1.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象 同步练习-2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦二次函数图象核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、配方法、平移规则|选择题1-4直接考查概念，填空题9-12强化基本运算，培养符号意识| |中档|对称轴、图像性质综合|选择题5-8结合参数判断图像，填空题13-15融合平移与点坐标，发展推理能力| |提高|含参函数、实际应用|解答题19-20涉及参数范围与平移综合，需构建模型解决问题，提升应用意识|

1.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象 同步练习-2026-2027学年九年级上学期数学浙教版 一、选择题 1．（2025九上·义乌期中）抛物线 的顶点坐标为(　　) A．(-2， 5) B．(2， - 5) C．(-2， 1) D．(2， 1) 2．将 化成 的形式为(　　) A． B． C． D． 3．将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为(　　) A． B． C． D． 4．二次函数 的图象可由 y=2x2的图象经过怎样的平移得到(　　) A．先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位 B．先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C．先向左平移 2 个单位，再向上平移1 个单位 D．先向左平移 2 个单位，再向下平移1 个单位 5．关于 x 的二次函数 (m<-1)的图象可能是(　　) A． B． C． D． 6．（2024九上·萧山月考）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数 的图象经过平移后得到新的抛物线， 此抛物线恰好经过点 ， 下列平移方式中可行的是（　　） A．先向左平移 8 个单位， 再向下平移 4 个单位 B．先向左平移 6 个单位， 再向下平移 7 个单位 C．先向左平移 4 个单位， 再向下平移 6 个单位 D．先向左平移 7 个单位， 再向下平移 5 个单位 二、填空题 9．（2025九上·杭州月考） 把 化为顶点式，得　 　 10．（2026九上·宁波期末） 二次函数的顶点坐标为　 　. 11．若抛物线 的顶点在第二象限，则常数a的取值范围是　 　. 12．已知抛物线y＝x2+（m-2）x-2m，当m＝　 　时，顶点在y轴上；当m＝　 　时，顶点在x轴上；当m＝　 　时，抛物线经过原点． 13．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为　 　. 14．（2025九下·宝安模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则　 　． 15．（2026九上·杭州月考）将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为　 　． 三、解答题 16．已知二次函数 （1）用配方法将其化为 的形式； （2）在如图 1-2-10 所示的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象. 17．（2026九上·北京期末）已知二次函数． （1）若，求该二次函数图象的对称轴及最小值； （2）若对于任意的，都有，求b的取值范围． 18．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=a(x+1)(x-3) 的图象与y轴交点为(0， 3). （1） 求a的值. （2）求该二次函数图象的对称轴和y的最大值. 19．（2025九上·宁波期中）已知二次函数的解析式为． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； （2）选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图象． x … 1 3 … y … … 20．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2ax+c（a>0）。 （1）当a=c时， ①求抛物线的顶点坐标。 ②将抛物线向下平移m个单位（m>0），若平移后的抛物线过点（0，-8)，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值。 （2）已知点M（2，2n+1)，N（-1，3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵y=x2-4x-1， 配方法：y=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5， ∴顶点坐标为(2，-5)， 故答案为：B . 【分析】通过配方法将抛物线方程化为顶点形式y=a(x-h)2+k，即可直接读出顶点坐标(h，k). 2．【答案】C 【解析】【解答】解： 所以 故答案为：C . 【分析】根据配方法整理即可得解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：y=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2，顶点为(1，2). 向左平移2个单位：顶点横坐标减2，得新顶点(1-2，2)=(-1，2)，解析式变为y=(x+1)2+2；向上平移1个单位：顶点纵坐标加1，得最终顶点(-1，2+1)=(-1，3)，解析式变为y=(x+1)2+3. 故答案为：A. 【分析】先通过配方将抛物线化为顶点式，明确原顶点坐标；再根据“左加右减，上加下减”的平移规则，依次调整顶点坐标，最终得到平移后的解析式． 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 则y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象. 故答案为：A . 【分析】先利用配方法将 的表达式写成顶点式，进而得出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：且 抛物线开口向下，对称轴为直线，其顶点坐标为 令得 抛物线交y轴于负半轴 故答案为：B . 【分析】化抛物线的一般式为交点式，可得顶点坐标在第一象限，故排除C、D，又二次函数始终交y轴于点，即抛物线交y轴于点，因为，所以，则抛物线交y轴于负半轴，故正确答案为B. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ， ， ∴该抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 【分析】本题考查二次函数的对称轴．先进行配方将抛物线解析式化为顶点式可得：，据此可求出抛物线的对称轴． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线， ∴观察图象，可得，选项C符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：， A、先向左平移8个单位，再向下平移4个单位得到， 当x=-2时，y=-1，故此时抛物线不经过点（-2，-2），A选项不合题意； B、先向左平移6个单位，再向下平移7个单位得到， 当x=-2时，y=-2，故此时抛物线经过点（-2，-2），B选项符合题意； C、先向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到， 当x=-2时，y=-3，故此时抛物线不经过点（-2，-2），C选项不合题意； D、先向左平移7个单位，再向下平移5个单位得到， 当x=-2时，，故此时抛物线不经过点（-2，-2），D选项不符合题意； 故选：B. 【分析】根据左加右减，上加下减，分别求出每个选项平移后的解析式，再讲x=2代入求出y的值，即可判断. 9．【答案】 【解析】【解答】解：． 故答案为． 【分析】通过配方法将一般式化为顶点式即可． 10．【答案】(-1，-3) 【解析】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为x=-，将x=-1代入得y=-3，故其顶点坐标为(-1，-3). 故答案为：(-1，-3) . 【分析】由二次函数一般式可知其顶点横坐标，代入可得纵坐标，即得其顶点坐标. 11．【答案】-1<a<0 【解析】【解答】解：y=x2-2ax+a2+a+1=(x-a)2+a+1， ∴顶点坐标为(a，a+1)， ∵ 抛物线 的顶点在第二象限， ∴a<0且a+1>0， 解得：-1<a<0， 故答案为：-1<a<0 . 【分析】把二次函数配方为顶点式，然后得到顶点坐标为(a，a+1)，根据第二象限内点的坐标特征得到a<0且a+1>0，求出a的取值范围即可. 12．【答案】2；-2；0 【解析】【解答】解：抛物线y＝x2+（m-2）x-2m的顶点的横坐标是x＝- ，纵坐标是y＝ 当顶点在y轴上时，x＝- ＝0，解得：m＝2； 当顶点在x轴上时，y＝- ＝0，解得：m＝-2； 当抛物线过原点时，把（0，0）代入y＝x2+（m-2）x-2m得：0＝0+0-2m，解得：m＝0； 故答案为：2，-2，0． 【分析】抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的顶点坐标公式为，据此得出所给抛物线的顶点坐标，进而结合y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0建立方程，求解即可得出第一空与第二空的答案；当抛物线过原点时，把（0，0）代入所给的函数解析式求解可得第三空的答案. 13．【答案】y＝（x＋2）2＋1 【解析】【解答】解：∵原抛物线解析式为y=x2-2，向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴y=(x+2)2-2+3=(x+2)2+1． 故答案为：y＝（x＋2）2＋1． 【分析】先根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规则，向左平移2个单位，给自变量x加2，再根据向上平移3个单位，在式子末尾整体加3，最后得到抛物线表达式y＝（x＋2）2＋1． 14．【答案】3 【解析】【解答】解： 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：， 令， 解得：x=-1或x=2， ∴PQ=|2-(-1)|=3， 故答案为：3. 【分析】根据题意先求出平移后的抛物线的解析式为，再求出x=-1或x=2，最后计算求解即可。 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 将二次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为， ∵ 经过点， ∴，解得，． 故答案为：. 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，表示出平移后的解析式，将代入，即可求得值． 16．【答案】（1）解： （2）解：如下图： ： 【解析】【分析】（1）利用配方法即可得出答案； （2）根据取点、描点、连线的方法进行画图即可. 17．【答案】（1）解：当时，， ， 对称轴为， 当时，函数值最小，最小值为； （2）解：， 对称轴为直线， ①当，即对称轴在轴及其左侧时， 当时，随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， ； ②当时，即对称轴在段内时，， 当时，最小，最小值为， 令，则， 解得：， ； ③当，即对称轴在直线及其右侧时，， 当时，随的增大而减小， 当时，最小，最小值为， 令，则， 解得：， ； 综上所述，b的取值范围为． 【解析】【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式，结合二次函数性质即可求出答案. （2）先求得抛物线的对称轴，再根据抛物线的位置分类讨论：①对称轴在轴及其左侧时，②对称轴在段内，③对称轴在直线及其右侧时，再根据二次函数的性质即可求出答案. 18．【答案】（1）解：函数图象与y轴交点为， ， 解得 （2）解：由（1）得， 配方得， ， ， 所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为 【解析】【分析】（1）根据题意，把点代入求值即可； （2）由（1）得，再化为顶点式，根据顶点式得到对称轴及最值． 19．【答案】（1）解：， ， ， ， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 【解析】【分析】（1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出当x=1和x=3时y的值，最后列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 20．【答案】（1）解：①， ， 顶点坐标为(1，0)。 ②由①知，抛物线与x轴交点为(1，0)， 将抛物线向下平移m个单位，抛物线与x轴两交点之间的距离为6， 平移后抛物线与x轴交点为(-2，0)，(4，0)， 令平移后抛物线为，代入(4，0)，和(0，-8)， ，解得， （2）解：∵对称轴为直线，点，在抛物线上 ∴在抛物线上， ∵， ∴，即， 又∵点N比点M离对称轴远， ∴，即， ∴的取值范围为 【解析】【分析】(1)①通过配方法直接求解； ②利用平移后的抛物线过定点求参数，结合根的距离公式建立方程； (2)将点坐标代入抛物线方程，联立消元后结合不等式条件求解. 学科网（北京）股份有限公司 $