第一章二次函数专项训练——二次函数图象与系数的关系 同步练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与系数关系，通过基础概念辨析、综合应用分析、多结论推理三层设计，构建从单一系数到综合关系的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|a/b/c符号判断、开口方向、对称轴公式|以选择/填空直接考查概念（如第1题a值判断），强化符号意识| |提升层|交点坐标、不等式解集、函数图象综合|结合图象分析方程根与不等式（如第4题解集判断），发展几何直观| |拓展层|多结论推理、跨函数综合应用|通过5-6个结论辨析（如第12题5个结论判断），培养逻辑推理与模型观念|

第一章二次函数专项训练 ——二次函数图象与系数的关系 一、选择题 1．已知二次函数 的图象开口向下，则a的值可能是 (　　) A．- 1 B．0 C．1 D．2 2．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若二次函数 则这个函数图象可能是(　　) A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（　　） A．a＜0，c＜0 B．4a＋b＝0 C．方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3 D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是 A． B． C． D． 6．如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　） A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．k＝2a+c D．x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解 7．已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．4 8．已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 9．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，的值随值的增大而减小 C．的值随值的增大而减小 D．的值随值的增大而增大 10．反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的大致图像的是（　　） A． B． C． D． 11．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤ (m为任意实数)．期中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个. A．2 B．3 C．4 D．5 14．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为 二、填空题 15．已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是　 　. 16．若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是　 　．（写出一个具体的函数解析式） 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为　 　．（填序号） 18．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：　 　. 19．如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 　 　． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是　 　（只填写序号）． 21．如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的　 　． ①，②，③，④． 22．抛物线 (a，b，c为常数，c<0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3.下列四个结论：①b<0；②4ac-b2<4a；③当n=3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t>1；④若关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 其中结论正确的是　 　(填序号). 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： 二次函数 y = a x2 + b x + c 的开口方向由系数a的符号决定： 当 a > 0 时，开口向上； 当 a < 0 时，开口向下， ∵ 二次函数 的图象开口向下 ∴a<0， 观察各选项，只有A选项-1<0， 故答案为：A. 【分析】根据 二次函数图象开口向下，需确定系数a的可能值. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故答案为：D。 【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴可以排除A选项； ∵， ∴抛物线的对称轴， ∴可以排除B和C选项； 故答案为：D . 【分析】利用排除法，由可以排除A选项；由得对称轴，可以排除B和C选项；即可得出结果． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴a＜0，c＜0，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2， ∴ ，即 ，故B正确，不符合题意； C、设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)， ∴ ，解得： ， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3，故C正确，不符合题意； D、观察图象得：当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方， ∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或，故D不正确，符合题意； 故答案为：D 【分析】 观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，可得a＜0，c＜0可判断A；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，可得 可判断B；设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ，再由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为，可得到方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3可判断C；根据图象可得当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方，从而得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或可判断D；逐一判断即可解答． 5．【答案】A 【解析】【解答】由二次函数图象可知a＞0，－c＜0， ∴a＞0，c＞0． ∴由函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限． 故答案为：A． 【分析】首先根据二次函数的图象得出a，c的符号，然后再根据a，c的符号判断一次函数经过的象限，即可得出答案。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故A错误； 由图象得知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＞0，故B错误； ∵y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵y＝kx+b过点（﹣1，0）， ∴b＝k， ∴k＝a+c，故C错误； ∵对称轴为x＝1， ， ∴b＝﹣2a， ∴k＝﹣2a， 当时，， 由图象可知，， ，即； 故正确； 故答案为：D 【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， 即符合要求的为， 故答案为：A． 【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，然后结合各选项即可判断求解． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴下方，到的距离等于， 在轴的上方到的距离等于的点有个， 在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是个， 故答案为：C． 【分析】将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，故抛物线的顶点在x轴下方，到x的距离等于2，易得抛物线在x轴的上方到x的距离等于2的点有2个，综上可得答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 故选：B． 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限 ∴k<0 ∴二次函数图象开口朝下 对称轴 故答案为：D 【分析】根据反比例函数的性质可得k<0，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：根据图像可得： ， ， 故经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：D. 【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围，根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，据此可得到b、c的符号，可得到一次函数的图象所经过的象限，即可求解. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：①∵二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为， ∴，故①正确； ②∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③设抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得：， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故③正确； ④∵点均在二次函数图象上， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∴，故④错误； ⑤∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，为， 当时，有， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故答案为：D． 【分析】①将代入抛物线解析式即可判断①正确；②由抛物线开口方向以及与轴的交点可判断的符号，根据抛物线的对称轴求出，代入计算即可判断②正确；③设抛物线与轴的另一个交点为，根据抛物线的对称性可求出的值，即可判断③正确；④根据抛物线开口向上时，点与对称轴的距离越大，函数值越大，即可判断④错误；⑤根据抛物线的最值知识可知时函数取最小值，可得，即可判断⑤正确． 13．【答案】B 【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故答案为：B . 【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可． 14．【答案】D 【解析】【解答】解： 二次函数， A：当x=0时，y=-1，所以图象与轴的交点坐标是(0，-1)，故选项A错误； B：图象的对称轴是直线x=-1，在y轴左侧，故选项B错误； C：因为a=2>0，所以当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； D：因为a=2>0，所以当x=-1时，y有最小值-3，故选项D正确， 故答案为：D. 【分析】对于A选项，令x=0，可得函数图象与y轴交点坐标；对于B选项，根据对称轴公式，可以判断对称轴的位置；对于C选项，因为2>0，所以在对称轴左侧y随x增大而减小，即可判断；对于D选项，因为函数开口向上，故x取对称轴时，y取最小值，进行判断即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，准确识别二次函数解析式中的a、b，代入对称轴公式建立方程，求解未知数参数m即可. 16．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是轴，， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为：（答案不唯一）． 故答案为（答案不唯一）． 【分析】根据二次函数的图象性质，由开口向下确定二次项系数a<0，由对称轴是y轴确定一次项系数b=0，由与y轴交于正半轴确定常数项c>0，据此写出一个满足条件的解析式即可 17．【答案】③④ 【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误； 抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误； 当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确； 方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确； 故答案：③④. 【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值. 18．【答案】a＝1 【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上， ∴a＞0， ∴a＝1符合题意， 故答案为：a＝1（答案不唯一）. 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由图象开口向上可得二次项的系数a大于0，据此即可解决问题. 19．【答案】 【解析】【解答】∵抛物线的开口方向向下， ∴， 故答案为：. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a的范围。 20．【答案】①④ 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案. 21．【答案】③④ 【解析】【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴是直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故①不正确； ，故②不正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为． 当直线的时，， ， ． ，故③正确； 联立得， 整理得， 解得， 由图象知：， ， ，故④正确． 综上，正确的命题有③④． 故答案为：③④． 【分析】 先通过抛物线的开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置判断b的符号，以及b和的大小关系；再根据一次函数的图象与性质得到k的取值范围，结合一次函数与二次函数的交点位置判断k和的关系，即可得到最终结论. 22．【答案】②③④ 【解析】【解答】解：①∵图象经过(1，1)，c<0，n≥3，∴抛物线的开口向下，即a<0，把(1，1)代入 得a+b+c=1，即b=1-a-c>0，故①错误；②画图可知抛物线的顶点纵坐标大于1 ，故②正确；③∵m>0，n≥3，∴对称轴 ∴t>1，故③正确；④方程( 可变为(ax2+(b-1)x+c=0，∵△=(b-1)2-4ac=0.由.(1，1)代入 得(a+b+c=1，即1-b=a+c，∴(a+c)2-4ac=0，即( ，即a=c，∵(m，0)，(n，0)在抛物线上，∴m，n 为方程 的两个根， 故④正确. 故答案：②③④. 【分析】①根据图象经过(1，1)，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或(3，0)的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a<0，再把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点(1，1)的右侧，得出，根据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac-b2<4a，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5 的右侧，得出(1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出∆=(b-1)2-4ac=0，把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1-b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出，即，根据n≥3，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确. 学科网（北京）股份有限公司 $