第一章二次函数专项训练——二次函数图象与性质 同步练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、增减性、平移等单一知识点|选择1直接考查顶点性质，填空9比较函数值，夯实概念理解| |中档|图象与系数关系、平移综合、区间最值|选择7多结论判断，解答14结合矩形周长求最值，提升推理能力| |提升|新定义“绝美值”、含参数证明、几何综合|填空11“绝美值”探究，解答15参数不等式证明，发展创新意识与模型观念|

第一章二次函数专项训练 ——二次函数图象与性质 一、选择题 1． 已知抛物线 的顶点坐标为(-2，-1)，下列说法正确的是(　　) A． B．当x=-2时，二次函数有最小值为3 C．当x>-2时，y随x 的增大而减小 D．当-3<x<-1时，y<0 2．若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（　　）（滨河实验中学林翠风供） A． B． C． D． 3．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 4．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）. A． B． C． D． 5．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则其中正确的有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点，是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为；②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根为和，其中正确结论的序号是　　 A．①④ B．①② C．②③ D．①③④ 二、填空题 9．已知A(-3，m)，B(3，n)是抛物线 上的两点，则m　 　n(填“>”“<”或“=”). 10．如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　 　． 11．已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为　 　． 12．定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则　 　（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则　 　． 三、解答题 13．已知二次函数. （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围。 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m. （1）求 b 的值. （2）当0≤x≤m时，记二次函数 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值. （3）过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标. 15．在平面直角坐标系中，抛物线 ． （1）求抛物线的对称轴； （2）当a>0时， 抛物线上有两点(-1， e)， (m，f)， 若e>f， 求m的取值范围； （3）当a<0时， 抛物线上有两点(-1， s)， (1， t)， 求证： st≤38.4. 16．已知抛物线． （1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； （2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为 ，解得，故A错误； 当时，二次函数有最小值为；当时，随的增大而增大 ；故B、C错误； 令得， ，即抛物线交轴于点和 抛物线开口向上 当时，，故D正确. 故答案为：D . 【分析】由顶点坐标可得抛物线解析式为顶点式，再化顶点式为一般式则可得；则抛物线顶点式为，则当时，二次函数有最小值为；当时，随的增大而增大 ；再利用抛物线上点的坐标特征可得抛物线与x轴两交点坐标，由于抛物线开口向上，则当时，. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0， 根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0， ∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、四象限， 故答案为：B 【分析】根据二次函数，反比例函数图象与系数的关系即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ∴当x>3时，y随x的增大而减小， 关于称轴是直线x=3的对称点是 ∴ y1＜y3＜y2 ， 故选： A. 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】将化为顶点式，得y=(x-将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 故答案为：B. 【分析】根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 距离对称轴有个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得：． 故选：D． 【分析】根据二次函数性质即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解： A、二次函数y＝x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；B、正比例函数的图象，x＞0，y随x的增大而增大； 故本选项错误； C、反比例函数的图象在二、四象限内，当时，函数在第四象限y随x的增大而增大， 故本选项错误； D、反比例函数的图像在一、三象限内，当时，函数在第一象限y随x的增大而减小； 故本选项正确； 故选：D． 【分析】根据二次函数，正比例函数、反比例函数的图象和性质作出判断。 二次函数y＝x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；在y轴左侧（x＜0时），y随x的增大而减少。 正比例函数的图象，k＞0，y随x的增大而增大。 反比例函数当K＞0图像在一、三象限内，函数在第一象限y随x的增大而减小；当K＜0图像在二、四象限内，函数在第一象限y随x的增大而增大。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴 ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， 故①错误； ∵抛物线的对称轴 故②正确； ∵抛物线与x轴交于两个点， ∴方程 有两个不相等的实数根，故③正确； ④设抛物线与x轴的另个交点为( ∵抛物线与x轴一个交点为(4，0)，且对称轴为x=1， 解得 ∴抛物线与x轴的另一个交点为((-2，0)，故④正确； ∵抛物线的对称轴为x=1， ∴该二次函数在：x=1处取得最大值， 故⑤正确， ∴正确的有4个， 故选B. 【分析】抛物线开口向下，对称轴 与y轴的正半轴相交.抛物线与x轴有两个交点，其对应一元二次方程有两个不相等的实数根. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线解析式抛物线过A(-1，0)，B(3，0)，则对称轴 设交点式：y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a ∴b=-2a，c=-3a ①y=a(x-1)2-4a，抛物线开口向上a>0，顶点(1，-4a)，最小值为-4a，①正确． ②当x=4时，y=a(4+1)(4-3)=5a；顶点最小值-4a， 区间[-1，4]内函数最小值是-4a，不是0，故y范围为-4a≤y≤5a，②错误． ③C(4，y1)，y1=5a，点C关于对称轴x=1对称点横坐标：1-(4-1)=-2 抛物线上y>5a的点满足x<-2或x>4，并非只有x2>4，③错误． ④将b=-2a，c=-3a代入方程： -3ax2-2ax+a=0，a≠0，两边除以a得：-3x2-2x+1=0 整理3x2+2x-1=0，因式分解(3x-1)(x+1)=0，解得x1=-1，，④正确． 综上，①④正确． 故答案为：A． 【分析】先根据抛物线与x轴交点写出交点式y=a(x+1)(x-3)，用a表示b，c，即b=-2a，c=-3a；先通过顶点式验证①；再代入x=4结合顶点纵坐标分析区间函数值范围判断②；利用对称轴求出C的对称点，确定y>y1的完整x范围判断③；将b，c代入新一元二次方程-3ax2-2ax+a=0，消去a解方程得到根验证④． 9．【答案】> 【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+3(a>0)， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A(-3，m)，B(3，n)， ∴点A在对2a称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， ∵a>0， ∴当x>1时，y随x的增大而增大， ∵点A(-3，m)关于对称轴对称的点的坐标为(5，m)，1<3<5， ∴m>n. 故答案为：>. 【分析】先求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口方向确定函数的增减性，再找到点A关于对称轴的对称点，比较对称点与点B的横坐标大小，从而得出m与n的大小关系. 10．【答案】， 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 设抛物线与轴的另一个交点为， 则， 解得， ∴关于的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 【分析】 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根；先借助抛物线的对称性，找到已知交点关于对称轴的对称点，即可得到方程的解. 11．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：设这两个函数的“绝美值”为， ∵二次函数，一次函数， ∴， 由题意可知，，， ∴，即， 令二次函数， ①当时，二次函数的开口向下， ∴存在无数个整数，使得，不符合题意； ②当时， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵距离对称轴最近的整数是， ∴若仅存在一个整数，使得，则需满足当时，；且当时，， 即， 解得． 故答案为：． 【分析】根据“绝美值”的定义可得不等式仅存在一个整数解的问题，然后分为和两种情况，根据函数的对称性和增减性列不等式组，求出a的取值范围即可． 12．【答案】； 【解析】【解答】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 【分析】 第1空：由伴随直线的定义可得抛物线解析式为，则； 第2空：由抛物线解析式可其顶点坐标为，则点为抛物线顶点，再由抛物线的对称性质可得，则为等腰直角三角形且，则点Q到的距离为3，再由直角三角形斜边上的中线性质可得，则可得抛物线与x轴两交点坐标分别为或，再利用待定系数法即可； 13．【答案】（1）解： 由题意得 解得 ∴函数图象与x轴的交点坐标为(0， 0)和(1， 0) （2）解：∵二次函数 ∴抛物线的对称轴为，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，即当y随x的增大而增大时，x的取值范围为 【解析】【分析】(1)令y=0可得：x2-x=0，解得x1=0，x2=1，即可确定二次函数图象与x轴的交点坐标； (2)由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，开口向上，进而完成解答. 14．【答案】（1）解：由 得b=2. （2）解：由(1)得 令y=0，得x1 =-1， x2 =3， 所以0<m<3. 分两种情况： ①若0<m<1，则0≤x<1，当x=0时， ymin =t=3； 当x=m时， 因为s-t=0.5，所以 解得 (舍去)， ②若1≤m<3，则 1≤x<3，当x=1时， ymax=s=4； 因为s-t=0.5， 所以t=3.5. 又因为当x=0时，y=3<3.5， 所以该情况不存在满足条件的点 P. 综上所述， （3）解：由题意得 设矩形PECD的周长为L， 则： ①点 P 在对称轴左侧时，如图， 时L 最大. 当L最大时，点 ②点 P 在对称轴右侧时，根据对称性得 所以点 P 坐标为( 或 【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可； （2）先求出抛物线与x轴交点的坐标，即可得到0<m<3，再分为0<m<1，1≤m<3两种情况，根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后列方程求出m的值解答即可； （3）设点P的坐标，即可得到点E的坐标，然后分为点 P 在对称轴左侧或点 P 在对称轴右侧两种情况表示L关于m的函数关系式，然后配方得到顶点式，进而得到点P的坐标即可. 15．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 由对称性可得，当时， 即时，， ，开口向上， ∴离对称轴远的点的函数值大， 即当时，； （3）解：把代入函数解析式得 ， ∴， ，开口向下， ∴当时，的值最大为， 即． 【解析】【分析】（1）利用二次函数对称轴公式计算即可； （2）根据二次函数的对称性得到时，，然后根据二次函数的开口向上和离对称轴远的点的函数值大，确定的取值范围即可； （3）把两点坐标代入，得到关于的二次函数，配方为顶点式，根据最值解答即可． 16．【答案】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； （2）解：依题意，当时，，则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 【解析】【分析】 （1）化一般式为顶点式即可； （2）由抛物线上点的坐标特征令y=0可解关于x的一元二次方程求得B、C坐标，由于抛物线开口向上，则由二次函数的性质可得在点B左侧或点C右侧时抛物线均在x轴上方． （1）解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； （2）解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $