第1章 培优点1 集合的新定义问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

该高中数学讲义通过典型例题解析与方法点拨系统梳理集合新定义问题的知识体系，将新定义集合的内涵外延、特征性质及解题要点按“理解定义-性质应用-综合拓展”的逻辑呈现，突出新定义与集合基本性质的内在联系。 讲义的亮点在于“新定义情境下的问题探究”练习设计，如“伙伴关系”集合个数计算、集合⊕运算等题型，引导学生通过抽象新定义本质、推理集合间关系培养数学抽象与逻辑推理素养。方法点拨总结“紧扣定义”“用好性质”等技巧，基础学生可掌握步骤，优秀学生能深化思维，助力教师实施分层教学与精准复习。

　集合的新定义问题 　　集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，形成具有新特征、新性质的集合，要求通过对新定义的集合的“现场学习”，理解其内涵与外延． 　(1)若x∈A，则－x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是(　　) A．6 B．7 C．3 D．1 (2)对于集合M，N，定义M－N的运算结果为图中阴影部分表示的集合，定义M⊕N＝(M－N)∪(N－M).若全集U＝R，A＝{x|x＋2≥0}，B＝{x|x<0}，则A⊕B＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x≥0} D．{x|x≤－2或x>0} 【解析】　(1)若x＝－2，则－x＝2； 若x＝－1，则－x＝1； 若x＝0，则－x＝0， 则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为“伙伴关系”集合，共7个． (2)因为M－N＝M∩(∁UN)，所以A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x≥－2}∩{x|x≥0}＝{x|x≥0}，B－A＝B∩(∁RA)＝{x|x<0}∩{x|x<－2}＝{x|x<－2}，所以A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝{x|x≥0}∪{x|x<－2}＝{x|x<－2或x≥0}． 【答案】　(1)B　(2)C 【方法点拨】　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．分析新定义，把新定义的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解集合中的新定义问题的关键． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 1．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X⊕(Y⊕Z)＝(　　) A．(X∪Y)∪(∁UZ) B．(X∩Y)∪(∁UZ) C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪[(∁UY)∪Z] 解析：选D．根据运算“⊕”的含义，Y⊕Z＝(∁UY)∪Z.因此X⊕(Y⊕Z)＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]. 2．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个． 解析：若集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $