1.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章  二次函数

1.4  二次函数与一元二次方程的关系  同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，体会数形结合思想；

2. 掌握判别式 △ = b² - 4ac 的符号与抛物线与 x 轴交点个数的对应关系；

3. 能利用二次函数图象估算一元二次方程的近似解，会用交点式求解析式；

4. 能利用二次函数图象解一元二次不等式，理解韦达定理的几何意义。

【知识梳理】

一、二次函数与方程的联系

   抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的实数根。

二、判别式与交点个数

   ◆  △ = b² - 4ac > 0  ⇔  抛物线与 x 轴有 2 个交点

   ◆  △ = b² - 4ac = 0  ⇔  抛物线与 x 轴有 1 个交点（相切）

   ◆  △ = b² - 4ac < 0  ⇔  抛物线与 x 轴没有交点

三、交点式（两根式）

   若抛物线过 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)，则 y = a(x - x₁)(x - x₂)

   两交点间距离 |x₁ - x₂| = / |a|

四、韦达定理的几何意义

   x₁ + x₂ = -b/a  →  对称轴 x = (x₁ + x₂)/2

   x₁·x₂ = c/a   →  与 y 轴交点纵坐标

 

五、二次函数与不等式

   利用图象解 ax² + bx + c > 0（开口向上 + 两交点）：解集在"两边"（x < x₁ 或 x > x₂）

   开口向上 + 两交点 + "< 0"：解集在"中间"（x₁ < x < x₂）

 

六、图像法估算方程近似解

   列表 → 描点 → 观察函数值"变号"区间 → 取中点逐步逼近。

口诀：判别式定交点，韦达定理连根轴；图像法看变号，不等式记两边。

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一、选择题（每小题5分，共30分）

1．二次函数 y = x² - 6x + 8 的图象与 x 轴的交点情况是（    ）

A．没有交点

B．只有一个交点

C．有两个交点

D．无法确定

2．方程 3x² - 7x + 2 = 0 的两根为 x₁ = 1/3，x₂ = 2，则 y = 3x² - 7x + 2 与 x 轴的交点坐标为（    ）

A．(1/3, 0) 和 (2, 0)

B．(0, 1/3) 和 (0, 2)

C．(1/3, 0)

D．没有交点

3．若二次函数 y = x² + 6x + k 的图象与 x 轴只有一个交点，则 k 的值为（    ）

A．6                            B．9                          C．-9                      D．36

4．已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，且与 x 轴有两个交点，则（    ）

A．a > 0，△ > 0

B．a < 0，△ > 0

C．a < 0，△ < 0

D．a > 0，△ < 0

5．用图像法估算方程 x² + x - 3 = 0 的正根。已知 f(1) = -1，f(2) = 3，则该正根大约在（    ）

A．0 和 1 之间

B．1 和 2 之间

C．2 和 3 之间

D．3 和 4 之间

6．若抛物线 y = x² - 4x + m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是（    ）

A．m < 4

B．m ≤ 4

C．m > 4

D．m ≥ 4