1.3勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖逆定理解决实际问题、折叠问题及古代数学问题，通过装修检测、“葭生池中”等情境导入，搭建从定理到应用的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是融合实际与文化情境，如火灾云梯、卡车噪声等问题，运用方程思想和转化思想，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。学生提升问题解决能力，教师可借实例优化教学。

1.3 勾股定理的应用 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 八年级上│BS 1. 能够运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题. 2. 经历观察、猜想、动手实践、验证的活动过程，体会“转化”“方程”“数形结合”等数学思想. 学习目标 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？ ? ? 新课引入 问题1 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如下图)的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 解：连接对角线 BD，用卷尺测量边 AD 、AB 和 BD 的长度即可. 若在△ABD中，满足AD2＋AB2＝BD2， 根据勾股定理的逆定理，可知∠A＝90°，即 AD⊥AB； 对AC同理. 可以利用勾股定理的逆定理来解决. 新知学习 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是 50 cm.边 AD 垂直于边 AB吗? 解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝502＝BD2， 所以△ABD是直角三角形， 所以∠DAB＝90°， 即边 AD 垂直于边 AB. 新知学习 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD 是否垂直于边 AB 吗? 解：在 AD上取点 E，使 AE＝3cm，在 AB上取点 F， 使 AF＝4cm(截取的长度均在20cm刻度尺测量范围内)； 测量 EF的长度是否为5cm； 若是，则垂直； 若不是，则不垂直. F E 新知学习 例1 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：由题意得，AE＝4cm. 由折叠性质可知，EF＝CF， 设 DF＝xcm，则 CF＝EF＝(8−x)cm， 在 Rt△DEF中，根据勾股定理 DE2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝(8−x)2，解得x＝3， 即DF的长为3cm . 关于勾股定理有关的折叠问题，本质上是把折叠当做题目中的一个条件，重点要理解折叠前后，对应边，对应角相等，从图中寻找构造直角三角形，结合勾股定理计算长度. 新知学习 变 式 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，使B，D恰好都落在M处，已知DF＝1，则 EF的长为__________. 解：由图形折叠可得BE＝EM，DF＝FM＝1， 因为正方形ABCD的边长为 4， 所以CF＝4－1＝3，CE＝4－EM， 在Rt△ECF中， 所以EF2＝EC2＋CF2， 所以(1＋EM)2＝32＋(4－EM)2， 解得EM＝2.4， 所以EF＝1＋2.4＝3.4． 3.4 新知学习 问题解决 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) A B C O 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈(1丈＝10尺)的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 新知学习 问题解决 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 解：设水池的深度 OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x＋1)尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.在 Rt△OAC中，由勾股定理，可得 AC2＋ OA2＝OC2，即52＋x2＝(x＋1)2. 解得 x＝ 12. 12＋1＝13. 因此，水池的深度是 12尺，芦苇的长度是 13尺. A B C O 新知学习 变 式 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①、②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是(　　) A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 C 新知学习 1. 数学思想 实际问题 数学问题 转化 建模 2. 利用勾股定理＋方程思想解决问题 在直角三角形中 (已知两边的数量关系) 设其中一条边为x 利用勾股定理列方程 解方程 求各边长 归纳总结 新知学习 注意： (1)一般求哪条线段就设哪条线段为x； (2)把已知和要求的问题转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解； (3)如果已知和要求的问题集中在两个直角三角形中，我们可以利用它们的公共边或相等的边列方程(如若没有直角三角形，需要学生自行构造) 归纳总结 新知学习 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 随堂练习 2.现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图.已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高的B处救人后，还要从15mm高的D处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米? 解：由题意得：OE＝3，BE＝12，DE＝15，CD＝AB＝15， 所以OB＝BE－OE＝12－3＝9，OD＝DE－OE＝15－3＝12， 在Rt△AOB中： 在Rt△COD中: 所以AC＝OA－OC＝12－9＝3. 所以消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3米． 随堂练习 3.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为多少米？ 解：如图，过点A作AH⊥OB，过点C作CG⊥OB， G H 1 2 3 则四边形ADBH和四边形CEBG都是矩形， 由题意得：OA＝OB＝OC， 由矩形的性质得，AH＝BD＝4，BH＝AD＝1，CE＝BG， 在Rt△AHO中，OH2＋AH2＝OA2， 即(OB－BH)2＋AH2＝OA2， 则(OA－1)2＋42＝OA2，解得 随堂练习 因为∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝90° 所以∠2＝∠1 又因为∠OGC＝∠AHO＝90°，OC＝OA， 所以△OGC≌ △AHO(AAS)， 所以OG＝AH＝4， 所以BG＝OB－OG＝OA－OG＝8.5－4＝4.5， 则CE＝BG＝4.5(米) 故点C与点B的高度差CE为4.5米. G H 1 2 3 随堂练习 4.(真实问题情境)卡车在行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一辆卡车沿公路MN由点M向点N行驶，已知点P处为一栋居民楼，且点P与点M，N之间的距离分别为150米和200米，MN＝250米，已知卡车周围130米以内为受噪声影响的区域． (1)求居民楼P到公路MN的距离； 解得AP＝120米， 答：居民楼P到公路MN的距离为120米； 因为MP＝150米，NP＝200米，MN＝250米， 所以MP2＋NP2＝62500＝MN2， 所以△MNP是直角三角形． 因为S△MNP＝ MP·NP＝ MN·AP， 所以MP·NP＝MN·AP，即150×200＝250AP， 解：如图，过点P作PA⊥MN于点A. A 随堂练习 解：如图，当卡车在BC段行驶时，会影响P处的居民楼． 由题意可知，BP＝CP＝130米， 在Rt△ABP中，因为BA2＝BP2－PA2＝1302－1202＝2500，所以BA＝CA＝50米，所以BC＝100米． 因为卡车的行驶速度为每分钟1000米， 所以100÷1000＝0.1(分钟)＝6(秒)． 答：卡车的噪声影响该居民楼的时间会持续6秒． (2)若卡车的行驶速度为每分钟1000米，则卡车的噪声影响该居民楼的时间会持续多久？ A B C 随堂练习 已知：直角三角形＋两边数量关系 设未知数：求哪条边，设为x 列方程：将边带入勾股定理 解方程 利用勾股定理＋方程思想解决问题 得各边长 注意： 1.设元技巧：直接设 “要求的线段” 为x； 2.转化核心：把已知条件 + 所求问题，集中到同一个直角三角形中，用勾股定理列方程； 3.多三角形处理：若涉及两个直角三角形，利用公共边 / 相等边建立方程(无直角三角形时需自行构造). 课堂小结 $