1.4 二次函数与一元二次方程的关系（1） 同步分层练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念理解到综合应用迁移，梯度递进培养数学抽象、推理与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|二次函数与方程关系的基本概念（根的近似值、函数过点与方程解）|以表格数据、图像判断为主，如利用函数值正负确定方程根范围，夯实基础认知| |巩固提升|函数性质（对称轴、增减性）、根的判别式、多结论综合判断|通过图像分析、代数推理结合，如二次函数与一次函数交点转化为方程解，深化知识联系| |能力应用|近似计算方法、方程结构迁移应用|设置阅读理解题，如探究方程解的范围及迁移解决三角形形状判断，发展创新与应用意识|

1.4 二次函数与一元二次方程的关系（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．下表是满足二次函数 的五组数据，x1是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（　　) x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：∵-0.20<0<0.22， ∴2.0<x1<2.2. 故答案为：C. 【分析】利用表格中的数据来确定方程的解，根据y值的变化确定方程解的范围. 2．若二次函数 的图象经过点A(1，1)，则方程： 的解为（　　） A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=3，点A关于x=3的对称点为(5，1)， 当y=1时，x=1或5，即的解为x=1或x=5. 故选 ：D. 【分析】由二次函数解析式知其对称轴，求出点A的对称点，由此可得当y=1时的方程的解. 3．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：已知抛物线与轴交于和： 由二次函数的对称性，对称轴为两交点横坐标的中点，即，A正确； 抛物线与轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，即和，C正确； 由图象开口向下，对称轴为，因此在对称轴右侧（），随的增大而减小，B正确； 当时，对应图象在轴下方的部分，此时或，故D错误； 故答案为：D。 【分析】 本题聚焦二次函数的图象与性质，核心考查从抛物线与坐标轴的交点信息中，推导对称轴、方程根、增减性及函数值符号区间的能力，关键在于灵活运用对称性、单调性及二次函数与一元二次方程的对应关系 4．如图，点A（2.26，-0.32），B（2.56，0.41）在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】 解：∵点A(2.26，-0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上， ∴当x=2.26时，y=-0.32，当x=2.56时，y=0.41 ∴当y=0时，2.26<x<2.56， ∴选项C符合， 故答案为：C 【分析】先根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间，由此解答即可. 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间∴另一个交点的横坐标在之间， 结合选项可得，方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间，根据对称性求解即可． 6．画出函数y=-2x2+8x-6的图象，根据图象回答问题： （1）方程-2x2+8x-6=0的解是什么； （2）当x取何值时，y＞0； （3）当x取何值时，y＜0． 【答案】（1）解：函数y=-2x2+8x-6的图象如图所示． 由图象可知： 方程-2x2+8x-6=0的解x1=1，x2=3． （2）解：当1＜x＜3时，y＞0 （3）解：当x＜1或x＞3时，y＜0． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【分析】利用列表描点连线的方法画出函数 y=-2x2+8x-6 的图象．再根据函数图象判断函数的增减性即可． 7．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4）， （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式． 【答案】（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4） ＝k2﹣6k+41 ＝（k﹣3）2+32， ∵（k﹣3）2≥0， ∴△＞0， ∴抛物线与x轴必有两个交点； （2）解：根据题意得x1、x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣（k﹣5）， x1•x2＝﹣（k+4）， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣8， ∴x1•x2+x1+x2+1＝﹣8， 即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】（1）根据题意，计算抛物线根的判别式，根据判别式的值进行判断得到答案即可； （2）将代数式化简，根据一元二次方程根 与系数的关系，将（x1+x2）以及x1x2的值代入即可得到答案。 二、巩固提升 8．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为　 　． 【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：。 【分析】根据“二次函数与x轴有两个不相同的交点”可知， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，然后再根据一元二次方程的判别式公式：，代入数据即可求解。 9．若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是　 　． 【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 【分析】 已知二次函数的图象与x轴没有交点，因此可以得到根的判别式满足，解这个不等式即可得到结果. 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为　 　．（填序号） 【答案】③④ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误； 抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误； 当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确； 方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确； 故答案：③④. 【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值. 11．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为　 　． 【答案】 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵二次函数与一次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 【分析】根据方程的解就是两个函数交点的横坐标并结合两个交点A、B的横坐标即可求解． 12．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是　 　． 【答案】①②③④ 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 【分析】 先根据已知点坐标求出二次函数表达式，确定开口方向、对称轴位置，再结合函数性质及给定条件判断四个结论的正确性. 13．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为(-2，5)，与x轴交于A(m，0)，B两点，其中2<m<3.则下列结论： ②b+4a=0 ③a-b+3c>0 ⑤方程 (k为常数)有实数根.其中正确的个数有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由抛物线开口向下，得；顶点坐标为，则对称轴为直线，整理得；抛物线与y轴交于正半轴，故。 ①∵，，，∴，则，故①错误； ②∵，∴，即，不是，故②错误； ③将代入代数式： ， ∵，，∴，因此，即，故③正确； ④∵抛物线顶点为，代入顶点式得， ∴。 由图象可知，当时，函数值大于0，即， 代入、得：，解得； 当时，函数值小于0，即， 代入得：，解得； 综上可得，故④正确； ⑤将方程变形为， 直线恒过定点，且斜率，直线经过第二、三、四象限。 结合抛物线的位置可知，该直线与抛物线必有交点，因此方程有实数根，故⑤正确。 综上，正确的结论为③④⑤，共3个。 故答案为： 【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及系数符号判断、顶点式应用、函数值范围推导、方程根的判定。先由开口方向、对称轴、与y轴交点确定、、的符号与关系，再逐一验证五个结论：通过符号运算判断分式正负；由对称轴公式推导与的等量关系；代入化简代数式并结合符号判断正负；利用顶点式表示，再结合、处的函数值符号列不等式，求解的取值范围；将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过直线过定点的特征判断交点存在性，最终统计正确结论的数量。 14．如图是二次函数的部分图象，与轴交于点，对称轴为直线，下列说法中，；；；④若，是关于的一元二次方程的两个根，则，．结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：对于①，由图可得，开口方向向下，故，①正确； 对于②，是判断与轴交点个数的判别式， 当时，与轴有2个不同的交点； 当时，与轴有2个相同的交点； 当时，与轴没有交点； 补全图像可知，该图像与轴有2个不同的交点，故，②错误； 对于③，观察图像可得，当，则，③正确； 对于④，补全图像可得与轴的另一个交点，因为，且对称轴，由二次函数图象的对称性可得，另一个与轴的交点坐标为，所以一元二次方程的两个根为，，④正确． 故答案为：C． 【分析】本题主要都想二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，由函数图象开口向下可知，故可判断①正确； 补全图像可知，该图像与轴有2个不同的交点，故可判断②错误；观察图像可得，当，则，故可判断③正确；运用抛物线的对称性和对称轴方程可得 一元二次方程的两个根为，，故可判断④正确． 15．抛物线 的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示.下列结论： ①③若(x1，y1)和(x2，y2)是抛物线上的两点，则当 时， ；④抛物线的顶点坐标为(-1，m)，则关于 x的方程 无实数根.其中正确结论的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与轴交点位置得到，，的正负判断①；把分别代入解析式求出函数值的取值范围，然后相乘判断②；根据距离对称轴距离越远的点的函数值越大判断③；由抛物线顶点纵坐标可得，即可得到方程根的情况判断④解答即可． 16．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0， 则，故③正确； ④∵抛物线对称轴为，则， ∴，故④正确； ⑤抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方， ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的选项有③④⑤共3个． 故答案为：B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，①由抛物线与轴交点个数判断判别式符号；②由对称轴和开口方向判断增减性；③由对称轴确定另一交点范围，结合时的函数值判断；④由对称轴公式推导、关系；⑤由顶点纵坐标判断方程无实根时的范围。 17．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故答案为：． 【分析】利用二次函数的图象、性质与系数的关系，一元二次方程的根的个数与二次函数的图象与坐标轴的交点个数问题以及一次函数与二次函数的关系逐项分析判断即可. 18．如图，已知抛物线.（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论： ①abc>0；②若方程的解是x1，x2，且满足则x1<-1，x2>3；③关于x的方程有两个不等的实数根；④8a+c>0.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由题意得： ∴b=-2a. ∵抛物线的开口方向向上， ∴a>0 ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c<0. ∴abc>0. ∴①的结论正确 ∵方程ax2+bx+c-1=0的解是x1，x2， ∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标为x1，x2， ∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于点A(3，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)， ∵抛物线开口向上 ∴x1<-1，x2>3 ∴②的结论正确 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的顶点坐标是(1，n)， ∴二次函数有最小值n. ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1没有公共点 ∴方程ax2+bx+c=n-1无解. 即方程ax2+bx+c-n+1=0没有实数根 ∴③的结论错误； ④∵抛物线与x轴交于点A(3，0)， ∴9a+3b+c=0 ∵b=-2a ∴3a+c=0 ∵抛物线的开口方向向上， ∴a>0 ∴8a+c>0 ∴④的结论正确 故答案为：C. 【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可. 19．二次函数 的图象过点(0，2)，其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+ bx+c=2的根是　 　. 【答案】x1=0，x2=1 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图象可知抛物线对称轴为x=0.5 ∵图象过点 (0，2) ∴根据抛物线的对称性可知图象过点 (1，2) ∴ ax2+ bx+c=2的根为x1=0，x2=1 故答案为：x1=0，x2=1 【分析】方程 ax2+ bx+c=2 的解就是二次函数 当函数值为2时的自变量的值，结合图象的对称性即可求解。 20． 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而　 　； （2）方程的根是　 　； （3）时y的取值范围是　 　； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是　 　． 【答案】（1）减小 （2）x1=，x2=3 （3） （4） 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：（1）由图像可知，当x<1时，y随x的增大而减小. 度单位：减小. （2） 方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标， 则方程的根为x1=，x2=3. 故答案为：x1=，x2=3. （3）由图象可得时y的取值范围是. 故答案为：. （4） 若方程没有实数根， 则与y=3-k没有交点， ∴3-k<-4， ∴k>7. 故答案为：k>7. 【分析】（1）根据图象即可得出答案； （2）根据“ 方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标”，再结合图象，即可得出答案； （3）结合图象即可得出答案； （4）由“方程没有实数根”转化成与y=3-k没有交点，再结合图象列出不等式，即可得出答案. 21．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】（1），； （2）； （3） 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案. （3）根据二次函数的性质即可求出答案. （1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 三、能力应用 22． 【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求 的解． 思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围． 【答案】（1）解：将 代入得， 当 时， 所以 所以方程的解落在1和2之间． （2）解：将 分别代入得 由题意得，m(m-3)<0，所以0<m<3． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； (2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围. 23．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法. 例题呈现 关于x的方程的解是（a、m、b均为常数，a≠0），则方程的解是? （1）解法探讨 小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、-2代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出 第3步用直接开平方法解第2个方程. （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是　 　，从而更简单地解决了问题. （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是　 　. （4）策略运用 小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答. 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状. 【答案】（1）解：将代入到方程中， 得 ∴m+1=±（m-2）， 解得 第2个方程可变形为 即 解得： （2）1或-2 （3） （4）解：∵当x=1时，成立， ∴方程必有一根是x=1 ∴方程的两根为 ∴△ABC是一个直角三角形 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象的平移变换；解一元二次方程的其他方法 【解析】【解答】（2）解：∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）解：函数的图象与x轴交于点和， 函数的图象相当于将上述图象向左平移2个单位， ∴与x轴交于点和， ∴方程的解为； 故答案为：； 【分析】本题考查一元二次方程的特殊解法、二次函数图象平移及三角形形状判断。 (1)考察待定系数法的应用，将方程的解代入原方程，得到关于m的方程组，求解m后再求出，最后用直接开平方法解新方程；(2)考察换元法，观察两个方程的结构特征，将“x+2”视为整体，对应原方程的解，直接求出x的值； (3)考察二次函数图象平移与方程根的关系，方程对应的函数图象是原函数图象向左平移2个单位，根也随之向左平移2个单位，进而得到新方程的解； (4)考察方程根的性质，先发现x=1是方程的一个根，结合“两个相等的实数根”得出方程的两根均为1，再利用根与系数的关系求出a、b、c的数量关系，判断三角形为直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 二次函数与一元二次方程的关系（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．下表是满足二次函数 的五组数据，x1是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（　　) x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72 A． B． C． D． 2．若二次函数 的图象经过点A(1，1)，则方程： 的解为（　　） A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5 3．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 4．如图，点A（2.26，-0.32），B（2.56，0.41）在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 5．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 6．画出函数y=-2x2+8x-6的图象，根据图象回答问题： （1）方程-2x2+8x-6=0的解是什么； （2）当x取何值时，y＞0； （3）当x取何值时，y＜0． 7．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4）， （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式． 二、巩固提升 8．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为　 　． 9．若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是　 　． 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为　 　．（填序号） 11．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为　 　． 12．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是　 　． 13．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为(-2，5)，与x轴交于A(m，0)，B两点，其中2<m<3.则下列结论： ②b+4a=0 ③a-b+3c>0 ⑤方程 (k为常数)有实数根.其中正确的个数有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．如图是二次函数的部分图象，与轴交于点，对称轴为直线，下列说法中，；；；④若，是关于的一元二次方程的两个根，则，．结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．抛物线 的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示.下列结论： ①③若(x1，y1)和(x2，y2)是抛物线上的两点，则当 时， ；④抛物线的顶点坐标为(-1，m)，则关于 x的方程 无实数根.其中正确结论的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 16．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 18．如图，已知抛物线.（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论： ①abc>0；②若方程的解是x1，x2，且满足则x1<-1，x2>3；③关于x的方程有两个不等的实数根；④8a+c>0.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．二次函数 的图象过点(0，2)，其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+ bx+c=2的根是　 　. 20． 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而　 　； （2）方程的根是　 　； （3）时y的取值范围是　 　； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是　 　． 21．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 三、能力应用 22． 【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求 的解． 思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围． 23．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法. 例题呈现 关于x的方程的解是（a、m、b均为常数，a≠0），则方程的解是? （1）解法探讨 小明的思路如下所示： 小明的思路 第1步把1、-2代入到第1个方程中求出m的值； 第2步把m的值代入到第1个方程中求出 第3步用直接开平方法解第2个方程. （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，则“x+2”的值是　 　，从而更简单地解决了问题. （3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是　 　. （4）策略运用 小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答. 已知方程有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：∵-0.20<0<0.22， ∴2.0<x1<2.2. 故答案为：C. 【分析】利用表格中的数据来确定方程的解，根据y值的变化确定方程解的范围. 2．【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=3，点A关于x=3的对称点为(5，1)， 当y=1时，x=1或5，即的解为x=1或x=5. 故选 ：D. 【分析】由二次函数解析式知其对称轴，求出点A的对称点，由此可得当y=1时的方程的解. 3．【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：已知抛物线与轴交于和： 由二次函数的对称性，对称轴为两交点横坐标的中点，即，A正确； 抛物线与轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程的根，即和，C正确； 由图象开口向下，对称轴为，因此在对称轴右侧（），随的增大而减小，B正确； 当时，对应图象在轴下方的部分，此时或，故D错误； 故答案为：D。 【分析】 本题聚焦二次函数的图象与性质，核心考查从抛物线与坐标轴的交点信息中，推导对称轴、方程根、增减性及函数值符号区间的能力，关键在于灵活运用对称性、单调性及二次函数与一元二次方程的对应关系 4．【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】 解：∵点A(2.26，-0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上， ∴当x=2.26时，y=-0.32，当x=2.56时，y=0.41 ∴当y=0时，2.26<x<2.56， ∴选项C符合， 故答案为：C 【分析】先根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间，由此解答即可. 5．【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间∴另一个交点的横坐标在之间， 结合选项可得，方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间，根据对称性求解即可． 6．【答案】（1）解：函数y=-2x2+8x-6的图象如图所示． 由图象可知： 方程-2x2+8x-6=0的解x1=1，x2=3． （2）解：当1＜x＜3时，y＞0 （3）解：当x＜1或x＞3时，y＜0． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【分析】利用列表描点连线的方法画出函数 y=-2x2+8x-6 的图象．再根据函数图象判断函数的增减性即可． 7．【答案】（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4） ＝k2﹣6k+41 ＝（k﹣3）2+32， ∵（k﹣3）2≥0， ∴△＞0， ∴抛物线与x轴必有两个交点； （2）解：根据题意得x1、x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣（k﹣5）， x1•x2＝﹣（k+4）， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣8， ∴x1•x2+x1+x2+1＝﹣8， 即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】（1）根据题意，计算抛物线根的判别式，根据判别式的值进行判断得到答案即可； （2）将代数式化简，根据一元二次方程根 与系数的关系，将（x1+x2）以及x1x2的值代入即可得到答案。 8．【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：。 【分析】根据“二次函数与x轴有两个不相同的交点”可知， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，然后再根据一元二次方程的判别式公式：，代入数据即可求解。 9．【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 【分析】 已知二次函数的图象与x轴没有交点，因此可以得到根的判别式满足，解这个不等式即可得到结果. 10．【答案】③④ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误； 抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误； 当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确； 方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确； 故答案：③④. 【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值. 11．【答案】 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵二次函数与一次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 【分析】根据方程的解就是两个函数交点的横坐标并结合两个交点A、B的横坐标即可求解． 12．【答案】①②③④ 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 【分析】 先根据已知点坐标求出二次函数表达式，确定开口方向、对称轴位置，再结合函数性质及给定条件判断四个结论的正确性. 13．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由抛物线开口向下，得；顶点坐标为，则对称轴为直线，整理得；抛物线与y轴交于正半轴，故。 ①∵，，，∴，则，故①错误； ②∵，∴，即，不是，故②错误； ③将代入代数式： ， ∵，，∴，因此，即，故③正确； ④∵抛物线顶点为，代入顶点式得， ∴。 由图象可知，当时，函数值大于0，即， 代入、得：，解得； 当时，函数值小于0，即， 代入得：，解得； 综上可得，故④正确； ⑤将方程变形为， 直线恒过定点，且斜率，直线经过第二、三、四象限。 结合抛物线的位置可知，该直线与抛物线必有交点，因此方程有实数根，故⑤正确。 综上，正确的结论为③④⑤，共3个。 故答案为： 【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及系数符号判断、顶点式应用、函数值范围推导、方程根的判定。先由开口方向、对称轴、与y轴交点确定、、的符号与关系，再逐一验证五个结论：通过符号运算判断分式正负；由对称轴公式推导与的等量关系；代入化简代数式并结合符号判断正负；利用顶点式表示，再结合、处的函数值符号列不等式，求解的取值范围；将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过直线过定点的特征判断交点存在性，最终统计正确结论的数量。 14．【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：对于①，由图可得，开口方向向下，故，①正确； 对于②，是判断与轴交点个数的判别式， 当时，与轴有2个不同的交点； 当时，与轴有2个相同的交点； 当时，与轴没有交点； 补全图像可知，该图像与轴有2个不同的交点，故，②错误； 对于③，观察图像可得，当，则，③正确； 对于④，补全图像可得与轴的另一个交点，因为，且对称轴，由二次函数图象的对称性可得，另一个与轴的交点坐标为，所以一元二次方程的两个根为，，④正确． 故答案为：C． 【分析】本题主要都想二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，由函数图象开口向下可知，故可判断①正确； 补全图像可知，该图像与轴有2个不同的交点，故可判断②错误；观察图像可得，当，则，故可判断③正确；运用抛物线的对称性和对称轴方程可得 一元二次方程的两个根为，，故可判断④正确． 15．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与轴交点位置得到，，的正负判断①；把分别代入解析式求出函数值的取值范围，然后相乘判断②；根据距离对称轴距离越远的点的函数值越大判断③；由抛物线顶点纵坐标可得，即可得到方程根的情况判断④解答即可． 16．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0， 则，故③正确； ④∵抛物线对称轴为，则， ∴，故④正确； ⑤抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方， ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的选项有③④⑤共3个． 故答案为：B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，①由抛物线与轴交点个数判断判别式符号；②由对称轴和开口方向判断增减性；③由对称轴确定另一交点范围，结合时的函数值判断；④由对称轴公式推导、关系；⑤由顶点纵坐标判断方程无实根时的范围。 17．【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故答案为：． 【分析】利用二次函数的图象、性质与系数的关系，一元二次方程的根的个数与二次函数的图象与坐标轴的交点个数问题以及一次函数与二次函数的关系逐项分析判断即可. 18．【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由题意得： ∴b=-2a. ∵抛物线的开口方向向上， ∴a>0 ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c<0. ∴abc>0. ∴①的结论正确 ∵方程ax2+bx+c-1=0的解是x1，x2， ∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标为x1，x2， ∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于点A(3，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)， ∵抛物线开口向上 ∴x1<-1，x2>3 ∴②的结论正确 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的顶点坐标是(1，n)， ∴二次函数有最小值n. ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1没有公共点 ∴方程ax2+bx+c=n-1无解. 即方程ax2+bx+c-n+1=0没有实数根 ∴③的结论错误； ④∵抛物线与x轴交于点A(3，0)， ∴9a+3b+c=0 ∵b=-2a ∴3a+c=0 ∵抛物线的开口方向向上， ∴a>0 ∴8a+c>0 ∴④的结论正确 故答案为：C. 【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可. 19．【答案】x1=0，x2=1 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由图象可知抛物线对称轴为x=0.5 ∵图象过点 (0，2) ∴根据抛物线的对称性可知图象过点 (1，2) ∴ ax2+ bx+c=2的根为x1=0，x2=1 故答案为：x1=0，x2=1 【分析】方程 ax2+ bx+c=2 的解就是二次函数 当函数值为2时的自变量的值，结合图象的对称性即可求解。 20．【答案】（1）减小 （2）x1=，x2=3 （3） （4） 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：（1）由图像可知，当x<1时，y随x的增大而减小. 度单位：减小. （2） 方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标， 则方程的根为x1=，x2=3. 故答案为：x1=，x2=3. （3）由图象可得时y的取值范围是. 故答案为：. （4） 若方程没有实数根， 则与y=3-k没有交点， ∴3-k<-4， ∴k>7. 故答案为：k>7. 【分析】（1）根据图象即可得出答案； （2）根据“ 方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标”，再结合图象，即可得出答案； （3）结合图象即可得出答案； （4）由“方程没有实数根”转化成与y=3-k没有交点，再结合图象列出不等式，即可得出答案. 21．【答案】（1），； （2）； （3） 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案. （3）根据二次函数的性质即可求出答案. （1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 22．【答案】（1）解：将 代入得， 当 时， 所以 所以方程的解落在1和2之间． （2）解：将 分别代入得 由题意得，m(m-3)<0，所以0<m<3． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； (2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围. 23．【答案】（1）解：将代入到方程中， 得 ∴m+1=±（m-2）， 解得 第2个方程可变形为 即 解得： （2）1或-2 （3） （4）解：∵当x=1时，成立， ∴方程必有一根是x=1 ∴方程的两根为 ∴△ABC是一个直角三角形 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象的平移变换；解一元二次方程的其他方法 【解析】【解答】（2）解：∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）解：函数的图象与x轴交于点和， 函数的图象相当于将上述图象向左平移2个单位， ∴与x轴交于点和， ∴方程的解为； 故答案为：； 【分析】本题考查一元二次方程的特殊解法、二次函数图象平移及三角形形状判断。 (1)考察待定系数法的应用，将方程的解代入原方程，得到关于m的方程组，求解m后再求出，最后用直接开平方法解新方程；(2)考察换元法，观察两个方程的结构特征，将“x+2”视为整体，对应原方程的解，直接求出x的值； (3)考察二次函数图象平移与方程根的关系，方程对应的函数图象是原函数图象向左平移2个单位，根也随之向左平移2个单位，进而得到新方程的解； (4)考察方程根的性质，先发现x=1是方程的一个根，结合“两个相等的实数根”得出方程的两根均为1，再利用根与系数的关系求出a、b、c的数量关系，判断三角形为直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $