函数的奇偶性、对称性与周期性易错题归纳练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、对称性与周期性的易错题专项突破，以定义辨析为基础，构建“性质判定-关系推导-综合应用”的逻辑体系，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|单选1-3、填空14|定义法（f(-x)=±f(x)）、定义域对称性分析|从奇偶性概念生成，关联单调性判定| |性质综合|单选4-8、多选9-11|奇偶性→周期性推导（f(x+T)=f(x)）、对称性转化（中心/轴对称）|对称性与周期性互推，构建性质网络| |应用拓展|填空12-13、解答15-19|周期函数证明、零点问题数形结合|性质应用于函数解析式、零点个数求解，体现数学应用意识|

函数的奇偶性、对称性与周期性 易错题归纳练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数（为常数），则（   ） A．，为偶函数 B．，为奇函数 C．，为既奇又偶函数 D．，为非奇非偶函数 4．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ） A． B． C．0 D．1 5．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 6．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 7．若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 8．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 二、多选题 9．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．一定不存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．函数为偶函数 B．函数的增区间为，减区间为 C．函数的值域为 D．若，则实数的取值范围为 三、填空题 12．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 13．已知函数（，）的图象关于点中心对称，则______． 14．已知函数是奇函数，则_____． 四、解答题 15．已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 16．函数满足对任意，都有，且的图像关于直线对称，当时，，且函数恰有2025个零点． (1)证明：函数为周期函数； (2)求整数的值． 17．已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 18．已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求时，函数的解析式． 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)求不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D A D B D BCD ABC 题号 11 答案 ABD 1．B 根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 2．A 由题意得出，，可得出，，结合可求得的值，再由可求得的值，即可得出函数在时的解析式，推导出函数为周期函数，结合函数的周期性可求得的值. 因为的定义域为，为奇函数，为偶函数， 所以，， 故，， 当时，， 则，解得， 在等式中，令可得，可得， 即，解得，故当时，， 在等式中，用替代得， 所以，所以， 即，所以， 故函数是周期为的周期函数，故. 故选：A. 3．B 由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性. 根据题意，，有，即，若存在奇偶性， 则定义域对称，必然有，即， 此时，则，则为奇函数. 故选：B． 4．D 利用与的奇偶性推得是周期函数，从而结合题设条件即可得解. 是偶函数，， 则，从而， 又是奇函数，则， ，进而， 所以是周期为的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：D. 5．A 根据函数的奇函数的性质得到函数的图象关于点对称，从而得到的图象关于直线对称，根据偶函数的性质得到函数的图象关于直线对称，即可得到答案. 因为为奇函数，所以， 所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称. 因为为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称. 故选：A. 6．D 利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 7．B 令，问题转化为函数在上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解. 设，则问题转化为函数在上的最大值为3， 因为函数的对称轴为， 当时，，不合题意； 当时，，合题意， 综上，的最大值为. 故选：B. 8．D 根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D 9．BCD 取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 10．ABC 取特殊值得到矛盾排除，利用函数的奇偶性和对称性判断BC，存在，判断D. 对于选项A，因为， 而，不符合函数概念，所以A一定不满足； 对于选项B，一定为偶函数，所以B一定不满足； 对于选项C，函数的图象是关于直线对称的， 而的图象不关于直线对称， 所以不存在这样的函数，所以C一定不满足； 对于选项D，令，则， 所以，再令， 所以函数，存在函数满足选项D. 故选：ABC 11．ABD A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可. 对于A选项，函数的定义域为， 由，有， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 由函数在上单调递增，在上单调递增， 可得函数在上单调递增（复合函数的单调性）， 又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为， 故B选项正确； 对于C选项，当时，由，得，有， 可得， 又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D选项，由及函数是偶函数， 且函数的增区间为，减区间为， ，可得，故D选项正确． 故选：ABD. 12． 根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 13． 利用对数的运算法则化简，因该式子恒成立，与无关，即可列出关于的方程组. 因关于点中心对称，则， 即， 该式成立与x的取值无关，则，且， 因，则，则． 故答案为： 14． 根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解. 当时，，所以，即 则，． 故答案为： 15．(1) 当时，函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，函数是偶函数； (2)，且 （1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可； （2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围. （1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 16．(1)证明见解析 (2)45． 解析  （1）证明：因为的图像关于直线对称，所以， 又因为，所以， 所以，所以函数的周期为2， 所以函数为周期函数． （2）因为，所以函数的图像关于对称， 因为当时，， 所以由对称性和周期性可得：当和时，函数图像相同，如图所示， 因为函数恰有2025个零点， 所以函数的图像与图像在上恰有2025个交点， 由图像可知，第2025个交点为，所以， 又因为， 所以由得，，所以或．所以整数的值为45． 17．(1) 在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. (2)1 （1）在中，用代替，结合函数的奇偶性解方程求得的解析式，对求导结合基本不等式证明； （2）由（1）可得的解析式，求导判断单调性，进而求出最小值. （1）略 （2）由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 18．(1)证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数． (2) (3) （1）由题意条件推出，得到函数的周期； （2）由（1）中的函数周期得到； （3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案. （1）略 （2）若，则． （3）当时，，则，又周期为4， 所以． 当时，，则， 根据周期为4，则． 又，所以． 所以解析式为. 19．(1) (2) (3) （1）直接根据导数的几何意义求解； （2）问题转化为求的最大值，通过导数判断的单调性即可求出的最大值； （3）先证明关于对称，再根据函数的单调性及对称性的关系脱去，最后根据三角函数相关知识解三角函数的不等式. （1）， 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设的导数为，则， 则为增函数， 因为，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，， 所以在上的最大值为， 所以，即的取值范围为. （3）因为， 所以的图象关于直线对称， 所以等价于， 即， 所以，即， 即， 则，得或， 则或，其中， 故不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $