1.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册“二次函数与一元二次方程的关系”同步练，45分钟/100分，以“基础巩固—综合应用—拓展探究”分层设计，覆盖从概念辨析到数形结合思想的完整知识链，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判别式与交点个数、韦达定理几何意义|选择/填空题聚焦单一知识点，如判别式符号判断、交点坐标直接应用| |综合应用|交点式求解析式、图像法解不等式|解答题整合知识，如用交点式写解析式并解不等式，体现运算能力| |拓展探究|函数图像变换与方程根的关系|探究题结合平移情境分析判别式变化，深化数形结合，发展创新意识|

第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分 【学习目标】 1. 理解二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，体会数形结合思想； 2. 掌握判别式 △ = b² - 4ac 的符号与抛物线与 x 轴交点个数的对应关系； 3. 能利用二次函数图象估算一元二次方程的近似解，会用交点式求解析式； 4. 能利用二次函数图象解一元二次不等式，理解韦达定理的几何意义。 【知识梳理】 一、二次函数与方程的联系 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的实数根。 二、判别式与交点个数 ◆ △ = b² - 4ac > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 2 个交点 ◆ △ = b² - 4ac = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 1 个交点（相切） ◆ △ = b² - 4ac < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴没有交点 三、交点式（两根式） 若抛物线过 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)，则 y = a(x - x₁)(x - x₂) 两交点间距离 |x₁ - x₂| = / |a| 四、韦达定理的几何意义 x₁ + x₂ = -b/a → 对称轴 x = (x₁ + x₂)/2 x₁·x₂ = c/a → 与 y 轴交点纵坐标 五、二次函数与不等式 利用图象解 ax² + bx + c > 0（开口向上 + 两交点）：解集在"两边"（x < x₁ 或 x > x₂） 开口向上 + 两交点 + "< 0"：解集在"中间"（x₁ < x < x₂） 六、图像法估算方程近似解 列表 → 描点 → 观察函数值"变号"区间 → 取中点逐步逼近。 口诀：判别式定交点，韦达定理连根轴；图像法看变号，不等式记两边。 ────────────────────────────────────────────────── 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．二次函数 y = x² - 6x + 8 的图象与 x 轴的交点情况是（ ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．无法确定 2．方程 3x² - 7x + 2 = 0 的两根为 x₁ = 1/3，x₂ = 2，则 y = 3x² - 7x + 2 与 x 轴的交点坐标为（ ） A．(1/3, 0) 和 (2, 0) B．(0, 1/3) 和 (0, 2) C．(1/3, 0) D．没有交点 3．若二次函数 y = x² + 6x + k 的图象与 x 轴只有一个交点，则 k 的值为（ ） A．6 B．9 C．-9 D．36 4．已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，且与 x 轴有两个交点，则（ ） A．a > 0，△ > 0 B．a < 0，△ > 0 C．a < 0，△ < 0 D．a > 0，△ < 0 5．用图像法估算方程 x² + x - 3 = 0 的正根。已知 f(1) = -1，f(2) = 3，则该正根大约在（ ） A．0 和 1 之间 B．1 和 2 之间 C．2 和 3 之间 D．3 和 4 之间 6．若抛物线 y = x² - 4x + m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（ ） A．m < 4 B．m ≤ 4 C．m > 4 D．m ≥ 4 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．二次函数 y = -2x² + 4x + 6 与 x 轴的交点坐标为 ______。 8．若方程 x² - 4x + c = 0 的两根为 x₁, x₂，且 x₁² + x₂² = 10，则 c = ______。 9．抛物线 y = 3x² + kx + 2 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 ______。 10．二次函数 y = x² - (m+2)x + m + 1 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 满足 ______。 11．已知抛物线 y = ax² + bx + c 过点 (-2, 0) 和 (4, 0)，且 a = 3，则解析式为 ______。 12．若抛物线 y = x² - 6x + k 与 x 轴两交点间的距离为 2√2，则 k = ______。 三、解答题（共24分） 13．（8分）已知二次函数 y = x² - 4x - 5。 （1）求该抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）写出该函数的交点式（两根式）； （3）利用图象，写出不等式 x² - 4x - 5 > 0 的解集。 14．（8分）用图像法求一元二次方程 x² + x - 3 = 0 的正根的近似值（精确到 0.1）。 （提示：可列表取 x = 1, 2, 1.2, 1.3, 1.4... 观察 y = x² + x - 3 的值符号变化。） 15．（8分）已知关于 x 的二次函数 y = x² - (2m - 1)x + m² - m。 （1）求证：该函数图象与 x 轴总有两个交点； （2）若两交点间的距离为 1，求 m 的值。 四、能力提升（共16分） 16．（8分）抛物线 y = x² - 6x + 8 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标及线段 AB 的长度； （2）在抛物线上是否存在一点 D（异于点 C），使 S△ABD = S△ABC？若存在，求出点 D 的坐标。 17．（8分）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 4 5 y 8 3 0 -1 0 3 8 （1）根据表格数据，求该二次函数的解析式； （2）方程 ax² + bx + c = -1 有几个解？并求出这些解； （3）若 k < x < k + 2 时都有 y < 0，求整数 k 的值。 五、拓展探究（共10分） 18．（10分）"数形结合"是解决函数与方程问题的核心思想。 （1）用判别式说明：为什么二次函数 y = x² + 2x + 2 的图象与 x 轴没有交点？这说明了对应方程 x² + 2x + 2 = 0 的什么性质？ （2）将 y = x² + 2x + 2 的图象向下平移 n（n > 0）个单位后，新图象与 x 轴恰好只有一个交点，求 n 的值，并说明此时的几何意义； （3）结合上问，从函数图象的变化角度，解释"判别式从负变零"对应的几何变化过程。 参考答案与解析 一、选择题 1．C △ = 36 - 32 = 4 > 0，两个交点 (2, 0) 和 (4, 0)。 2．A 方程根即交点横坐标，交点 (1/3, 0) 和 (2, 0)。 3．B △ = 36 - 4k = 0 → k = 9。 4．B 开口向下 → a < 0；两个交点 → △ > 0。 5．B f(1) = -1 < 0，f(2) = 3 > 0，由零点存在性定理，根在 (1, 2) 内。 6．C △ = 16 - 4m < 0 → m > 4。 二、填空题 7．(-1, 0) 和 (3, 0) -2x²+4x+6=0 → x²-2x-3=0 → (x-3)(x+1)=0。 8．3 x₁+x₂=4, x₁x₂=c, x₁²+x₂²=16-2c=10 → c=3。 9．k < -2√6 或 k > 2√6 △ = k² - 24 > 0 → k² > 24。 10．m ≠ 0 △ = (m+2)² - 4(m+1) = m² > 0 → m ≠ 0。 11．y = 3x² - 6x - 24 y = 3(x+2)(x-4) = 3(x²-2x-8) = 3x²-6x-24。 12．7 √△ = √(36-4k) = 2√2 → 36-4k = 8 → k = 7。验证 △ = 8 > 0。 三、解答题 13．解：（8分） (1) 令 y = 0：x² - 4x - 5 = 0，(x - 5)(x + 1) = 0，x₁ = 5，x₂ = -1。 交点坐标为 (5, 0) 和 (-1, 0)。（3分） (2) 交点式：y = (x - 5)(x + 1)。（2分） (3) 开口向上，与 x 轴交于 (-1, 0) 和 (5, 0)， 当 y > 0 时，图象在 x 轴上方，对应 x < -1 或 x > 5。 所以不等式 x² - 4x - 5 > 0 的解集为 x < -1 或 x > 5。（3分） 14．解：（8分） 列表计算 y = x² + x - 3： x = 1: y = 1 + 1 - 3 = -1 < 0 x = 2: y = 4 + 2 - 3 = 3 > 0 ⇒ 根在 (1, 2) 之间。（2分） x = 1.2: y = 1.44 + 1.2 - 3 = -0.36 < 0 x = 1.3: y = 1.69 + 1.3 - 3 = -0.01 < 0 x = 1.4: y = 1.96 + 1.4 - 3 = 0.36 > 0 ⇒ 根在 (1.3, 1.4) 之间。（2分） x = 1.30: y ≈ -0.01，x = 1.31: y ≈ 0.0261 > 0 ⇒ 根在 (1.30, 1.31) 之间，四舍五入取 1.3。（2分） 所以正根的近似值为 x ≈ 1.3。（精确到 0.1）（2分） 15．解：（8分） (1) △ = [-(2m-1)]² - 4×1×(m²-m) = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4m = 1 > 0， 所以图象与 x 轴总有两个交点。（4分） (2) 求根：x = [(2m-1) ± 1]/2，x₁ = m，x₂ = m - 1。 |x₁ - x₂| = |m - (m-1)| = 1，恒成立。 故 m 为任意实数。（4分） 四、能力提升 16．解：（8分） (1) 令 y = 0：x² - 6x + 8 = 0，(x-2)(x-4) = 0， A(2, 0)，B(4, 0)，AB = 2。（2分） 令 x = 0：y = 8，C(0, 8)。（1分） (2) S△ABC = ½×2×8 = 8。 设 D(d, d²-6d+8)，S△ABD = ½×2×|d²-6d+8| = |d²-6d+8|。 由 |d²-6d+8| = 8 ⇒ d²-6d+8 = 8 或 d²-6d+8 = -8。 d²-6d = 0 ⇒ d(d-6) = 0 ⇒ d = 0 或 d = 6。 d²-6d+16 = 0，△ = 36-64 = -28 < 0，无解。 d = 0 得 D(0, 8) 即点 C，舍去。 d = 6 得 D(6, 8)。所以存在点 D(6, 8)。（5分） 17．解：（8分） (1) 从表中可见 x = 1 和 x = 3 时 y = 0，对称轴 x = 2。 x = 2 时 y = -1（顶点）。 设 y = a(x-1)(x-3)，代入 (0, 3)：3 = a(-1)(-3) = 3a → a = 1。 ∴ y = (x-1)(x-3) = x² - 4x + 3。（3分） (2) x² - 4x + 3 = -1，即 x² - 4x + 4 = 0，(x-2)² = 0，x = 2。 有唯一解 x = 2。（3分） (3) y = (x-2)² - 1 < 0 ⇒ (x-2)² < 1 ⇒ 1 < x < 3。 需 [k, k+2] ⊆ (1, 3)，即 k ≥ 1 且 k+2 ≤ 3 ⇒ k = 1。（2分） 五、拓展探究 18．解：（10分） (1) △ = 2² - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 < 0，图象与 x 轴无交点。（2分） 这说明方程 x² + 2x + 2 = 0 在实数范围内无解。 无交点 ⇔ 无实数根，体现了数形结合。（2分） (2) 平移后 y = x² + 2x + 2 - n = (x+1)² + 1 - n。 △ = 4 - 4(2-n) = 4 - 8 + 4n = 4n - 4。 恰好一个交点 ⇒ △ = 0 ⇒ n = 1。（2分） 几何意义：顶点从 (-1, 1) 下移至 (-1, 0)，恰好与 x 轴相切。 此时方程 (x+1)² = 0 有唯一解 x = -1（重根）。（1分） (3) 判别式从 △ = -4（无交点）到 △ = 0（相切）再到 △ > 0（两个交点）， 对应的几何过程是：抛物线从完全在 x 轴上方 → 顶点刚好落在 x 轴上 → 穿过 x 轴。 这说明判别式的变化直观反映了抛物线相对于 x 轴的位置关系。（3分） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $