课时规范练8　函数的奇偶性和周期性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性和周期性，以定义法、递推法构建解题体系，形成“概念判断-性质推导-综合应用”逻辑链，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|奇偶性定义判断、周期递推证明|奇偶性定义→周期性概念→基础性质辨析| |综合提升练|4题|性质综合应用、抽象函数推理|性质结合→抽象函数分析→分段函数处理| |创新应用练|1题|集合与函数性质融合|跨知识整合→性质迁移应用|

课时规范练8　函数的奇偶性和周期性 (分值:67分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·黑龙江哈尔滨一模)定义双曲余弦函数表达式为cosh x=,定义双曲正弦函数表达式为sinh x=.设函数f(x)=,若实数a满足不等式f(a2)+f(2a-3)<0,则a的取值范围是(　　) A.(-1,3) B.(-3,1) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 2.(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且f(3)=-1,则f(2 025)=(　　) A.1 B.0 C.-1 D.-2 3.(2025·湖南岳阳一模)若函数f(x)=k+为奇函数,则k=(　　) A.- B. C.-e D.e 4.(2025·安徽合肥模拟)下列函数中,是奇函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)=sin(x+) C.f(x)=xln|x| D.f(x)=+1 5.(2026·山东烟台高三期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当0<x<1时,f(x)=2x,则f(log2)=(　　) A.-3 B.- C. D.3 6.(多选题)(2025·湖南名校联合体模拟)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则(　　) A.f(x2)是偶函数 B.|f(x)|是偶函数 C.g[f(x)]是奇函数 D.f(x)h(|x|)是奇函数 7.(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数.若函数g(x)=的图象与f(x)的图象的公共点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x2 026,y2 026),则(xi+yi)=(　　) A.4 052 B.4 050 C.2 026 D.2 025 8.(2025·浙江北斗星盟三模)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=　　　　　.  综 合 提升练 9.(2025·山西太原模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的一个周期为4,若f(1)+f(2)+…+f(2 026)=2,则f(1)= (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 10.(2025·河北张家口一模)已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件:①f(1+x)=f(1-x);②f(3+x)+f(3-x)=0;③f(5)=1.则f(1)+f(2)+…+f(2 025)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 11.(多选题)(2025·湖南张家界模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则(　　) A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.3为函数f(x)的一个周期 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=-2 12.(2025·贵州遵义模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x≤0时,f(x)=3x-2x+1,则当x∈[8,10]时,f(x)=　　　　　.  创 新 应用练 13.(2025·山东聊城模拟)设有集合A={x|x2+ax-1≥0},定义在R上的函数xA(x)=为偶函数,求xA(0)+xA+xA(1)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 参考答案 1.B　解析 由题意得f(x)=的定义域为R,∵f(-x)==-f(x), ∴f(x)为奇函数.∵f(x)==1-,且g(x)=在R上为减函数,∴f(x)=1-在R上为增函数.∵f(a2)+f(2a-3)<0,∴f(a2)<-f(2a-3)=f(3-2a),∴a2<3-2a,解得-3<a<1,即a的取值范围是(-3,1).故选B. 2.A　解析 f(x)=-f(x+2)⇒f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为4,从而f(2 025)=f(4×506+1)=f(1),则f(1)=-f(3)=1.故选A. 3.B　解析 令ex-1≠0,可得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}, 因为函数f(x)为奇函数, 所以f(x)+f(-x)=0, 可得f(x)+f(-x)=k++k+=2k+=2k-e=0, 所以k=故选B. 4.C　解析 对于A,函数定义域为R,f(0)=0,函数f(x)不是奇函数; 对于B,函数定义域为R,f(0)=sin=1≠0,函数f(x)不是奇函数; 对于C,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x),函数f(x)是奇函数; 对于D,函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,函数f(x)不是奇函数.故选C. 5.B　解析 由f(x+1)=f(1-x),得f(x)=f(2-x),则f(-x)=f(2+x). 因为f(x)是R上的奇函数, 则f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(x+2), 则f(x+2)=-f(x+4), 所以f(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的奇函数, 由f(log2)=f(5-log23)=f(1-log23)=-f(log23-1),而0<log23-1<1,所以f(log2)=-f(log23-1)=-=-故选B. 6.ABD　解析 由题意知函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R.因为f((-x)2)=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故A正确; 因为f(x)为奇函数,所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数,故B正确; 因为g(x)为偶函数,则g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],即g[f(x)]是偶函数,故C错误; 因为h(|-x|)=h(|x|),则h(|x|)为偶函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)h(|x|)是奇函数,故D正确.故选ABD. 7.C　解析 由g(x)=是由函数y=向右平移1个单位长度得到的,则g(x)的图象关于点(1,0)中心对称, 由f(x+1)为奇函数,则f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)关于点(1,0)中心对称, 故对函数g(x)与f(x)的图象的任一交点(x,y),总存在点(2-x,-y)也是它们的交点, 则xi=1 013(x+2-x)=2 026,yi=1 013(y-y)=0, 则(xi+yi)=xi+yi=2 026.故选C. 8.-3　解析 因为函数f(x)=为奇函数, 所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-a=-f(x)=-be-x+2, 所以a=-2,b=-1,所以a+b=-3. 9.C　解析 由题意,得 所以f(-2)=f(2)=0. 又f(3)=f(-1)=-f(1),f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 结合周期性可知f(1)+f(2)+…+f(2 026)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1), 所以f(1)=2.故选C. 10.A　解析 由①f(1+x)=f(1-x),可得f(x)=f(2-x), 由②f(3+x)+f(3-x)=0, 可得f(x)=-f(6-x), 所以f(x)=f(2-x)=-f(x+4)=f(x+8),所以f(x)的周期为8, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(-1)+f(0)=[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+[f(6)+f(0)]+f(3)+f(-1)=f(3)+f(-1)=2f(3), 因为f(3)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2 025)=f(1)+253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]=-f(5)=-1.故选A. 11.ABD　解析 对于A,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=0,可得f(1)+f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=1,所以f(0)=2,A正确; 对于B,函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=0,可得f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),所以f(x)为偶函数,B正确; 对于C,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取y=1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),所以f(x+2)+f(x)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以3不是函数f(x)的一个周期,6为函数f(x)的一个周期,C错误; 对于D,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=1,可得f(2)+f(0)=f(1)f(1),故f(2)=-1,取x=2,y=1,可得f(3)+f(1)=f(2)f(1),故f(3)=-2,取x=2,y=2,可得f(4)+f(0)=f(2)f(2),故f(4)=-1, 取x=3,y=2,可得f(5)+f(1)=f(3)f(2),故f(5)=1, 取x=3,y=3,可得f(6)+f(0)=f(3)f(3),故f(6)=2, 所以f(6k+1)+f(6k+2)+f(6k+3)+f(6k+4)+f(6k+5)+f(6k+6)=0,k=0,1,…,336, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=[f(1)+f(2)+…+f(6)]+[f(7)+f(8)+…+f(12)]+…+[f(2 017)+f(2 018)+…+f(2 022)]+f(2 023)+f(2 024)+f(2 025),所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=f(2 023)+f(2 024)+f(2 025)=f(1)+f(2)+f(3)=1+(-1)+(-2)=-2,D正确.故选ABD. 12.38-x+2x-15　解析 令0≤x≤2,则可得-2≤-x≤0. 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=3-x-2(-x)+1=3-x+2x+1, 又f(x)=f(4-x),所以f(-x)=f(4+x),所以f(x)=f(4+x), 所以4为函数f(x)的周期. 当x∈[8,10]时,x-8∈[0,2], 由题意可得f(x)=f(x-8)=38-x+2(x-8)+1=38-x+2x-15. 13.B　解析 由于xA(x)为偶函数, 则关于x的不等式x2+ax-1≥0的解集关于原点对称. 设f(x)=x2+ax-1,则f(x)为偶函数. 由f(x)=f(-x),得x2+ax-1=(-x)2+a(-x)-1,则a=0. 所以A=(-∞,-1]∪[1,+∞), 所以xA(0)+xA+xA(1)=0+0+1=1.故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $