1.3 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过情境导入回顾勾股定理及逆定理，搭建旧知到实际问题的学习支架，引导学生将生活问题转化为直角三角形数学模型。 其亮点是以装修检测、芦苇测量等实际问题为载体，渗透数学建模思想，发展学生抽象能力与空间观念。通过例题变式和当堂检测强化推理意识，帮助学生用数学语言表达问题，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

北师大版数学八年级上册1.1.1认识勾股定理专项练习题 ## 一、核心知识点梳理 勾股定理是直角三角形的核心性质定理，也是初中几何计算的基础。其核心内容为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们通常将直角三角形的两条直角边长分别记为a、b，斜边长记为c，对应的数学公式为$$a^2+b^2=c^2$$。 需要重点区分三边对应关系：斜边是直角三角形中最长的边，对应直角所对的边，公式中c必须为斜边，不可混淆直角边与斜边。同时，满足该公式的三个正整数，称为勾股数，常见基础勾股数有3、4、5；5、12、13；7、24、25等，且勾股数的正整数倍依然是勾股数。 ## 二、专项练习题（含解析） ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC=6，BC=8，则斜边AB的长度为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$，代入数据得$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，因此AB=10，答案选A。 2. 下列各组数中，属于勾股数的是（） A. 4、5、6 B. 5、12、13 C. 6、7、8 D. 8、9、10 解析：勾股数需满足三个正整数，且两小数平方和等于最大数平方。A选项$$4^2+5^2=41 eq6^2$$；B选项$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，符合定义；C、D选项均不满足公式，答案选B。 3. 直角三角形两直角边长分别为7和24，则斜边长为（） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 解析：由勾股定理得$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$，斜边长为25，答案选A。 4. 已知直角三角形斜边为13，一条直角边为5，则另一条直角边为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 解析：根据公式变形$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$，代入得$$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$，答案选C。 5. 若直角三角形三边长为连续整数，则其三边长为（） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 4、5、6 D. 5、6、7 解析：设中间整数为x，则三边为x-1、x、x+1，代入勾股定理得$$(x-1)^2+x^2=(x+1)^2$$，解得x=4，三边为3、4、5，答案选B。 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，则AC=______。 答案：15 解析：$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，故AC=15。 2. 已知直角三角形斜边为20，两直角边比例为3:4，则两直角边长分别为______、______。 答案：12、16 解析：设直角边为3k、4k，则$$(3k)^2+(4k)^2=20^2$$，解得k=4，三边为12、16、20。 3. 等腰直角三角形直角边长为$$\sqrt{2}$$，则斜边长为______。 答案：2 解析：$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=4=2^2$$，斜边长为2。 4. 直角三角形两边长为3和4，则第三边长为______。 答案：5或$$\sqrt{7}$$解析：分两种情况，3、4均为直角边时，第三边为5；4为斜边、3为直角边时，第三边为$$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$$。 5. 边长为5、12、13的直角三角形面积为______。 答案：30 解析：直角边为5、12，面积=$$\frac{1}{2}×5×12=30$$。 ### （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25，AC=7，求BC的长度和三角形的周长、面积。 解答：由勾股定理变形公式得：$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$。 三角形周长=7+24+25=56；三角形面积=$$\frac{1}{2}×7×24=84$$。综上，BC长24，周长56，面积84。 2. 一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端距离墙面6米，梯子顶端距离地面8米，求梯子的长度。若梯子顶端下滑2米，底端将向外滑动多少米？ 解答：初始状态，墙面、地面、梯子构成直角三角形，直角边为6米、8米，梯子长度=$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$米。 顶端下滑2米后，顶端距地面6米，此时底端距墙面=$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$米。滑动距离=8-6=2米，即底端向外滑动2米。 3. 已知△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，过点A作AD⊥BC于D，求AD的长度及△ABC的面积。 解答：设BD=x，则CD=14-x。在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：$$AD^2=13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$$。 展开计算：$$169-x^2=225-196+28x-x^2$$，化简得28x=140，解得x=5。 则$$AD=\sqrt{13^2-5^2}=12$$，三角形面积=$$\frac{1}{2}×14×12=84$$。 4. 古代数学问题：池塘中有一株红莲，高出水面0.5尺，风吹红莲倾斜，花朵恰好没入水面，红莲水平移动距离为2尺，求池塘水深。 解答：设池塘水深x尺，则红莲总长（斜边）为(x+0.5)尺，水平移动距离2尺为直角边。 由勾股定理列方程：$$x^2+2^2=(x+0.5)^2$$，展开得$$x^2+4=x^2+x+0.25$$，解得x=3.75。 因此，池塘水深3.75尺。 ## 三、题型总结与易错点分析 本次专项练习覆盖勾股定理基础计算、勾股数判定、实际应用、分类讨论四大核心题型，全面贴合八年级上册第一课考点。基础题型主要考查公式的直接套用，重点掌握直角边、斜边的判定，熟练运用公式变形求边长。勾股数判定需牢记“正整数、两小平方和等于最大平方”两大核心条件，避免将小数、分数误判为勾股数。 高频易错点集中在分类讨论题型，当题目未明确给出边长是直角边还是斜边时，必须分两种情况计算，如已知直角三角形两边为3、4，第三边有两个答案，多数同学易遗漏斜边情况。同时，实际应用题需准确构建直角三角形模型，找准对应直角边和斜边，结合生活场景列方程求解。 学好勾股定理的关键是熟练掌握公式、明确三边关系、养成分类讨论思维，后续复杂几何计算、折叠问题、立体图形最短路径问题，均以本节课知识点为基础，需扎实掌握、灵活运用。 # 1.1.2 勾股定理的验证 专项练习题 ## 一、核心知识点梳理 勾股定理的验证是本节课重点内容，区别于公式的直接运用，核心是通过图形面积法数形结合证明勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$。面积验证的核心原理：同一个图形的面积可以用不同方式计算，通过面积相等建立等式，化简后推导得出勾股定理，全程无需借助边长计算结论，属于严谨的几何证明方法。 初中阶段最常用的两种验证方法为：赵爽弦图验证法、总统证法（伽菲尔德证法）。赵爽弦图是我国古代经典的几何证明方法，以四个全等的直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形、小正方形与直角三角形的面积关系推导定理；总统证法依托三个直角三角形拼接的直角梯形，利用梯形面积公式推导，步骤简洁、易懂。两种方法的核心思路均为“割补法”，图形割补前后总面积保持不变，是数形结合思想的典型应用。 ## 二、定理核心验证推导 ### 方法一：赵爽弦图验证（重点必考） 取四个完全相同的直角三角形，设直角边长为a、b（a≠b），斜边长为c。将四个直角三角形直角向内拼接，围成一个边长为c的大正方形，中间会形成一个边长为$$|a-b|$$的小正方形。 面积推导：大正方形总面积 = 四个直角三角形面积和 + 中间小正方形面积。代入公式可得：$$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^2$$，展开化简：$$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$$，最终化简得$$a^2+b^2=c^2$$，勾股定理得证。 ### 方法二：总统证法（伽菲尔德证法） 将两个全等的直角三角形（直角边a、b，斜边c）与一个腰长为c的等腰直角三角形拼接，构成一个直角梯形，梯形上底为a，下底为b，高为a+b。 面积推导：梯形总面积 = 三个三角形面积之和。梯形面积：$$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$$；三个三角形面积和：$$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$$。联立等式：$$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$$，化简后得$$a^2+b^2=c^2$$，定理验证成立。 ## 三、专项练习题（含详细解析） ### （一）填空题（每题4分，共20分） 1. 勾股定理的验证核心方法是________，核心数学思想是________。 答案：割补面积法；数形结合 解析：勾股定理所有经典证明方法均依托图形割补、面积相等推导，将几何图形与代数公式结合，核心为数形结合思想。 2. 赵爽弦图中，若直角三角形直角边为3、4，则中间小正方形的面积为________。 答案：1 解析：小正方形边长为4-3=1，面积=1×1=1。 3. 总统证法中，拼接得到的图形是________，通过对比________推导勾股定理。 答案：直角梯形；图形总面积 解析：总统证法利用直角梯形的两种面积计算方式，建立等式化简证明定理。 4. 赵爽弦图拼成的大正方形边长等于直角三角形的________。 答案：斜边 解析：赵爽弦图外围大正方形的四条边均为直角三角形的斜边，边长为c。 5. 割补法验证勾股定理的关键依据是：图形割补前后________不变。 答案：总面积 解析：割补图形仅改变图形形状，不改变图形总面积，是面积法证明的核心依据。 ### （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于赵爽弦图验证勾股定理的说法正确的是（） A. 中间小正方形边长为a+b B. 无需利用面积公式 C. 适用于所有直角三角形 D. 仅适用于3、4、5勾股数三角形 解析：赵爽弦图是通用证明方法，适用于任意直角三角形，与边长数值无关。ABD错误，答案选C。 2. 利用总统证法推导公式时，最终化简消去的项是（） A. ab B. a² C. b² D. c² 解析：推导过程中$$2ab$$与$$ab$$抵消，最终消去ab项，答案选A。 3. 勾股定理验证用到的数形结合思想主要体现为（） A. 用代数公式计算图形边长 B. 用图形面积推导代数等式 C. 用几何图形直接测量边长 D. 用代数方法证明图形形状 解析：通过几何图形面积关系，推导代数勾股公式，是数形结合的核心体现，答案选B。 4. 赵爽弦图中，若大正方形面积为25，直角三角形一条直角边为3，则另一条直角边为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：大正方形面积$$c²=25$$，即c=5，由勾股定理得另一直角边为4，答案选A。 5. 下列方法中，不能用于验证勾股定理的是（） A. 赵爽弦图割补法 B. 直角梯形面积法 C. 直接测量边长计算 D. 方格纸面积计数法 解析：直接测量存在误差，不属于严谨的几何证明方法，无法验证定理，答案选C。 ### （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 利用赵爽弦图完整推导并证明勾股定理。 解答：设任意直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c。取四个全等的该直角三角形，拼接成边长为c的大正方形，中间围成边长为a-b的小正方形（a>b）。 大正方形面积：$$S=c^2$$；四个直角三角形总面积：$$4×\frac{1}{2}ab=2ab$$；中间小正方形面积：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$。 由面积关系得：$$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$$，化简得$$c^2=a^2+b^2$$，勾股定理得证。 2. 运用总统证法证明勾股定理，写出完整推导步骤。 解答：将两个全等Rt△（直角边a、b，斜边c）和一个等腰Rt△（直角边c）拼接为直角梯形，梯形上底a、下底b、高a+b。 梯形面积公式：$$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$$；三个三角形面积和：$$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$。 联立面积等式：$$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$，消去ab并两边同乘2，得$$a^2+b^2=c^2$$，定理得证。 3. 已知赵爽弦图中，直角三角形直角边为5、12，求大正方形、小正方形的面积。 解答：由勾股定理得斜边$$c=\sqrt{5^2+12^2}=13$$，大正方形边长为13，面积=$$13^2=169$$。 中间小正方形边长=12-5=7，面积=7×7=49。综上，大正方形面积为169，小正方形面积为49。 4. 简述勾股定理面积验证法的解题思路，并说明该方法的优势。 解答：解题思路：通过割补、拼接直角三角形，构造规则几何图形（正方形、梯形），利用图形面积的两种不同计算方式建立恒等式，通过代数化简，最终推导得出勾股定理。 方法优势：将抽象的代数公式与直观的几何图形结合，数形结合、逻辑严谨，无测量误差，属于通用型几何证明方法，适用于所有直角三角形，同时体现了初中几何核心解题思想。 ## 四、易错点与考点总结 本节核心考点为两种勾股定理验证方法的原理与推导，是考试简答、证明题型高频考点。常见易错点：一是混淆赵爽弦图的大小正方形边长，误将直角边当作大正方形边长；二是推导过程中化简出错，遗漏正负项抵消步骤；三是无法区分验证方法与公式应用，误将边长计算当作定理证明。 解题关键：牢记“面积相等”核心依据，熟练掌握两种经典证法的图形结构，理清图形各边长与直角三角形三边的对应关系，规范书写推导步骤，做到图形、公式、代数化简一一对应，扎实掌握数形结合的核心解题思想。 # 1.2 一定是直角三角形吗 专项练习题 ## 一、核心知识点梳理 本节内容为勾股定理的逆定理，是判断三角形是否为直角三角形的核心依据，与勾股定理互为逆命题。勾股定理是“已知直角三角形，得三边平方关系”，而本节逆定理是“已知三边平方关系，证直角三角形”，是几何判定直角、垂直关系的重要工具。 ### 1. 勾股定理逆定理内容 如果三角形的三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 ### 2. 核心判定步骤 第一步：找出三条边中最长的边；第二步：计算两条较短边的平方和与最长边的平方；第三步：对比数值，若相等则为直角三角形，不相等则不是直角三角形。 ### 3. 勾股数拓展 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数称为勾股数。勾股数的任意正整数倍仍然是勾股数，对应的三角形始终为直角三角形。常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ### 4. 三角形形状快速判定 设三角形最长边为c：①$$a^2+b^2=c^2$$，直角三角形；②$$a^2+b^2>c^2$$，锐角三角形；③$$a^2+b^2<c^2$$，钝角三角形。 ## 二、专项练习题（含详细解析） ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（） A. 2、3、4 B. 4、5、6 C. 5、12、13 D. 6、7、8 解析：找出每组最长边，验证平方关系。C选项最长边为13，$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，满足逆定理，可构成直角三角形。其余选项均不满足平方相等关系。答案选C。 2. 已知三角形三边长为6、8、10，则该三角形的最大内角为（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 解析：最长边为10，$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，根据逆定理，该三角形为直角三角形，最大内角为90°。答案选C。 3. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形三边都满足平方和关系 B. 勾股数可以是小数或分数 C. 勾股数的倍数仍是勾股数 D. 钝角三角形满足$$a^2+b^2=c^2$$ 解析：勾股数必须为正整数，其正整数倍仍为勾股数。A仅直角三角形满足；B勾股数不含小数、分数；D钝角三角形$$a^2+b^2<c^2$$。答案选C。 4. 三角形三边长为9、12、15，则该三角形面积为（） A. 54 B. 90 C. 108 D. 180 解析：$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，为直角三角形，直角边为9、12。面积=$$\frac{1}{2}×9×12=54$$。答案选A。 5. 若三角形三边长之比为3:4:5，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析：设三边长为3k、4k、5k，$$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$$，满足勾股逆定理，为直角三角形。答案选B。 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 三边长为7、24、25的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 答案：是 解析：$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$，符合勾股定理逆定理。 2. 判断直角三角形的关键是验证________的平方和等于________的平方。 答案：两条较短边；最长边 解析：必须以最长边作为斜边验证，避免边长对应错误。 3. 三角形三边长为8、15、17，该三角形最大角的度数为________。 答案：90° 解析：满足勾股逆定理，为直角三角形，最大角为直角。 4. 若三角形三边长为5、6、7，则该三角形为________三角形。 答案：锐角 解析：最长边7，$$5^2+6^2=61>49=7^2$$，故为锐角三角形。 5. 写出一组不同于基础组的勾股数：________。 答案：9、40、41（答案不唯一） 解析：满足正整数且符合平方关系即可。 ### （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 判断边长为10、24、26的三角形是否为直角三角形，并求出其周长和面积。 解答：首先确定最长边为26，计算平方关系：$$10^2+24^2=100+576=676$$，$$26^2=676$$。 因为$$10^2+24^2=26^2$$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，直角边为10和24。 周长=10+24+26=60，面积=$$\frac{1}{2}×10×24=120$$。 2. 已知△ABC三边长AB=12，BC=16，AC=20，求证：△ABC是直角三角形。 解答：△ABC中最长边为AC=20，分别计算平方： $$AB^2+BC^2=12^2+16^2=144+256=400$$，$$AC^2=20^2=400$$。 可得$$AB^2+BC^2=AC^2$$，由勾股定理逆定理可知，△ABC为直角三角形，且∠B=90°。 3. 已知三角形三边长为$$\sqrt{3}$$、3、$$2\sqrt{3}$$，判断该三角形的形状。 解答：对比边长大小，最长边为$$2\sqrt{3}$$。 计算平方和：$$(\sqrt{3})^2+3^2=3+9=12$$，最长边平方：$$(2\sqrt{3})^2=12$$。 两边数值相等，满足勾股定理逆定理，因此该三角形为直角三角形。 4. 应用题：一块四边形菜地ABCD，已知AB=3m，BC=4m，∠B=90°，CD=12m，DA=13m，求菜地总面积。 解答：连接AC，在Rt△ABC中，$$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$$m，S△ABC=$$\frac{1}{2}×3×4=6$$m²。 在△ACD中，三边长为5、12、13，$$5^2+12^2=13^2$$，故△ACD为直角三角形，直角在C点。 S△ACD=$$\frac{1}{2}×5×12=30$$m²。菜地总面积=6+30=36m²。 ## 三、易错点与考点总结 本节核心考点为勾股定理逆定理的判定应用，是考试高频考点，常结合图形判定、面积计算、四边形综合题型考查。核心解题步骤固定：先找最长边，再验平方关系。 高频易错点：①不区分最长边，随意代入公式计算，导致判定错误；②混淆勾股定理与逆定理，定理用途颠倒（已知直角用勾股定理，判定直角用逆定理）；③误将小数、分数当作勾股数；④复杂图形中不会分割直角三角形，无法利用逆定理解题。 学习关键：牢记判定逻辑，区分定理与逆定理，熟练掌握三角形形状的三种判定方法，灵活运用割补法将四边形、多边形问题转化为直角三角形问题求解，夯实几何判定与计算基础。 # 1.3 勾股定理的应用 专项练习题 ## 一、核心知识点梳理 勾股定理的应用是本章重难点，主要利用$$a^2+b^2=c^2$$解决生活实际问题与几何综合问题。核心解题思想为建模思想：把生活场景、折叠图形、立体图形转化为标准直角三角形，利用勾股定理或方程思想求解未知边长、高度、距离等。 本节四大必考模型： 1. 高度落差模型：梯子滑动、树木折断、升旗杆问题，竖直高度与地面垂直，天然构成直角三角形； 2. 最短路径模型：立体图形（长方体、圆柱）展开为平面，两点之间线段最短，结合勾股定理求最短距离； 3. 航行方位模型：东南、东北方位航行，航向互相垂直，构造直角三角形求航行距离； 4. 折叠几何模型：利用折叠前后边长相等，设未知数，通过勾股定理列方程求解线段长度。 通用解题步骤：①读题找垂直，确定直角三角形；②标注已知边长，设未知边长为x；③根据勾股定理列等式；④解方程求值，检验结果合理性。 ## 二、专项练习题（含详细解析） ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 一棵大树在离地面5米处折断，树顶落在离树根12米处，则大树折断前总高度为（） A. 13米 B. 17米 C. 18米 D. 20米 解析：折断部分、地面、剩余树干构成直角三角形。折断树干长$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$米，原高=5+13=18米。答案选C。 2. 圆柱高8cm，底面半径3cm，蚂蚁从底面一点爬到上底面正对一点，最短路径长为（） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm 解析：展开圆柱侧面，水平距离6cm，竖直高8cm，最短路径$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$cm。答案选B。 3. 一艘船向正东航行9km，再向正北航行12km，此时船距离出发点直线距离为（） A. 15km B. 21km C. 18km D. 24km 解析：正东与正北垂直，直线距离$$\sqrt{9^2+12^2}=15$$km。答案选A。 4. 梯子长25分米，底端离墙7分米，梯子顶端下滑4分米后，底端滑动距离为（） A. 4分米 B. 8分米 C. 9分米 D. 15分米 解析：初始高$$\sqrt{25^2-7^2}=24$$分米，下滑后高20分米，底端距墙$$\sqrt{25^2-20^2}=15$$分米，滑动15-7=8分米。答案选B。 5. 长方形纸片长12、宽5，沿对角线折叠，折痕形成的直角三角形斜边为（） A. 11 B. 13 C. 14 D. 15 解析：长方形对角线$$\sqrt{12^2+5^2}=13$$。答案选B。 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 竖直旗杆高12m，绳子底端距旗杆5m，则绳子总长为______m。 答案：13 解析：$$\sqrt{12^2+5^2}=13$$。 2. 长方体长3、宽4、高12，体对角线长为______。 答案：13 解析：先求底面斜边长5，再求体对角线$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$。 3. 河流两岸笔直相对，某人从岸边垂直走6m，再平行河岸走8m，回到正对起点，河宽______m。 答案：6 解析：垂直河岸距离即为河宽，构成直角三角形定值边长。 4. 直角三角形小路两直角边9m、12m，走斜边比走两直角边少走______m。 答案：6 解析：斜边15m，9+12-15=6m。 5. 折叠矩形一边，使顶点落在对边上，利用______思想和勾股定理求解边长。 答案：方程 解析：折叠问题多未知边，需设未知数解方程。 ### （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 树木折断问题：一棵高24米的大树，折断后树顶触地，触地点距离树根12米，求折断处距离地面的高度。 解答：设折断处距地面x米，则折断斜边长度为(24-x)米。 由勾股定理列方程：$$x^2+12^2=(24-x)^2$$ 展开化简：$$x^2+144=576-48x+x^2$$，消去二次项得$$48x=432$$，解得x=9。 答：折断处距离地面9米。 2. 立体最短路径问题：长方体木箱长6cm、宽4cm、高3cm，蚂蚁从木箱一个顶点爬到对角顶点，求最短爬行距离。 解答：长方体展开有三种路径，分别计算： ①长宽展开：$$\sqrt{(6+4)^2+3^2}=\sqrt{109}$$；②长高展开：$$\sqrt{(6+3)^2+4^2}=\sqrt{97}$$；③宽高展开：$$\sqrt{(4+3)^2+6^2}=\sqrt{85}$$。 对比得最短距离为$$\sqrt{85}$$cm。答：最短爬行距离为$$\sqrt{85}$$厘米。 3. 航行方位问题：一艘轮船从港口出发，先向东北方向行驶16km，再向东南方向行驶12km，求此时轮船与港口的直线距离。 解答：东北方向与东南方向夹角为90°，两段路程为直角边。 直线距离$$d=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$$km。 答：轮船距离港口直线距离为20km。 4. 矩形折叠应用题：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形沿对角线BD折叠，求折叠后重合部分三角形的面积。 解答：由折叠性质得对应边、角相等，设重合部分三角形未知边长为x，则剩余边长为8-x。 在直角三角形中列勾股方程：$$6^2+(8-x)^2=x^2$$，展开得$$36+64-16x+x^2=x^2$$，化简得16x=100，解得x=6.25。 三角形底为6，高可对应求得，重合部分面积=$$\frac{1}{2}×6×6.25=18.75$$。 答：重合部分三角形面积为18.75。 ## 四、易错点与考点总结 本节为全章必考压轴基础题型，核心考查数学建模与方程思想。高频考点集中在生活应用、立体展开、折叠几何、方位航行四类题型，所有题目均无直接给出完整直角三角形，需要学生自主构造图形。 主要易错点：①立体图形展开时选错展开面，导致路径计算错误；②折叠问题忽略“折叠前后边长相等”的核心隐含条件；③方程建模时未知数设定错误，边长对应混乱；④方位角问题无法判断垂直关系，不能构造直角三角形。 解题技巧：遇到实际问题先找垂直关系，无直角则构造直角；遇到未知边长优先设x，利用勾股定理列方程，避免硬算；立体路径问题务必分类讨论所有展开情况，选取最小值，确保解题严谨无误。 北师大版（新教材）数学八年级上册 1.3 勾股定理的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 勾股定理 学习目标 通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题 通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题 渗透数学建模的思想．教学重难点教学重点,立体图形、平面图形中的最短路径问题 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形 → a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 → 直角三角形 2.勾股定理的逆定理是什么？ A C B a b c 情境导入 新知探索 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB。 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥ AB。 探究新知 （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm。边 AD 垂直于边 AB 吗？ A B C D ∵ AD2 + AB2＝302 + 402 ＝ 2500， DB2 ＝502 ＝ 2500， ∴∠A＝90°，即AD ⊥ AB。 所以边 AD 垂直于边 AB 。 探究新知 A B C D （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？ 能检验。 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F。 E F 因为 12² + 16² = 20²， 用刻度尺测 EF 长度， 若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥ AB； 若 EF ≠ 20 cm，则 AD 不垂直 AB。 探究新知 知识点1 勾股定理的应用 （第1题） 1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条 长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 7 （第2题） 2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为 ，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中， 设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( ) B A.9 B.11 C.12 D.14 返回 举一反三 8 尝试·思考 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗？ A D B C G E F x 4 8－x 8－x 解：∵点 E 是边 AD 的中点， ∴ DE = AD = 4 cm。 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8－x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8－x)2，解得 x = 3。 ∴DF 的长为 3 cm。 探究新知 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 例 题 B O C A 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 探究新知 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺。 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺。 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2。 解得 x = 12。 12 + 1 = 13。 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺。 B O C A 探究新知 【教材P14 习题1.3 第1题】 1. 如图（单位：cm），阴影部分是一个长方形， 它的面积是多少？ 8cm 15cm 3cm 解：设直角三角形斜边长（长方形的长）为 x cm，由勾股定理得 x2 = 152＋82 = 289 = 172，x = 17，即长方形的长为 17 cm，则长方形的面积为 17×3 = 51（cm2）， 即阴影长方形的面积是 51 cm2 。 当堂检测 【教材P15 习题1.3 第2题】 2. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河 外距离城墙根 9 m处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能 否到达墙的顶端？为什么？ 解：11.72 + 92 < 152，因而长 15 m的云梯可以到达墙的顶端。 当堂检测 3. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？ 【教材P15 习题1.3 第3题】 2.6 4 A B C D O 解：如图，设 O 为半圆的圆心，DB ⊥ AB，易知 OD = 2 m。 当 OC = AB = 1.3 m 时，由勾股定理， 得 CD2 = OD2－OC2 = 22－1.32 = 2.31。 因为 2.31 > 12，所以 CD > 1 m， 所以 CD + BC > 3.6 m，所以它能通过该隧道。 当堂检测 3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计 算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列 方程为____________________。 返回 举一反三 15 4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，，，则的长为___ 。 9 返回 举一反三 16 5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗 杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面 点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又 将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ， 量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高 度。 解：设旗杆的高度为，则 ， 在中，由勾股定理得，解得 。 答：旗杆的高度为 。 返回 举一反三 17 勾股定理的应用 求直角三角形的边长 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 谢谢观看 THANKS 学习目标 $