时左加右减、上加下减的规律写出平移后的抛物线的顶点坐标，从而得到平移后的二次函数的顶点坐标式解析式，再把它化为一般式即可得到，的值． 解：二次函数写成顶点坐标式为， 抛物线的顶点坐标为， 向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的顶点坐标是， 平移后的二次函数的解析式为， 化为二次函数的一般式为， 抛物线，中，． 故选：C． 2．（26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数（m是常数）．把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？ 【答案】向下平移3个单位长度 【分析】先将给定二次函数的解析式通过配方法转化为顶点式，确定原函数的顶点坐标，通过顶点的纵坐标即可得到需要向下平移的单位长度． 解：， ∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上． 3．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据对称轴为计算即可； （2）直接根据抛物线的平移规律作答即可． （1）解：由题意，得． ∴； （2）解：由（1）知， ∴将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线表达式为 两次平移后得到的抛物线表达式为． 【点拨】本题考查了二次函数的对称轴和二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式（a，b，c为常数，），“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 三.能力提升 【题型1】函数值大小比较综合题型 核心考点：结合开口方向、点到对称轴的距离，比较任意两点函数值大小，灵活运用图象性质解题。 1．（24-25九年级下·福建福州·期末）二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较，需先确定顶点位置，再计算各点纵坐标，然后相比即可得出答案． 解：二次函数的顶点横坐标为， 代入得顶点纵坐标，即顶点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，则取最小为， ∴为最小值． 当时，， 当时，， 则， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若函数的图象上有两点，，若，则（　　） A． B． C． D．，的大小不确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 解：抛物线的对称轴为：， ，且， ， 故选A． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知，，是二次函数图象上的点，比较，，的大小，用“＜”按从小到大顺序排列______ ． 【答案】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答． 解：∵抛物线的对称轴为，，开口向下， ∴当图象上的点离对称轴越近，对应的纵坐标越大， ∴ 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减少，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 【题型2】一般式与最值问题综合 核心考点：已知自变量求函数值、已知函数值求自变量，夯实一般式基础运算能力。 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 2．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵且， 此时y随x的增大而增大， 当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为， ∵函数值的最大值与最小值之和为15， ∴， 解得：（舍去）或0． 3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 4．（2026·山东菏泽·一模）定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数最值问题，根据新定义运算规则得到二次函数解析式，再利用配方法将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出最小值． 解： ， 二次项系数，抛物线开口向上， 当时，函数取得最小值，最小值为． 四.素养探究 【题型】二次函数图象几何综合探究 核心考点：结合抛物线顶点、交点坐标，求解图形周长、面积，实现函数与几何简单综合应用。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 【答案】（1）;（2）菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． （1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 2．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，拋物线与轴仅有一个公共点，经过点的直线交该抛物线于点 ，交轴于点，且点是线段的中点． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）求直线对应的函数表达式； （3）若点在轴上，且是等腰三角形， 请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．               （1）已知抛物线与轴仅有一个公共点，根据，建立方程，求出的值即可； （2）先求出抛物线的顶点的坐标，由已知得点与点关于点对称，因此得出点的横坐标为，代入二次函数的解析式，就可以求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）若点在轴上，且是等腰三角形， 分三种情况：当；当；当，分别求出点的坐标即可． 解：（1）拋物线与轴仅有一个公共点， ， 解得： （舍去），或， 抛物线解析式为； （2）， 顶点坐标为， 点是线段的中点，即点与点关于点对称， 点的横坐标为， 当时，， 则， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （3），， ， ， 设点的坐标为， ①当时， ，， ， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，， ， 点的坐标为； ③当时， ，，， ，， ， 解得：， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 3．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 二、填空题 4．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 6．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 三、解答题 7．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）2；（2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． （1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）略 （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． （1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 9．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0，；（2）①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． （1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $