26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过“夯实基础-能力提升-思维拓展”三层设计，以二次函数y＝ax²图象与性质为核心，从概念理解到综合应用，梯度进阶培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|图象识别、顶点坐标、增减性等概念|通过作图题（11题）直观感知开口方向与大小，培养几何直观| |能力提升|参数对图象影响、函数值比较、解析式求解|结合一次函数与二次函数图象辨析（7题），发展推理意识| |思维拓展|抛物线与几何图形综合应用|以正方形存在性问题（13题）深化模型观念，提升创新意识|

26．2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 —— 夯实基础 —— 1．二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，的值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 4．对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，有最大值0 5．在同一坐标系中，抛物线，的共同性质是（　　） A．关于轴对称，开口向上 B．关于轴对称，顶点坐标为 C．关于轴对称，开口向下 D．关于轴对称，都有最高点 8．如果抛物线的开口向上，那么的值可以是 　　．（写出一个满足条件的数即可） 9．若点是抛物线上一点，则　　． 11．（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数，，和的图象； （2）观察（1）中所画的图象，填空： ①在这四条抛物线中，开口向上的抛物线有 　　 ；开口向下的抛物线有 　　 ； ②这四条抛物线的对称轴都是 　　 ；顶点坐标都是 　　 ； ③由图象可知，抛物线与抛物线 　　 的形状相同，且它们关于 　　 轴对称，同样，抛物线与抛物线 　　 的形状相同，也关于 　　 轴对称；抛物线的开口比抛物线的开口 　　 （填“大”或“小” ，抛物线的开口比抛物线的开口 　　 （填“大”或“小” ； ④在抛物线中，当相同时，抛物线开口大小 　　 ；越大，抛物线开口越 　　 ；越小，抛物线开口越 　　 ． —— 能力提升 —— 6．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（　　） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 7．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．已知，，，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 　　． 12．二次函数的图象经过点． （1）求这个函数的关系式； （2）若，、，在函数图象上，当时，与的大小关系是　　； （3）写出抛物线上与点关于轴对称的点的坐标，并计算的面积． —— 思维拓展 —— 13．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当四边形为正方形时，求线段的长． 答案详解 1．解：由抛物线解析式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 故符合题意； 故选：． 2．解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是：， 故选：． 3．解：函数中，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 函数中，随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 函数中，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 函数中，随的增大而增大，故选项正确，符合题意； 故选：． 4．解：由抛物线可知，抛物线开口向上，顶点坐标为， 故对称轴为直线，当时，有最小值0， 选项错误， 故选：． 5．解：、、关于轴对称，开口向上，开口向下，此选项错误； 、关于轴对称，顶点坐标为，此选项正确； 、关于轴对称，有最低点，有最高点，此选项错误． 故选：． 8．解：因为抛物线的开口向上， 所以，即，故的取值范围是． 故答案为：． 9．解：当时，，即． 11．解：（1）列表： 0 1 3 27 3 0 3 27 3 0 3 0 0 描点，连线得： （2）观察（1）中所画的图象，填空： ①在这四条抛物线中，开口向上的抛物线有和；开口向下的抛物线有和； ②这四条抛物线的对称轴都是；顶点坐标都是； ③由图象可知，抛物线与抛物线的形状相同，且它们关于轴对称，同样，抛物线与抛物线的形状相同，也关于轴对称；抛物线的开口比抛物线的开口小（填“大”或“小” ，抛物线的开口比抛物线的开口小（填“大”或“小” ； ④在抛物线中，当相同时，抛物线开口大小相同；越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． 故答案为：①和；和； ②；； ③，，，，小，小； ④相同，小，大． 6．解：由题知， 因为抛物线和的开口大小相同，对称轴相同，顶点坐标相同，开口方向不同， 所以本题中发现改变的是开口方向． 故选：． 7．解：、中二次函数开口均向下， ， 直线与轴交于负半轴， 错误，不符合题意，正确，符合题意； ，随的增大而增大， 、错误，不符合题意； 故选：． 10．解：抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 12．解：（1）抛物线对称轴是轴，顶点是原点，可设， 把点代入，得． ， ； （2）由（1）中的抛物线知，其顶点坐标是，开口方向向上，则当时，的值随的值增大而减小，故时，． 故答案为：． （3）如图， 点，点与点关于轴对称， 且，， 的面积为：． 13．解：（1）将点代入抛物线中，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点和点， 当四边形为正方形时，设，则，， 点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2　二次函数的图象和性质 26．2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．一次函数的图象是什么？ 2．画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 3．研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ ★ 【教学目标】 课题 26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 授课人 素养目标 1.通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题． 2．通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y＝ax2(a≠0)与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题. 教学重点 画出二次函数y＝x2的图象，根据函数的图象分析其性质. 教学难点 掌握和利用二次函数y＝ax2的图象和性质解决相关问题. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.回忆二次函数的定义 教师提出问题，学生进行回答． 定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数． 2．我们该如何研究一个函数呢？从哪些方面入手呢？ 探究结论：学习一次函数时，先研究正比例函数，同样在学习二次函数时，也是从最简单的二次函数入手，先研究b，c都等于0的情况，即研究最简单的二次函数y＝ax2的图象和性质. 让学生回忆学习一次函数的过程和方法，体会研究函数“从概念到图象再到性质应用”的一般路径， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？ 师生活动： 师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 1．列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 问题：自变量该如何取值呢？ 学生交流、讨论，得到结论． 二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可． 　2.描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来. 3.连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状. 1.画二次函数y＝ax2的图象是本节课的重点与难点，教学中需要逐步引导；列表是三个步骤中最关键的环节，应分析透彻。 2.让学生感悟到一条平滑的曲线连接，体会到二次函数的图象是形如抛物线形状； 活动二：实践探究、交流新知 1.二次函数y＝x2的图象总结 师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导. 教师利用展台展示学生的优秀作品，并引导学生大胆说出图象的特征. 二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫作抛物线．抛物线y＝x2开口方向向上，y轴是抛物线的对称轴，抛物线y＝x2与对称轴的交点(0，0)叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点. 2.观察类比，探究异同 在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征. 师生活动：请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象，完成后观察并分组讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征. 探究二次函数y＝－x2，y＝－x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点. 师生活动：教师利用几何画板进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律．教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律. 3.总结归纳，形成规律 总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征． 学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，并填表： 二次函数 y＝ax2 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 a>0 a<0 归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．(对于抛物线y＝ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．) 从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，那么当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，那么当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. 1.在同一平面直角坐标系中画多个函数的图象，使图象间的差异对比更强烈，便于学生直观发现规律； 2.利用几何画板进行动态演示，所画抛物线准确，对比明显，结论易得，使学生感受深刻. 3.在分析总结过程中，引导学生把观察到的图象特征填入表格， 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1　下列抛物线中，开口向下的有(B) ①y＝－x2；②y＝x2；③y＝10x2；④y＝－x2. A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2　已知抛物线y＝ax2(a≠0)经过点(－1，2). (1)a的值是2. (2)对称轴是y轴，开口向上. (3)顶点坐标是(0，0)，顶点是抛物线上的最小值；抛物线在x轴的上方(除顶点外). (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1＞y2. 学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论. 【变式训练】 1.二次函数y＝－3x2的图象一定经过(B) A.第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2.已知抛物线y＝－x2，则： (1)开口向__下__； (2)对称轴是__y轴__； (3)顶点坐标是__(0，0)__； (4)当x＝__0__时，y有最__大__值__0__； (5)当x__＜0__时，y随x的增大而增大. 3．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为a3＞a2＞a1(用“＞”连接). 1.通过复习二次函数y＝ax2的图象及其特点， 2.培养学生用数形结合的思想解决问题的能力. 3.可以体现知识的延伸，使学生在关注a的正负的同时也关注到a的绝对值的大小. 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.下列是一些关于函数y＝－2x2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点是(0，0)．其中正确的有(D) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四个选项中，函数y＝ax＋a与y＝ax2(a≠0)的图象表示正确的是(B) ABCD 3．在二次函数y＝2x2中，当－1＜x≤2时，函数y的取值范围是__0≤y≤8__． 4．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)． (1)求a的值． (2)当x＝3时，求y的值． (3)说出此二次函数的三条性质． 解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a×1＝3.∴a＝3. (2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上；坐标原点是拋物线的顶点；当x>0时，y随着x的增大而增大；抛物线有最低点，当x＝0时，y有最小值0等. 从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得对二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的深层次的理解，T2是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题，让学生体会参数对图象的作用．从多个角度进行检测，达到学有所成的目的. 课堂小结 1.课堂小结： 请同学们回顾本课的学习内容，思考以下问题： (1)二次函数y＝ax2的图象是什么样子的？ (2)二次函数y＝ax2中的a对函数图象有什么影响？ 教师提示：明确二次函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴，能够分析函数的增减性． 2．布置作业： 教材第35～36页练习第1，2题，教材第44页习题26.2第1题. 通过课堂小结引导学生回顾用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法，自主归纳本节课的学习重点， 教学反思 本节课以彩虹桥为情境引入新课，通过画图探究、对比归纳，引导学生理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象关系及性质。教学中我注重让学生经历“作图—观察—比较—归纳”的过程，直观感受k对图象上下平移的影响，理解“上加下减”的平移规律，掌握y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，落实了数形结合思想，课堂氛围活跃，多数学生能正确作出图象并说出性质要点。 但教学中也发现，部分学生对增减性的判断仍不熟练，尤其是不能结合图象准确说出“在对称轴左侧y随x的增大而减小（或增大）”的完整结论，语言的规范性有待提高；对a、k共同影响图象位置的理解不够深入，综合分析能力欠缺。 后续教学我将增加分层练习，从基础图象识别逐步过渡到综合辨析；强化图象与性质对应关系的训练，引导学生养成“先画图、再分析、后描述”的习惯；通过对比表格梳理a、k对图象的影响，帮助学生系统掌握知识，提升运用数形结合思想解决问题的能力． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 汽车前灯中的数学 大家都知道汽车前照灯发出的光可以照亮车体前方的路况，使驾驶者可以在漆黑的夜晚安全地行车，保证视野清晰．如果你留心便会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状．把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面，这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射距离很远的平行光束，又能发出较暗的、照射距离较近的光线． 我们都知道常规的前照灯主要由灯泡、反射镜和透镜三部分组成．明亮的光束是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们常称为远光灯；而较暗的光线是由于光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，若把向上射出的光线遮住，车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了． 由上面所知，汽车大灯反射镜射出的灯光是平行光束，我们可以知道汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，由抛物线的性质可知，经过反射镜的反射，能够沿着与抛物线的对称轴平行的方向发射出去平行光线，反之，与抛物线的轴平行的光线经旋转抛物面反射后，都聚集到抛物线的焦点上，这就是抛物线的光学性质，它被广泛应用于探照灯、汽车前灯、抛物面天线等方面． 学科网（北京）股份有限公司 $